概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)第6章

若X1Xn是來自總體X的樣本，則意味著X1Xn是相互獨(dú)立的，都服從與總體X同樣的分布設(shè)總體Xf(x，則X1Xnnf(x1,,xn) f(xiiXP{Xx}px，則X1,,XnP{X1=x1,,Xn=xn

i

p(xi

iX=1Xini

S

n-

(X -Xi

=n-

[Xiii

Xk樣本k

k=

i=1樣本k

nnin

(X-X k=i結(jié)論：X1,Xn為來自總體XiEX=m,DX=s2s則EX=m,DX ,ESn

nX nX i

n =Ei =i=1 = nDXXi

DX=Di

i n2 1 n n-X = (n-Xni

-X)]

n-

E[ iii

-nX2= n-1ini

EX2-nEX2=

(DX +(EX)2)-n(DX+(EX)2n-

i (s2+m2)- 2+m 1=n-

i (ns2+nm2-s2-nm2)=s求 (EX2令A(yù)= (A=EX2 3)解上面方程（）?=?(X,, (q?=?(X,, 構(gòu)造似然函數(shù)L(qL(q)

i

Pxi離散型

L(q)

i

fxi連續(xù)型

dlnL=解似然方程得q的極大似然估計量設(shè)q的函數(shù)uu(q),q?Q具有單值反函數(shù)，是的極大似然估計則?u(q?)是q的極大似然估計

nkknA1 mnkknk

的無偏估計量 i

n

fi k=

Xii

是 = 的一致估計量c2分布設(shè)X1Xn獨(dú)立，都服從N(0,1)分布c =X2++X2~c2 10X~c2(m),Y~c2(n),X，Y獨(dú)立，則有X+Y~c2(m+20X~c2(n),EX

DX=a >c2(n)}=at分布X~N(0,1),Y~c2(n),X,Y獨(dú)立，則稱 t=Xn

P{t>ta(n)}=F分布 若X~c2(n),Y~c2(n X,Y

則稱 F=X/Y/n2

~

P{F>Fa(n1,n2)}=2設(shè)X1Xn是總體N(m,s2

的樣本，X2分別是樣本均值與樣本方差，則有2sX

2n2(n-1)S

(Xi-s

i =s=

~c2(n-X與S2獨(dú)立n(Xii=1n

-m)2/s

X-nSn

~t(n-

X-ms/

~Nnn

(X-Y)-(m-m ~t(n + - n1+n2-(n-1)S2+ +11s 1+ s(X-Y)-(s 1+ s

(X

-

)2/s1n1

i

~F(n1,n2 / jj

( -X)2/sS2/s

-

1

i S2/s

2

n-1(Y -Y 1j~F(n1-1,n2-

m

X-ms/ X-

N，n-

X–z aX– n-1)as2

S i i

i-m)2

-m22Xi-

c2

i

i mm

sin1X-X

n

c2a2aniX-Xni

c Xi-s s

i ac2n-a2

i n-2 1-2均已知X-Y-m-m N，( X- +a s s1+ 但未知X-Y-m-m 1+ m+n-X-Ytm+n- 1+ 212其中S212

m-S

+n-1S m+n-

m -mm i m

F，

F，n) 均已知

2ni nmY-m2/s

jm

Y2 j

nX

-m1sF2sFn 1-n

，

)

Y-m2s2s2

j

s均未知 s1S2S22

F(m-1，n-

Fam-1，n-1)S22S2 S S2F1m-1，n-1)S22§4§4 設(shè)X1,X2,X3是總體N(2,9)的樣本求(1)P{X3};(2)P{

X-

>1};(3)P{S

P{max(X1,X2,X3)>4};(5)P{min(X1,X2,X3)<解（1）X~N(2,3)33P{X3}1-F32)1-F(133 =1-0.7190=33

X-

>1}=1-

X-

￡33=1-P{-33

￡X-2￡1§4§43=1-P{-3

￡X-2

1}=1-[F(1)-F(-133333=2-2F(1)=2·[1-F(0.58)]3333329 由于(329

~

，故（29P{S 29

> ?§4§4（4）P{max(X1,X2,X3)>=1-P{max(X1,X2,X3)￡=1-P{X1￡4,X2￡4,X3￡=1-P{X1￡4}P{X2￡4}P{X3￡=1-[F(4-3=1-=

X1~N(2,9)§4§4（5）P{min(X1,X2,X3)<=1-P{min(X1,X2,X3)?=1-P{X1?0,X2?0,X3?=1-P{X1?0}P{X2?0}P{X3?=1-[1-F(0-2)]33=1-[1-1+F=1-=

X1

~N(2,9)§4§4 設(shè)X1,X2,,X10與Y1,Y2,Y15分別是正態(tài)總體N(20,3)的兩個獨(dú)立樣本，P{X- >解XY~N(0

3),XY~ P{X-

>0.1}=1-

X-

￡=1-

X-

￡0.1

=1-P{-0.14

X-

=例3X~t(n),X2~F(1由于X~

所以X= Zn其中Y~N(0,1),Z~c2(n),YZ獨(dú)立Zn則Y2~c2F分布的定義知YZnX2= Zn

~F(1,§2§2設(shè)總體X~U[ab],ab未知X1Xn是一個樣求：ab的矩估計量解

=EX

a+b 2 = 2

+(EX)2=(b-a)+(a+令a+ =

2(b-

+(a+4

=

即ab2A112(A-A212(A-A221例5設(shè)總體X的密度函數(shù)為f

xa

0<x<其它其中a0為未知參數(shù)，試求參數(shù)a的矩估計解

a+EX=xfx=0

a+xa

a+ X=a+a+由此得a的矩估計量為a?2X11-例6設(shè)X~B(1,pX1,Xn是來自X的一個樣本設(shè)x1,xn是一個樣本值。X的分布律為P{X=x}=px(1-p)1-xnn

x=nnL(p) pxi(1-p)1-n

n-i

=pi

i lnLp(xilnp(nxiln(1i i lnL(p)=(xi)lnp+(n-xi)ln(1-i

i dlnLp)0,

i p

n-- i ni-ni

=解得p的極大似然估計值p的極大似然估計量為

?

ni=1?

Xi=n1nin1n 例7設(shè)X~N(m

2);m

2為未知參數(shù)，x,,是來自X的一個樣本值求m,s2的極大似然估計量解X的概率密度為f(x;m,s2)

(x-m)2 nL(m,s)n

i

(xi

-m)- 1=(2ps2)21

(xi-m ln

(x-m)2=-

ln(s2

in1n1lnL=-nln(2p)-nln(s2)2i s2i

(xi

?lnL=

1(x-m)=0令 ?ln

si =

(xi

-m)2=

i1 11 nn解得：mnn

i

xi=x

(xi-x)故m,s2的極大似然估計量為 ii?= = ?2=1(X-X)2iini ni例8設(shè)X~U[ab];ab未知，x1,xn是一個樣本值求：a,b的極大似然估計 X的概率密度為：fx;ab)baa￡x￡

其它,

a< =，,=,

=

?ln,=-

= b-

b-將x1,xn按從小到大順序排列成 ￡x(2) ￡￡x(n) ,a￡ ￡￡ ￡b;則L(ab)

(b-a)

(

其它對于滿足a￡x(1)￡￡x(n)￡b的任意a有)L(a,b) )((b-a)n ( -(

即：L(ab)在ax(1bx(n)取最大值x(n)x(1故a,b的極大似然估計值為?=x(1)=minxi ?=故ab的極大似然估計量為?=minXi ?=maxXi

=maxxi 設(shè)X~N(m,s2),m,s2未知，求使P{X>A}=的點(diǎn)A的極大似然估計量解：PXA1-FAm查表有

=

所以Am1.645s由前面知m和s2的極大似然估計量分別為?

?2

1=(X -X1nin1(n1(ni-Xi??+ §§3例10設(shè)總體X服從區(qū)間q上的均勻分布，其中q0為未知參數(shù)，X1,Xn是從該總體中抽取的一個樣本求q的矩估計和極大似然估計，并驗證是否是無偏估計.EXq,Xq得q的矩估計量為q?2 2

q=q由于=E2X=2E

)=2EX=因此?2X是未知參數(shù)q的無偏估計q的極大似然估計量為L i=maxX§§3 maxX的分布函數(shù)為

x< xn-

F(x)=qq

n,0￡x<q,

=x q

x?q. = qn n+1=n+1L?不是q的無偏估計量L§§3例11設(shè)總體X~N，s2其中m已知，而s >為未知參數(shù)，X1Xn是從該總體中抽取的一個樣本i則由§2例3i

參數(shù)s

的極大似然估計為?2

=1X-m

ni2 =

=1

Xi=1n2n

-m)2

ni

X

-m)=·ns

=Xm是總體方差，?

=1

s2的無偏估計ni§§3例12設(shè)總體X存在二階矩，并設(shè)EX= DX=sX1,Xn是總體X的一個樣本，又設(shè)nai i1,2, ai1i試證

naiXii=1n

m的無偏估計n(2)m的所有形如上述的aiXii

估計中，X方差最小．證明）由于iX iX

n=aiXin

§§3naim=ni n

i

iaiXim的無偏估計. aa

i

aX i

iii

DXi

ii iii

+s21-a i i i

§§3i i

)=s2a

+s21-aiii

i

k=1,,n- -k

2

i

=

k=1,,n-ak=an k=1,,n-1ak=n k=1,,

即aiXiX的方差最小nin§4§4則X1Xn是總體X~N(m,s的樣本2 2

( -X)2

/s2E(Xi-X) i=(n-1)s

.i.

i ( -X (n 2

2同理D(Xi-X)=sD(Xi-X /si

i §4§4 2 E(

-m)=s2E(X

-m)2/s2=ns n

i ((Xii=1

-m)2/s ~c2D