專題65平行四邊形的判定（知識(shí)講解）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（北師大版）

專題6.5平行四邊形的判定（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解平行四邊形的定義，從角、邊、對(duì)角線三個(gè)角度理解并識(shí)記平行四邊形的判定定理；2．能初步運(yùn)用平行四邊形的判定進(jìn)行推理和計(jì)算，特別是利用判定定理來證明一個(gè)四邊形為平行四邊形；3.能綜合運(yùn)用平行四邊形的判定定理和平行四邊形的判定定理進(jìn)行證明和計(jì)算．【要點(diǎn)梳理】平行四邊形的判定方法：從邊、角、對(duì)角線角度出發(fā)，有以下判定方法：1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.特別說明：這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行 四邊形”的依據(jù).以上判定方法從邊、角、對(duì)角線上進(jìn)行識(shí)記。【典型例題】類型一、平行四邊形的判定??平行四邊形的判定??添加條件構(gòu)成平行四邊形 1．四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】分別利用平行四邊形的判定方法進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．解：，四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)A不合題意；，四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)B不合題意；，四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)C不合題意；，四邊形不一定是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考察了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．給出下列四組條件：①，；②，；③，；④，．其中一定這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件有（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的5個(gè)判斷定理：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷．解：①根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知①能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形；②根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知②能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形；③根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可知③能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形；④根據(jù)平行四邊形的判定定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知④不能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形（例可能是等腰梯形）；故給出下列四組條件中，①②③能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形．故選：A．【點(diǎn)撥】此題主要考查了平行四邊形的判定定理，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確無誤的掌握平行四邊形的判定定理，難度一般．【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．ABCD，ADCBC．AB＝CD，AD＝CB D．ABCD，AD＝CB【答案】D【分析】由平行四邊形的判定定理對(duì)邊對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵ABCD，ADCB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵AB＝CD，AD＝CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、由ABCD，AD＝CB，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟記平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．在四邊形中，，分別添加下列條件：①；，其中能使四邊形成為平行四邊形的條件有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【分析】由平行四邊形的判定、平行線的判定與性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)條件進(jìn)行判斷即可．解：①，，四邊形是平行四邊形；由，，不能判定四邊形是平行四邊形；③，，四邊形是平行四邊形；，，，，，四邊形是平行四邊形；⑤，，，，，四邊形是平行四邊形；其中能使四邊形成為平行四邊形的條件有，共個(gè)，故選：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OC．如果再添加一個(gè)條件使得這個(gè)四邊形ABCD是平行四邊形，則下列條件中不能保證滿足要求的是(

)A．ADBC B．AD=BC C．ABCD D．OB=OD【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理進(jìn)行解答．解：如圖，A、∵ADBC，∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO，∵OA=OC，∴△DAO≌△BCO（AAS），∴OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，此選項(xiàng)不符合題意；B、添加條件AD＝BC不能使四邊形ABCD是平行四邊形，此選項(xiàng)符合題意；C、∵ABCD，∴∠CDO＝∠ABO，∠DCO＝∠BAO，∵OA=OC，∴△DOC≌△BOA（AAS），∴OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，此選項(xiàng)不符合題意；D、∵OB=OD，OA=OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件使四邊形AECF是平行四邊形，則添加的條件不能是（）A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2【答案】A【分析】利用SAS證明△ABE≌△CDF可以判斷B選項(xiàng)；利用SAS證明△ABE≌△CDF可以判斷C選項(xiàng)；利用ASA證明△ABE≌△CDF可以判斷D選項(xiàng)．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE；∴AECF；∴四邊形AECF是平行四邊形，故B正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；又∵BF=DE，∴BF-EF=DE-EF，∴BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF，∠AEB=∠CFD；∴∠AEF=∠CFE；∴AECF；∴四邊形AECF是平行四邊形，故C正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；又∵∠1=∠2，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，∠AEB=∠CFD；∴∠AEF=∠CFE；∴AECF；∴四邊形AECF是平行四邊形，故D正確；添加AE=CF后，不能得出△ABE≌△CDF，進(jìn)而得不出四邊形AECF是平行四邊形，故A錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對(duì)應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．類型二、平行四邊形的判定??平行四邊形的個(gè)數(shù)??與已知三個(gè)點(diǎn)求點(diǎn)坐標(biāo)3．已知（如圖），將它沿方向平移，平移的距離為．作出經(jīng)平移后所得的圖形．寫出與構(gòu)成的圖形中所有的平行四邊形（不必證明）．【答案】(1)圖見分析；(2)，，，，，．【分析】（1）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出平移后的即可；（2）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)以及平行四邊形的判定定理即可得出結(jié)論．（1）解：如圖所示；（2）解：由圖可知，與構(gòu)成的圖形中所有的平行四邊形有：，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查的是作圖－平移變換，平行四邊形的判定定理，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)以及平行四邊形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖所示，在中，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)、、、分別是、、、的中點(diǎn)，以圖中的任意四點(diǎn)(即點(diǎn)、、、、、、、、中的任意四點(diǎn))為頂點(diǎn)畫兩種不同的平行四邊形．【答案】答案見分析【分析】第一種：可畫為平行四邊形EFGH，第二種：可畫為平行四邊形DEBG．解：如圖所示【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形的判定和學(xué)生的動(dòng)手操作能力，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的性質(zhì)．4．如圖，是由邊長(zhǎng)為的小正方形組成的網(wǎng)格，其中點(diǎn)、、均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．直接寫出格點(diǎn)的面積為______；(2)在網(wǎng)格中畫出使A、B、、四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的所有點(diǎn)；(3)直接寫出線段的長(zhǎng)為______．【答案】(1)4 (2)見分析 (3)或【分析】（1）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個(gè)三角形面積即可；（2）根據(jù)平行四邊形的定義畫出圖形即可；（3）利用勾股定理求解．解：（1）故答案為：；（2）如圖，點(diǎn)，，即為所求；（3），．故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用割補(bǔ)法求三角形面積，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．舉一反三：【變式】在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示（坐標(biāo)系內(nèi)正方形網(wǎng)格的單位長(zhǎng)度為1）：在網(wǎng)格內(nèi)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形；平面內(nèi)有一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)見分析； (2)，或．【分析】（1）先找到A、B、C點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，順次連接即可；（2）將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，將點(diǎn)A向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，將點(diǎn)B向下移動(dòng)3個(gè)單位，再向右移動(dòng)2個(gè)單位得到點(diǎn)．解：（1）如圖所示：（2）∵一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，∴將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，將點(diǎn)A向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，將點(diǎn)B向下移動(dòng)3個(gè)單位，再向右移動(dòng)2個(gè)單位得到點(diǎn)．所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，或．【點(diǎn)撥】本題考查畫軸對(duì)稱圖形，平行四邊形的判定，有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．類型三、平行四邊形的判定??平行四邊形的證明??全等三角形拼成平行四邊形5．如圖，四邊形中，垂直平分，垂足為點(diǎn)為四邊形外一點(diǎn)，且，．求證：四邊形是平行四邊形；如果平分，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）分別證明，得出結(jié)論；（2）利用勾股定理求出，再利用等積法求出，即可得出結(jié)論．解：（1）∵，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，（2）∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴過作，∴，∴，∵垂直平分，則,∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等積法求高是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在平行四邊形中，，平分，交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接、．求證：四邊形ACDF是平行四邊形；請(qǐng)直接寫出圖中與面積相等的三角形（除外）．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出，由平行線的性質(zhì)得出，再由角平分線得出，得出，證出，證明，得出，即與互相平分，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的一條對(duì)角線將平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形，利用全等三角形的面積相等，即可得解．解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴∵平分，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴∴，，∴與互相平分，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵平行四邊形的一條對(duì)角線將平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形（），全等三角形的面積相等，∴圖中與面積相等的三角形有：．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)．熟練掌握對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，是解題的關(guān)鍵．6．如圖，由六個(gè)全等的正三角形拼成的圖中，有多少個(gè)平行四邊形？為什么？【答案】6個(gè)，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理求解即可．解：如圖所示，∵六個(gè)三角形是全等的正三角形，∴OA=EF，AF=OE，∵兩組對(duì)邊分別相等，∴四邊形AOEF為平行四邊形；同理可證，四邊形ABOF，四邊形ABCO，四邊形BCDO，四邊形CDEO，四邊形DEFO均為平行四邊形，∴共有6個(gè)平行四邊形，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定，理解并熟練運(yùn)用平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在的方格子中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，（1）在圖1中畫出線段，使，其中是格點(diǎn)，（2）在圖2中畫出平行四邊形，其中是格點(diǎn).【答案】（1）見分析；（2）見分析.【分析】（1）過點(diǎn)C作，且點(diǎn)D是格點(diǎn)即可.（2）作一個(gè)△BEC與△BAC全等即可得出圖形.（1）解：如圖，線段就是所求作的圖形．（2）解：如圖，就是所求作的圖形【點(diǎn)撥】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，平行四邊形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．類型四、平行四邊形的判定與性質(zhì)??求坐標(biāo)??求線段長(zhǎng)??求角度7．（1）如圖，以線段、為鄰邊，用尺規(guī)作圖畫出平行四邊形（保留作圖痕跡），并說明它用了平行四邊形的哪個(gè)判定方法？（2）連接、，若，，，求平行四邊形的面積．【答案】（1）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（2）．【分析】（1）分別以A、C為圓心，以為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，則四邊形滿足條件；根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形為平行四邊形進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得，，利用勾股定理求得，再根據(jù)面積公式即可求解．解：（1）如圖，平行四邊形為所作；由作法得，，所以四邊形為平行四邊形．結(jié)論：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖：設(shè)和交于點(diǎn)O，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)以及勾股定理．舉一反三：【變式1】如圖，在□ABCD中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使，連結(jié)DE，CF．求證：；若AB=6，AD=8，∠B=60°，求的面積．【答案】(1)見分析 (2)的面積為【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，根據(jù)F是AD的中點(diǎn)，，判定四邊形是平行四邊形，即可證明；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，又根據(jù)四邊形是平行四邊形，，；根據(jù)直角三角形中，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，求出，的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的面積公式，即可求出的面積．解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵F是AD的中點(diǎn)，∴，∵，∴，又∵FD∥CE，∴四邊形是平行四邊形，∴．（2）∵四邊形是平行四邊形∴，又∵四邊形是平行四邊形∴，∴∵過點(diǎn)作于點(diǎn)∴∵∴∴∴∴．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，直角三角形中，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．【變式2】如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接、．求證：四邊形是平行四邊形；若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）證△BEC≌△FED（AAS），得BE=FE，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理得AB，再由平行四邊形的性質(zhì)得DF=BC=3，則AF=AD+DF=4，然后由勾股定理即可求解．（1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，∴∠A+∠ABC=180°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，又∵E是邊CD的中點(diǎn)，∴CE=DE，在△BEC與△FED中，，∴△BEC≌△FED（AAS），∴BE=FE，∴四邊形BDFC是平行四邊形；（2）解：∵BD=BC=3，∠A=90°，∴由（1）可知，四邊形BDFC是平行四邊形，∴DF=BC=3，∴AF=AD+DF=4，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型五、平行四邊形的判定與性質(zhì)??證明??求線段長(zhǎng)??求角度8．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)角線上，且，連接、、、、求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見分析【分析】連接交于點(diǎn)O，求出，根據(jù)兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形是平行四邊形．解：連接交于點(diǎn)O，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知：如圖，在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，求證：（請(qǐng)用兩種方法進(jìn)行證明）【答案】見分析【分析】方法一：過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得出，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可；方法二：取中點(diǎn)，連接，易知是的中位線，得到，，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可；解：證明：方法不唯一，答案僅供參考：方法一：過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn),∴∵∴（ASA），∴∵，，∴四邊形是平行四邊形∴∴

方法二：取中點(diǎn)，連接，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)∴是的中位線，∴，，∵，∴四邊形是平行四邊形∴∴，∴，方法三：延長(zhǎng)至，使，連接，（如圖1，方法略）．方法四：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，（如圖2，方法略）．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，四邊形為平行四邊形，為上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，使，連接并延長(zhǎng)，使，連接．為的中點(diǎn)，連接．求證：四邊形為平行四邊形；若，，，求的度數(shù)．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊的性質(zhì)得出，，根據(jù)，，可得是的中位線，等量代換得出，可得，即可得證；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，求得，根據(jù)，由等邊對(duì)等角即可求解．（1）解：證明：四邊形是平行四邊形，，，，，是的中位線，，，為的中點(diǎn)，，

，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，，

．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，中位線的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．類型六、平行四邊形的判定與性質(zhì)應(yīng)用??證明??求線段長(zhǎng)??求角度9．如圖，四邊形中，，，過點(diǎn)作，垂足為，且．連接，交于點(diǎn)．（1）探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）探究線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由見分析；（2）AF=EF+CE，理由見分析．【分析】（1）設(shè)∠CAE=，先證∠EAB=∠EBA=45°，再證∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)DC交AE延長(zhǎng)線于G，連接BG，先證△CEA≌△GEB，再證四邊形ABGD是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由：設(shè)∠CAE=，∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA=45°，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB=45°+，∵AC=AD，∴∠DCA=∠ADC=45°+，∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°；（2）AF=EF+CE，理由：延長(zhǎng)DC交AE延長(zhǎng)線于G，連接BG，∵CD∥AB，∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，∴CE=EG，AE=BE，又∵∠CEA=∠GEB=90°，