探究勻速圓周運動的分運動

探究勻速圓周運動的分運動于正榮（江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)224041）摘要高中物理教材教材在研究平拋運動時采用了運動的分解和合成的方法。然而在研究勻速圓周運動時，卻避開了的這種方法，這究竟是什么原因？勻速圓周運動否存在分運動？本文擬對這個問題進(jìn)行了相關(guān)探討，并給出了四種特殊的分解結(jié)果。關(guān)鍵詞

勻速圓周運動

運動的分解

等時性

平行四邊形定則眾所周知，勻速圓周運動是一種十分簡單的運動形式，能否如果再對它進(jìn)行運動分解呢？若能，其分運動會不會像分解平拋運動的那樣簡單？另外，高中物理教材《曲線運動》一章，在處理平拋運動時，強調(diào)將復(fù)雜的運動分解成幾個（通常是兩個）簡單的運動，以使問題簡化，然而，在緊接著研究勻速圓周運動時，卻另砌爐灶，采用線速度、角速度、周期等新的物理量去描述，完全回避了運動分解的處理方法，這又究竟是基于什么原因？帶著這些問題，筆者對勻速圓周運動的分運動進(jìn)了的有益探討，供大家教學(xué)中參考。1分運動是兩個周期相同、相互正交的簡諧運動yAOxPα圖1如圖1所示，質(zhì)點以O(shè)點為圓心、R為半徑，沿逆時針方向做勻速圓周運動，從經(jīng)過x軸上的A點開始計時，經(jīng)時間t，相對圓心O轉(zhuǎn)過α角運動到圖1中的yAOxPα圖1（1）（2）不難看出，如將該圓周運動分別沿x、y方向分解，則質(zhì)點在x、y方向的運動就應(yīng)分別滿足（1）、（2）兩式。再設(shè)勻速圓周運動的角速度為，有，則，，這正是簡諧運動的方程。所以勻速圓周運動可以分解為兩個相互正交、周期和振幅都相同、位相相差的簡諧運動。yAOxPαMNθv1v2vθ圖2實際上，高中教材在研究簡諧運動時，曾提到了所謂的參考圓，即勻速圓周運動在yAOxPαMNθv1v2vθ圖22分運動是兩個周期相同、方向成任一角度的簡諧運動設(shè)質(zhì)點以原點O為圓心從x軸上的A點開始沿逆時針方向做勻速圓周運動，經(jīng)時間t轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過α角度運動到圖2中的P點。將速度v分別沿平行于x方向、平行于MN方向（設(shè)MN與x軸成θ角度）分解，得到兩分速度和，如圖2所示。由于速度v與半徑OP垂直、與x軸平行、與MN平行，所以v與成（）角，與圖2中上方的水平虛線成θ角，v與成（）角。在由速度矢量v、以及圖2上方虛線所構(gòu)成的三角形中，根據(jù)正弦定理有：，解得：（3）（4）其中為定值，因此兩分速度、都隨時間t按余弦規(guī)律變化，對應(yīng)的運動顯然也是簡諧運動，兩運動分別沿平行于x軸方向、平行于MN方向，并且它們的振幅、周期也相同，位相相差θ角。所以勻速圓周運動可以分解為兩個方向成任意角度θ的簡諧運動。不難看出，前述的第一種分解實際上就是這里時的一種特殊情形。3分運動是兩個周期相同、速度相互正交的勻速圓周運動yORα-θθvv1v2QPα圖3Mθ設(shè)質(zhì)點以速度v從O點出發(fā)，沿順時針方向做勻速圓周運動，質(zhì)點在O點時速度方向與x軸成θ角，將速度yORα-θθvv1v2QPα圖3Mθ設(shè)質(zhì)點的運動半徑為R、圓心為P，由于PO與v垂直，所以O(shè)P與PM（PM與y軸平行）成θ角。再設(shè)質(zhì)點從O點開始經(jīng)時間t轉(zhuǎn)過角到達(dá)Q點，則由幾何關(guān)系可知PQ與PM成（）角，因此Q點的坐標(biāo)為：（5）圖4yOxv1圖4yOxv1P1Q1αR1甲Ov2αP2R2Q2xy乙假設(shè)質(zhì)點以速度從O點出發(fā)沿x軸正方向順時針做圓周運動，如圖4（甲）所示。設(shè)其半徑為，經(jīng)時間t轉(zhuǎn)過角到達(dá)Q1點，因此Q1點的坐標(biāo)為（7）（8）同理，再假設(shè)質(zhì)點以速度從O點出發(fā)沿順時針做圓周運動，如圖4（乙）所示。設(shè)其半徑為，也經(jīng)時間t轉(zhuǎn)過角到達(dá)Q2點，則Q2點的坐標(biāo)為：（9）（10）將（7）、（9）兩式相加有：（11）將（8）、（10）兩式相加有：（12）由于分別以v、、各自做圓周運動的周期相同，所以有：，并且根據(jù)圖3有：，，由以上兩式得：、，代入（11）、（12）兩式可得：，與（6）式比較有：（13）同理，不難計算，可得：（14）（13）、（14）兩式說明任一時刻以速度v做圓周運動的位移，總等于分別以其分速度、各自做圓周運動的位移之和，所以勻速圓周運動可解為兩個周期相同、速度相互正交的勻速圓周運動。4分運動是兩個周期相同、速度成任意角度的勻速圓周運動本結(jié)論的證明采用前面的方法完全可行，但運算過程更加復(fù)雜，這里不作推導(dǎo)。為此，我們換一種方法予以證明：如圖5所示，設(shè)質(zhì)點從坐標(biāo)原點O出發(fā)，以速度v（沿x軸正方向）做勻速圓周運動，將速度v分解，得到兩分速度、，且、分別與v成、角。設(shè)質(zhì)點再經(jīng)任意時間t運動到Q點，這時我們?nèi)钥蓪⒋丝痰乃矔r速度v分解，使它的兩個分量大小仍為、，且仍與v分別成、角。假設(shè)質(zhì)點從O到Q相對圓心P轉(zhuǎn)過角，不難看出，此過程合速度v以及兩個分速度、也都同時轉(zhuǎn)過了角，這說明勻速圓周運動的線速度v始終存在著這樣的兩個分速度：它們的大小以及與合速度v的夾角始終保持不變，并以相同的周期和旋轉(zhuǎn)方向隨著合速度v變化而變化。顯然，這兩個分速度、所對應(yīng)的運動也是勻速圓周運動。α圖5yvOQxv2vα圖5yvOQxv2v1θ1θ2vv1v2θ1θ2P綜上所述，勻速圓周運動盡管本身已經(jīng)非常簡單，但我們?nèi)钥蓪λM(jìn)行分解。并隨著分解方式的不同，分運動的復(fù)雜程度也不同，但結(jié)果都不如平拋的分運動那樣簡單、直觀。正是基于這樣的原因，在高中力學(xué)部分學(xué)習(xí)勻速圓周運動時，鑒于學(xué)生的認(rèn)知水平和解決問題的煩難程度，教材采取了回避的態(tài)度，而不采用分解的方法處理勻速圓周運動，但由此也就產(chǎn)生了勻速圓周運動是一種最簡單的運動而不能再進(jìn)行分解的誤會。其實，任何一種運動，原則上都可以對它的速度進(jìn)行分解，分速度所對應(yīng)運動就是它的分運動，不過如果分運動過于復(fù)雜，就失去了分解的意義。這一點，在學(xué)習(xí)圓周運動時，為消除學(xué)生的困惑，應(yīng)該向?qū)W生作簡要說明。