華中科大學工程傳熱學

§4-1

對流換熱概述§4-2

層流流動換熱的微分方程組§4-3

對流換熱過程的相似理論§4-4

邊界層理論§4-5

紊流流動換熱第四章對流換熱原理2023/6/81當前第1頁\共有104頁\編于星期日\20點§4-1對流換熱概述1對流換熱過程①對流換熱定義：流體和與之接觸的固體壁面之間的熱量傳遞過程，是宏觀的熱對流與微觀的熱傳導的綜合傳熱過程。對流換熱與熱對流不同，既有熱對流，也有導熱；不是基本傳熱方式對流換熱實例：1)暖氣管道;2)電子器件冷卻2023/6/82當前第2頁\共有104頁\編于星期日\20點②對流換熱的特點：(1)導熱與熱對流同時存在的復雜熱傳遞過程(2)必須有直接接觸（流體與壁面）和宏觀運動；也必須有溫差③特征：以簡單的對流換熱過程為例，對對流換熱過程的特征進行粗略的分析。2023/6/83當前第3頁\共有104頁\編于星期日\20點圖表示一個簡單的對流換熱過程。流體以來流速度u和來流溫度t流過一個溫度為tw的固體壁面。選取流體沿壁面流動的方向為x坐標、垂直壁面方向為y坐標。yt∞u∞

tw

qwx2023/6/84當前第4頁\共有104頁\編于星期日\20點壁面對流體分子的吸附作用，使得壁面上的流體是處于不滑移的狀態(tài)（此論點對于極為稀薄的流體是不適用的）。又由于粘性力的作用，使流體速度在垂直于壁面的方向上發(fā)生改變。流體速度從壁面上的零速度值逐步變化到來流的速度值。同時，通過固體壁面的熱流也會在流體分子的作用下向流體擴散(熱傳導)，并不斷地被流體的流動而帶到下游（熱對流），也導致緊靠壁面處的流體溫度逐步從壁面溫度變化到來流溫度。2023/6/85當前第5頁\共有104頁\編于星期日\20點2對流換熱的分類對流換熱：導熱+熱對流；壁面+流動①流動起因自然對流：流體因各部分溫度不同而引起的密度差異所產生的流動（Freeconvection）強制對流：由外力（如：泵、風機、水壓頭）作用所產生的流動（Forcedconvection）2023/6/86當前第6頁\共有104頁\編于星期日\20點②流動狀態(tài)層流：整個流場呈一簇互相平行的流線（Laminarflow）湍流：流體質點做復雜無規(guī)則的運動（Turbulentflow）紊流流動極為普遍自然現(xiàn)象：收獲季節(jié)的麥浪滾滾，旗幟在微風中輕輕飄揚，以及裊裊炊煙都是由空氣的紊流引起的。

2023/6/87當前第7頁\共有104頁\編于星期日\20點2023/6/88當前第8頁\共有104頁\編于星期日\20點③流體有無相變單相換熱相變換熱：凝結、沸騰、升華、凝固、融化④

流體運動是否與時間相關非穩(wěn)態(tài)對流換熱：與時間有關穩(wěn)態(tài)對流換熱：與時間無關2023/6/89當前第9頁\共有104頁\編于星期日\20點⑤

流體與固體壁面的接觸方式

內部流動對流換熱：管內或槽內外部流動對流換熱：外掠平板、圓管、管束管內管外熱面朝上、朝下2023/6/810當前第10頁\共有104頁\編于星期日\20點管內沸騰對流換熱有相變無相變強制對流內部流動圓管內強制對流換熱其它形狀管道的對流換熱外部流動外掠單根圓管的對流換熱外掠圓管管束的對流換熱外掠平板的對流換熱外掠其它截面柱體的換熱射流沖擊換熱自然對流大空間自然對流有限空間自然對流混合對流沸騰換熱凝結換熱大空間沸騰管內凝結管外凝結2023/6/811當前第11頁\共有104頁\編于星期日\20點3對流換熱系數(shù)與對流換熱微分方程——當流體與壁面溫度相差1℃時、每單位壁面面積上、單位時間內所傳遞的熱量.①對流換熱系數(shù)(表面?zhèn)鳠嵯禂?shù))確定h及增強換熱的措施是對流換熱的核心問題2023/6/812當前第12頁\共有104頁\編于星期日\20點②

對流換熱過程微分方程式壁面上的流體分子層由于受到固體壁面的吸附是處于不滑移的狀態(tài)，其流速應為零，那么通過它的熱流量只能依靠導熱的方式傳遞。

yt∞u∞

tw

qwx由傅里葉定律

通過壁面流體層傳導的熱流量最終是以對流換熱的方式傳遞到流體中

2023/6/813當前第13頁\共有104頁\編于星期日\20點或對流換熱過程微分方程式h

取決于流體熱導率、溫度差和貼壁流體的溫度梯度溫度梯度或溫度場與流速、流態(tài)、流動起因、換熱面的幾何因素、流體物性均有關。速度場和溫度場由對流換熱微分方程組確定：連續(xù)性方程、動量方程、能量方程2023/6/814當前第14頁\共有104頁\編于星期日\20點4-2層流流動換熱的微分方程組為便于分析，只限于分析二維對流換熱假設：a)流體為不可壓縮的牛頓型流體，（即：服從牛頓粘性定律的流體；而油漆、泥漿等不遵守該定律，稱非牛頓型流體）b)所有物性參數(shù)（、cp、、）為常量2023/6/815當前第15頁\共有104頁\編于星期日\20點4個未知量：速度u、v；溫度t；壓力p需要4個方程:

連續(xù)性方程（1）;動量方程（2）;能量方程（1）1連續(xù)性方程流體的連續(xù)流動遵循質量守恒規(guī)律。從流場中(x,y)處取出邊長為dx、dy的微元體，并設定x方向的流體流速為u，而y方向上的流體流速為v

。M

為質量流量[kg/s]2023/6/816當前第16頁\共有104頁\編于星期日\20點單位時間內流入微元體的凈質量=微元體內流體質量的變化。

單位時間內、沿x軸方向流入微元體的凈質量：2023/6/817當前第17頁\共有104頁\編于星期日\20點單位時間內、沿y軸方向流入微元體的凈質量：單位時間內微元體內流體質量的變化:2023/6/818當前第18頁\共有104頁\編于星期日\20點單位時間：流入微元體的凈質量=微元體內流體質量的變化連續(xù)性方程：對于二維、穩(wěn)定、常物性流場：2023/6/819當前第19頁\共有104頁\編于星期日\20點2動量微分方程作用力=動量變化率F=d(mc)/dτ動量微分方程式描述流體速度場—動量守恒動量微分方程是納維埃和斯托克斯分別于1827和1845年推導的。Navier-Stokes方程（N-S方程）

牛頓第二運動定律：作用在微元體上各外力的總和等于控制體中流體動量的變化率①控制體中流體動量的變化率2023/6/820當前第20頁\共有104頁\編于星期日\20點從x方向進入元體質量流量在x方向上的動量：從x方向流出元體的質量流量在x方向上的動量從y方向進入元體的質量流量在x方向上的動量為：從y方向流出元體的質量流量在x方向上的動量：2023/6/821當前第21頁\共有104頁\編于星期日\20點x方向上的動量改變量：化簡過程中利用了連續(xù)性方程和忽略了高階小量。同理，導出y方向上的動量改變量：②作用于微元體上的外力作用力：體積力、表面力2023/6/822當前第22頁\共有104頁\編于星期日\20點體積力：重力、離心力、電磁力設定單位體積流體的體積力為F，相應在x和y方向上的分量分別為Fx和Fy。在x方向上作用于微元體的體積力：在y方向上作用于微元體的體積力：表面力:作用于微元體表面上的力。通常用作用于單位表面積上的力來表示，稱之為應力。包括粘性引起的切向應力和法向應力、壓力等。法向應力

中包括了壓力p

和法向粘性應力。2023/6/823當前第23頁\共有104頁\編于星期日\20點在物理空間中面矢量和力矢量各自有三個相互獨立的分量（方向），因而對應組合可構成應力張量的九個分量。于是應力張量可表示為

式中為應力張量，下標i表示作用面的方向，下標j則表示作用力的方向通常將作用力和作用面方向一致的應力分量稱為正應力，而不一致的稱為切應力。

2023/6/824當前第24頁\共有104頁\編于星期日\20點對于我們討論的二維流場應力只剩下四個分量，記為

σx為x方向上的正應力（力與面方向一致）；

σy為y方向上的正應力（力與面方向一致）；

τxy為作用于x表面上的y方向上的切應力；

τyx為作用于y表面上的x方向上的切應力。

2023/6/825當前第25頁\共有104頁\編于星期日\20點作用在x方向上表面力的凈值為:作用在y方向上表面力的凈值為斯托克斯提出了歸納速度變形率與應力之間的關系的黏性定律

2023/6/826當前第26頁\共有104頁\編于星期日\20點得出作用在微元體上表面力的凈值表達式：

x方向上y方向上③動量微分方程式在x方向上y方向上2023/6/827當前第27頁\共有104頁\編于星期日\20點對于穩(wěn)態(tài)流動：只有重力場時：3能量微分方程能量微分方程式描述流體溫度場—能量守恒[導入與導出的凈熱量]+[熱對流傳遞的凈熱量]+[內熱源發(fā)熱量]=[總能量的增量]+[對外作膨脹功]2023/6/828當前第28頁\共有104頁\編于星期日\20點Q=E+WW—體積力(重力)作的功表面力作的功（1）壓力作的功：

a)變形功；b)推動功（2）表面應力作的功：a)動能；b)2023/6/829當前第29頁\共有104頁\編于星期日\20點Q=E+WW—體積力(重力)作的功表面力作的功一般可忽略（1）壓力作的功：a)變形功；b)推動功（2）表面應力（法向+切向）作的功：a)動能；b)耗散熱假設：（1）流體的熱物性均為常量變形功=0Q內熱源=0（2）流體不可壓縮（3）一般工程問題流速低（4）無化學反應等內熱源2023/6/830當前第30頁\共有104頁\編于星期日\20點Q導熱+Q對流=U熱力學能+

推動功=H耗散熱（）：由表面粘性應力產生的摩擦力而轉變成的熱量。對于二維不可壓縮常物性流體流場而言，微元體的能量平衡關系式為：

ΔQ1為以傳導方式進入元體的凈的熱流量；ΔQ2為以對流方式進入元體的凈的熱流量；ΔQ3為元體粘性耗散功率變成的熱流量；ΔH為元體的焓隨時間的變化率。2023/6/831當前第31頁\共有104頁\編于星期日\20點①以傳導方式進入元體的凈熱流量

單位時間沿x軸方向導入與導出微元體凈熱量：單位時間沿y軸方向導入與導出微元體凈熱量：2023/6/832當前第32頁\共有104頁\編于星期日\20點②以對流方式進入元體的凈熱流量單位時間沿x方向熱對流傳遞到微元體凈熱量單位時間沿y方向熱對流傳遞到微元體的凈熱量：2023/6/833當前第33頁\共有104頁\編于星期日\20點③元體粘性耗散功率變成的熱流量④單位時間內、微元體內焓的增量：2023/6/834當前第34頁\共有104頁\編于星期日\20點⑤能量微分方程當流體不流動時，流體流速為零，熱對流項和黏性耗散項也為零，能量微分方程式便退化為導熱微分方程式，

所以，固體中的熱傳導過程是介質中傳熱過程的一個特例。2023/6/835當前第35頁\共有104頁\編于星期日\20點4層流流動對流換熱微分方程組（常物性、無內熱源、二維、不可壓縮牛頓流體）4個方程，4個未知量，可求速度場和溫度場2023/6/836當前第36頁\共有104頁\編于星期日\20點再引入換熱微分方程(n為壁面的法線方向坐標)，最后可以求出流體與固體壁面之間的對流換熱系數(shù)，從而解決給定的對流換熱問題。

5求解對流換熱問題的途徑

分析求解。實驗研究。數(shù)值求解。6對流換熱單值性條件2023/6/837當前第37頁\共有104頁\編于星期日\20點單值性條件：能單值反映對流換熱過程特點的條件完整數(shù)學描述：對流換熱微分方程組+單值性條件單值性條件包括：幾何、物理、時間、邊界①幾何條件：說明對流換熱過程中的幾何形狀和大小，平板、圓管；豎直圓管、水平圓管；長度、直徑等②物理條件：說明對流換熱過程物理特征，如：物性參數(shù)、、c和的數(shù)值，是否隨溫度和壓力變化；有無內熱源、大小和分布2023/6/838當前第38頁\共有104頁\編于星期日\20點③時間條件：說明在時間上對流換熱過程的特點，穩(wěn)態(tài)對流換熱過程不需要時間條件—與時間無關④邊界條件：說明對流換熱過程的邊界特點，邊界條件可分為二類：第一類、第二類邊界條件（1）第一類邊界條件：已知任一瞬間對流換熱過程邊界上的溫度值（2）第二類邊界條件：已知任一瞬間對流換熱過程邊界上的熱流密度值2023/6/839當前第39頁\共有104頁\編于星期日\20點§4-3對流換熱過程的相似理論由于對流換熱是復雜的熱量交換過程，所涉及的變量參數(shù)比較多，常常給分析求解和實驗研究帶來困難。人們常采用相似原則對換熱過程的參數(shù)進行歸類處理，將物性量，幾何量和過程量按物理過程的特征組合成無量綱的數(shù)，這些數(shù)常稱為準則2023/6/840當前第40頁\共有104頁\編于星期日\20點1無量綱形式的對流換熱微分方程組首先選取對流換熱過程中有關變量的特征值，將所有變量無量綱化，進而導出無量綱形式的對流換熱微分方程組。出現(xiàn)在無量綱方程組中的系數(shù)項就是我們所需要無量綱數(shù)（或稱：無因次數(shù)），也就是無量綱準則，它們是變量特征值和物性量的某種組合。流場中的任一無量綱變量均可表示為其余無量綱變量和無量綱準則的函數(shù)形式。

2023/6/841當前第41頁\共有104頁\編于星期日\20點yu∞t∞PinPout0Lx以流體流過平板的對流換熱問題為例來進行換熱過程的相似分析。流體平行流過平板的對流換熱過程如圖所示，來流速度為u∞，來流溫度t∞，平板長度L,平板溫度tW，流體流過平板的壓力降為Δp。如果為二維、穩(wěn)態(tài)、流體物性為常數(shù)，且忽略黏性耗散項和體積力項，按圖中所示的坐標流場的支配方程為2023/6/842當前第42頁\共有104頁\編于星期日\20點yu∞t∞PinPout0Lx2023/6/843當前第43頁\共有104頁\編于星期日\20點yu∞t∞PinPout0Lx今選取板長L，來流流速u∞，溫度差Δt=tw-t∞和壓力降Δp=pin-pout為變量的特征值用這些無量綱變量去取代方程組中的相應變量，可得出無量綱變量組成的方程組。

2023/6/844當前第44頁\共有104頁\編于星期日\20點yu∞t∞PinPout0Lx2023/6/845當前第45頁\共有104頁\編于星期日\20點慣性力粘性力熱對流熱量熱傳導熱量2023/6/846當前第46頁\共有104頁\編于星期日\20點對方程整理，可以得到無量綱化的方程組。

2023/6/847當前第47頁\共有104頁\編于星期日\20點2無量綱準則的表達式和物理意義定義為歐拉數(shù)（Euler），它反映了流場壓力降與其動壓頭之間的相對關系，體現(xiàn)了在流動過程中動量損失率的相對大小。2023/6/848當前第48頁\共有104頁\編于星期日\20點稱為雷諾數(shù)，表征了給定流場的慣性力與其黏性力的對比關系，也就是反映了這兩種力的相對大小。利用雷諾數(shù)可以判別一個給定流場的穩(wěn)定性，隨著慣性力的增大和黏性力的相對減小，雷諾數(shù)就會增大，而大到一定程度流場就會失去穩(wěn)定，而使流動從層流變?yōu)槲闪鳌?023/6/849當前第49頁\共有104頁\編于星期日\20點稱為貝克萊（Peclet）準則，記為Pe，它反映了給定流場的熱對流能力與其熱傳導能力的對比關系。它在能量微分方程中的作用相當于雷諾數(shù)在動量微分方程中的作用。其中:稱為普朗特（Prandtl）數(shù)，它反映了流體的動量擴散能力與其熱擴散能力的對比關系。2023/6/850當前第50頁\共有104頁\編于星期日\20點努塞爾（Nusselt）準則，它反映了給定流場的換熱能力與其導熱能力的對比關系。這是一個在對流換熱計算中必須要加以確定的準則。

斯坦頓（Stanton）數(shù)，修正的努塞爾數(shù)，流體實際的換熱熱流密度與可傳遞之最大熱流密度之比。2023/6/851當前第51頁\共有104頁\編于星期日\20點努謝爾特準則與非穩(wěn)態(tài)導熱分析中的畢歐數(shù)形式上是相似的。但是，Nu中的Lf為流場的特征尺寸，λf為流體的導熱系數(shù)；流體側固體側LsLfλfλsNuBiΘ而Bi中的Ls為固體系統(tǒng)的特征尺寸，λs為固體的導熱系數(shù)。它們雖然都表示邊界上的無量綱溫度梯度，但一個在流體側一個在固體側。2023/6/852當前第52頁\共有104頁\編于星期日\20點在運用相似理論時，應該注意：只有屬于同一類型的物理現(xiàn)象才有相似的可能性，也才能談相似問題。所謂同類現(xiàn)象，就是指用相同形式和內容的微分方程（控制方程+單值性條件方程）所描述的現(xiàn)象。電場與溫度場：微分方程相同；內容不同強制對流換熱與自然對流換熱：微分方程的形式和內容都有差異外掠平板和外掠圓管：控制方程相同；單值性條件不同2023/6/853當前第53頁\共有104頁\編于星期日\20點判斷兩個現(xiàn)象是否相似的條件：凡同類現(xiàn)象、單值性條件相似、同名已定特征數(shù)相等，那么現(xiàn)象必定相似。據此，如果兩個現(xiàn)象彼此相似，它們的同名準則數(shù)必然相等。2023/6/854當前第54頁\共有104頁\編于星期日\20點3無量綱方程組的解及換熱準則關系式2023/6/855當前第55頁\共有104頁\編于星期日\20點從上式不難看出，在計算幾何形狀相似的流動換熱問題時，如果只是求取其平均的換熱性能，就可以歸結為確定幾個準則之間的某種函數(shù)關系，最后得出平均的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)和總體的換熱熱流量。由于無量綱準則是由過程量、幾何量和物性量組成的，從而使實驗研究的變量數(shù)目顯著減少，這對減少實驗工作量和實驗數(shù)據處理時間是至關重要的。2023/6/856當前第56頁\共有104頁\編于星期日\20點4特征尺寸，特征流速和定性溫度對流動換熱微分方程組進行無量綱化時，選定了對應變量的特征值，然后進行無量綱化的工作，這些特征參數(shù)是流場的代表性的數(shù)值，分別表征了流場的幾何特征、流動特征和換熱特征。特征尺寸，它反映了流場的幾何特征，對于不同的流場特征尺寸的選擇是不同的。如，對流體平行流過平板選擇沿流動方向上的長度尺寸；管內流體流動選擇垂直于流動方向的管內直徑；對于流體繞流圓柱體流動選擇流動方向上的圓柱體外直徑。2023/6/857當前第57頁\共有104頁\編于星期日\20點特征流速，它反映了流體流場的流動特征。不同的流場其流動特征不同，所選擇的特征流速是不同的。如，流體流過平板，來流速度被選擇為特征尺寸；流體管內流動，管子截面上的平均流速可作為特征流速；流體繞流圓柱體流動，來流速度可選擇為特征流速。2023/6/858當前第58頁\共有104頁\編于星期日\20點定性溫度，無量綱準則中的物性量是溫度的函數(shù)，確定物性量數(shù)值的溫度稱為定性溫度。對于不同的流場定性溫度的選擇是不同的。外部流動常選擇來流流體溫度和固體壁面溫度的算術平均值，稱為膜溫度；內部流動常選擇管內流體進出口溫度的平均值（算術平均值或對數(shù)平均值），當然也有例外。2023/6/859當前第59頁\共有104頁\編于星期日\20點由于對流換熱問題的復雜性，實驗研究是解決換熱問題的主要方法。在工程上大量使用的對流換熱準則關系式都是通過實驗獲得的。我們從無量綱微分方程組推出了一般化的準則關系式。但這是一個原則性的式子，要得到某種類型的對流換熱問題在給定范圍內的具體的準則關系式，在多數(shù)情況下還必須通過實驗的辦法來確定。5對流換熱準則關系式的實驗獲取方法2023/6/860當前第60頁\共有104頁\編于星期日\20點twqLBt∞u∞圖中給出了平板在風洞中進行換熱實驗的示意圖。

為了得出該換熱問題的準則關系式，必須測量的物理量有：流體來流速度u∞,來流溫度t∞,平板表面溫度tw,平板的長度L和寬度B，以及平板的加熱量Q（通過測量電加熱器的電流I和電壓V而得出）。可由得到必須在不同的工況下獲得不同的換熱系數(shù)值。2023/6/861當前第61頁\共有104頁\編于星期日\20點如果認為準則關系式有這樣的形式。這是一種先驗的處理辦法，但是，這給擬合準則關系式帶來較大的方便。最小二乘法是常用的線性擬合方法。采用幾何作圖的方法亦可以求解。

2023/6/862當前第62頁\共有104頁\編于星期日\20點αn=tgαlogNuLogc1

logRe對于幾何結構比較復雜的對流換熱過程，特征尺寸無法從已知的幾何尺度中選取，通常的做法是采用當量尺寸。如異型管槽內的流動換熱，其當量直徑定義為Pf式中f為流體流通面積；P為流體的潤濕周邊。2023/6/863當前第63頁\共有104頁\編于星期日\20點2023/6/864當前第64頁\共有104頁\編于星期日\20點2023/6/865當前第65頁\共有104頁\編于星期日\20點§4-4邊界層（Boundarylayer）理論邊界層的概念是1904年德國科學家普朗特提出的。1邊界層定義①速度邊界層(a)

定義流體流過固體壁面時，由于壁面層流體分子的不滑移特性，在流體黏性力的作用下，近壁流體流速在垂直于壁面的方向上會從壁面處的零速度逐步變化到來流速度。2023/6/866當前第66頁\共有104頁\編于星期日\20點垂直于壁面的方向上流體流速發(fā)生顯著變化的流體薄層定義為速度邊界層。

普朗特通過觀察發(fā)現(xiàn)，對于低黏度的流體，如水和空氣等，在以較大的流速流過固體壁面時，在壁面上流體速度發(fā)生顯著變化的流體層是非常薄的。2023/6/867當前第67頁\共有104頁\編于星期日\20點流體流過固體壁面的流場就人為地分成兩個不同的區(qū)域。twt∞u

δt

δ0x其一是邊界層流動區(qū)，這里流體的黏性力與流體的慣性力共同作用，引起流體速度發(fā)生顯著變化；其二是勢流區(qū)，這里流體黏性力的作用非常微弱，可視為無黏性的理想流體流動，也就是勢流流動。2023/6/868當前第68頁\共有104頁\編于星期日\20點(b)邊界層的厚度當速度變化達到時的空間位置為速度邊界層的外邊緣，那么從這一點到壁面的距離就是邊界層的厚度?。嚎諝馔饴悠桨澹瑄=10m/s：②熱（溫度）邊界層(a)

定義當流體流過平板而平板的溫度tw與來流流體的溫度t∞不相等時，在壁面上方也能形成溫度發(fā)生顯著變化的薄層，常稱為熱邊界層。

2023/6/869當前第69頁\共有104頁\編于星期日\20點(b)熱邊界層厚度

當壁面與流體之間的溫差達到壁面與來流流體之間的溫差的0.99倍時，即，此位置就是邊界層的外邊緣，而該點到壁面之間的距離則是熱邊界層的厚度,記為層流：溫度呈拋物線分布湍流：溫度呈冪函數(shù)分布湍流邊界層貼壁處溫度梯度明顯大湍流換熱比層流換熱強！2023/6/870當前第70頁\共有104頁\編于星期日\20點2邊界層微分方程組引入邊界層概念可使換熱微分方程組得以簡化數(shù)量級分析orderofmagnitude：比較方程中各量或各項的量級的相對大?。槐Ａ袅考壿^大的量或項；舍去那些量級小的項，方程大大簡化無量綱形式的微分方程組對于流體平行流過平板形成的邊界層流動換熱問題也是同樣適用的。

2023/6/871當前第71頁\共有104頁\編于星期日\20點2023/6/872當前第72頁\共有104頁\編于星期日\20點5個基本量的數(shù)量級：主流速度：溫度：壁面特征長度：邊界層厚度：x與L相當，即：0(1)、0()表示數(shù)量級為1和，1>>

。“~”—相當于2023/6/873當前第73頁\共有104頁\編于星期日\20點u沿邊界層厚度由0到u:主流方向上的無量綱速度的數(shù)量級為1由連續(xù)性方程:可以得出v’的數(shù)量級為δ2023/6/874當前第74頁\共有104頁\編于星期日\20點x方向上的動量方程變?yōu)椋?/p>

2023/6/875當前第75頁\共有104頁\編于星期日\20點2023/6/876當前第76頁\共有104頁\編于星期日\20點這就使得動量方程和能量方程變成了拋物型的非線性微分方程；微分方程組經過在邊界層中簡化后，由于動量方程和能量方程分別略去了主流方向上的動量擴散項和熱量擴散項，從而構成上游影響下游而下游不影響上游的物理特征。2023/6/877當前第77頁\共有104頁\編于星期日\20點由于動量方程由兩個變成為一個，而且項可在邊界層的外邊緣上利用伯努利方程求解，于是方程組在給定的邊值條件下可以進行分析求解，所得結果為邊界層的精確解。對于外掠平板的層流流動，主流場速度是均速u∞

，溫度是均溫t∞

；并假定平板為恒溫tw。注意：層流2023/6/878當前第78頁\共有104頁\編于星期日\20點

比較邊界層無量綱的動量方程和能量方程：在忽略動量方程壓力項后，溫度邊界層的厚度與速度邊界層的厚度的相對大小則取決于普朗特數(shù)的大小。當Pr=1時，動量方程與能量方程完全相同。即速度分布的解與溫度分布完全相同，此時速度邊界層厚度等于溫度邊界層厚度。2023/6/879當前第79頁\共有104頁\編于星期日\20點當Pr>1時，Pr=υ/a，υ>a，粘性擴散>熱量擴散，速度邊界層厚度>溫度邊界層厚度。當Pr<1時，Pr=υ/a，υ<a，粘性擴散<熱量擴散，速度邊界層厚度<溫度邊界層厚度。也可從公式得出T∞u∞T∞x0δδtu∞x0δδt(a)Pr<1(b)Pr>12023/6/880當前第80頁\共有104頁\編于星期日\20點3邊界層積分方程組及其求解①邊界層積分方程組1921年，馮·卡門提出了邊界層動量積分方程。1936年，克魯齊林求解了邊界層能量積分方程。所得的結果稱為邊界層問題的近似解。邊界層積分方程一般可由兩種方法獲得：其一是將動量守恒定律和能量守恒定律應用于控制體；其二是對邊界層微分方程直接進行積分。2023/6/881當前第81頁\共有104頁\編于星期日\20點對一固定x，將能量方程從y=0到y(tǒng)=積分得：采用對微分方程積分得到積分方程能量方程為：2023/6/882當前第82頁\共有104頁\編于星期日\20點由分部積分：（b）2023/6/883當前第83頁\共有104頁\編于星期日\20點將v轉化為u，利用2023/6/884當前第84頁\共有104頁\編于星期日\20點式中的擴散項為：代入(b)式得：上式左邊可進一步簡化為：最后能量積分方程為：2023/6/885當前第85頁\共有104頁\編于星期日\20點②邊界層積分方程組求解示例作為邊界層積分方程組求解的示例，仍以穩(wěn)態(tài)常物性流體強制掠過平板層流時的換熱作為討論對象。壁面具有定壁溫的邊界條件。在常物性條件下。動量積分方程不受溫度場的影響，可先單獨求解，解出層流邊界層厚度及摩擦系數(shù)，然后求解能量積分方程，解出熱邊界層厚度及換熱系數(shù)。求解流動邊界層厚度及摩擦系數(shù)2023/6/886當前第86頁\共有104頁\編于星期日\20點在本問題中，u∞為常數(shù)，動量積分方程式（1）左邊的第二項為0。再引入，式（1）為為求解上式，還需補充邊界層速度分布函數(shù)u=f(y)。選用以下有4個任意常數(shù)的多項式作為速度分布的表達式:2023/6/887當前第87頁\共有104頁\編于星期日\20點式中，4個待定常數(shù)由邊界條件及邊界層特性的推論確定，即由此求得4個待定常數(shù)為于是速度分布表達式為2023/6/888當前第88頁\共有104頁\編于星期日\20點積分得分離變量，注意到x=0時δ=0，得無量綱表達式為其中Rex=u∞x/υ,其特性尺度為離平板前緣的距離x。在x處的壁面局部切應力2023/6/889當前第89頁\共有104頁\編于星期日\20點要使邊界層的厚度遠小于流動方向上的尺度（即），也就是所說的邊界層是一個薄層，這就要求雷諾數(shù)必須足夠的大

因此，對于流體流過平板，滿足邊界層假設的條件就是雷諾數(shù)足夠大。由此也就知道，當速度很小、黏性很大時或在平板的前沿，邊界層是難以滿足薄層性條件。2023/6/890當前第90頁\共有104頁\編于星期日\20點隨著x的增大，δ（x）也逐步增大，同時黏性力對流場的控制作用也逐步減弱，從而使邊界層內的流動變得紊亂。把邊界層從層流過渡到紊流的x值稱為臨界值，記為xc，其所對應的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)，即2023/6/891當前第91頁\共有104頁\編于星期日\20點流體平行流過平板的臨界雷諾數(shù)大約是

2023/6/892當前第92頁\共有104頁\編于星期日\20點求解熱邊界層厚度及換熱系數(shù)

先求解熱邊界層厚度。為從式（2）求解熱邊界層厚度，除u=f(y)已由式（4）確定外，還需要補充熱邊界層內的溫度分布函數(shù)t=f(y)。對此