電動力學第五章課件

2023/6/8第四章電磁波的傳播1第四章電磁波的傳播（9課時）

三類典型的電磁波問題：傳播，激發(fā)，與介質相互作用

電磁場的波動性和波動方程，定解問題轉換（傳播問題）

時諧電磁場，獨立齊次邊值關系絕緣介質和導體中的電磁波，電磁波在界面上的反射和折射有限空間的電磁波的傳播，諧振腔和波導管節(jié)次節(jié)名小節(jié)標題4.1電磁場波動方程和時諧電磁場電磁場的波動方程，時諧電磁場，無限均勻、線性各向同性絕緣介質中的平面.電磁波，電磁波的偏振4.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射定解問題的提法，定態(tài)波動方程和無散條件對反射波和折射波的約束，邊值關系對反射波和折射波頻率和波矢的約束，邊值關系對反射波和折射波的幅度約束，物理分析，能量守恒和動量守恒關系4.3導體介質中的電磁波基本方程，無限均勻導體中的平面電磁波，電磁波在導體表面的反射與折射4.4諧振腔和波導管基本方程和邊界條件，諧振腔，波導管2023/6/8第四章電磁波的傳播24.1電磁場波動方程和時諧電磁場電磁場的波動方程(分區(qū)均勻線性各向同性介質)1.基本方程(4.1.2)(4.1.3)2.邊值關系(4.1.4){{絕緣介質、普通導體界面：i0=0

絕緣介質界面：0＝0

(4.1.5){(4.1.1)齊次邊值關系直接用于求解，非齊次邊值關系事后用來確定界面場源2023/6/8第四章電磁波的傳播34.1電磁場波動方程和時諧電磁場3.電場波動方程

將電磁性能方程(4.1.3)代入麥克斯韋方程(4.1.1)得{(4.1.6)運用矢量分析手段，從方程中消去B，化作僅含E的方程：(4.1.7)類似步驟可導出(4.1.12)2023/6/8第四章電磁波的傳播44.1電磁場波動方程和時諧電磁場4.電場波動方程的定解問題

原定解問題(4.1.6)初始條件：邊界條件：

新定解問題(a)基本方程(4.1.7)(將證式(4.1.6)第二式自動成立)(b)

定解條件：電場：磁場：（為何不需要標定邊條件？）

新老定解問題之間的等效性②①①②證畢2023/6/8第四章電磁波的傳播54.1電磁場波動方程和時諧電磁場二時諧電磁場1.定義：在空間任一點以穩(wěn)恒振幅隨時間作簡諧周期變化的電磁場,稱為時諧電磁場,或稱為定態(tài)電磁場.2.時諧電磁場的復數(shù)表述

(4.1.13)

(4.1.15)3.定態(tài)波動方程

(4.1.16){

(4.1.17)

由式(4.1.17)，B=0自動滿足幅度因子滿足的方程化為橢圓型，定解問題轉化為邊值問題，只需給定邊界條件和無限遠處的漸近條件

解的唯一性問題：需由時諧場疊加得通解，然后借助初始條件和其他外部約束條件解決；例如電磁波的反射和折射將證明解的唯一性2023/6/8第四章電磁波的傳播64.1電磁場波動方程和時諧電磁場4.時諧電磁場的邊值關系

原邊值關系

(4.1.4)絕緣介質、普通導體界面：i0=0

絕緣介質界面：0＝0

(4.1.5){

齊次邊值關系可由導出SC電場切向分量連續(xù)導致磁感應強度法向分量自動連續(xù);對時諧場，后者不獨立！一般結論:切向分量連續(xù)的任意矢量場，其旋度的法向分量連續(xù)：2023/6/8第四章電磁波的傳播74.1電磁場波動方程和時諧電磁場

絕緣介質、普通導體界面(i0=0)：

(a)絕緣介質界面：0＝0

齊次邊值關系可由導出證SC磁場強度切向分量連續(xù)導致電位移矢量法向分量自動連續(xù)；后者不獨立！(b)普通導體界面：0

0

，關于電位移矢量法向分量的邊值關系為非齊次，不直接用于求解，而是事后用來計算導體界面的自由面電荷密度結論：用于求解時諧場的獨立齊次邊值關系如下：2023/6/8第四章電磁波的傳播84.1電磁場波動方程和時諧電磁場

理想導體或超導體邊界(體內(nèi)E=B=0)

作為電磁場的邊界

與邊值關系自洽的邊界條件1（良導體或超導體）2S

事后用于計算邊界面上的傳導電流密度和自由電荷密度n說明：Bn=0可由E=0導出，即自動滿足。2023/6/8第四章電磁波的傳播94.1電磁場波動方程和時諧電磁場5.復數(shù)表示下的乘法運算

乘積的瞬時值：取復數(shù)量的實部（瞬時值）之后進行乘法運算

乘積的周期平均值：可直接由復數(shù)量進行計算類比交流電的平均功率表達式：平均功率復電壓(共軛）復電流可寫下電磁能密度、能流密度和功率密度{(4.1.21)(4.1.22)(4.1.23)的周期平均值：2023/6/8第四章電磁波的傳播104.1電磁場波動方程和時諧電磁場三無限均勻線性各向同性絕緣介質中的平面電磁波用直角坐標下的分離變量法求解，對E的某個分量u:取實部：

求解過程（波矢）2023/6/8第四章電磁波的傳播114.1電磁場波動方程和時諧電磁場

物理分析1.平面波(波陣面為平面），沿波矢k方向傳播，相速度為2.橫波，E、B、k滿足右手正交關系(見右圖)EBk3.E和B

同相變化，且4.平均電磁能量密度、能流密度和動量密度：（n為折射率）(4.1.28)(4.1.28)(4.1.29)(4.1.30)2023/6/8第四章電磁波的傳播124.1電磁場波動方程和時諧電磁場5.平均動量流密度：

動量流密度表達式（瞬時值）：相對基矢(eE,eB,ek)及其并矢展開（技巧：選擇合適坐標系）(4.1.33)(4.1.34)瞬時動量流密度：平均動量流密度：2023/6/8第四章電磁波的傳播134.1電磁場波動方程和時諧電磁場電磁波的偏振1.定義：橫電磁波中電場的振動狀態(tài)針對橫電磁波，E和B均與傳播方向垂直只需分析電場的振動狀態(tài)：Re(B)=kRe(E)/2.數(shù)學描述：不妨設電磁波沿z軸傳播，k=kez

偏振度：{：偏振度的模：偏振度的輻角

通過在Re(Ex)－Re(Ey)平面作圖，描出電場矢尖運動軌跡

從電場矢尖運動軌跡判斷偏振特性（個例分析）

按偏振度的模和輻角的取值給出偏振特性的定量判據(jù)（綜合）(E0x,E0y為正實數(shù))3.分析步驟：2023/6/8第四章電磁波的傳播144.1電磁場波動方程和時諧電磁場4.

典型結果線偏振：電矢量矢尖軌跡為直線

判據(jù)：偏振度R為實數(shù)（偏振度的輻角＝0）圓偏振：電矢量矢尖軌跡為圓周

判據(jù)：偏振度為虛數(shù)單位，R=i圖4－1ReExReEyReE0ReEyReE0ReExOO左旋(R=i)右旋(R=－i)右手定則：大拇指指向傳播方向（紙面），電矢量旋轉方向與四指方向一致為右旋，反之為左旋（也適合于橢圓偏振情況）2023/6/8第四章電磁波的傳播154.1電磁場波動方程和時諧電磁場橢圓偏振：電矢量矢尖軌跡為橢圓

判據(jù)：偏振度為復數(shù)；將輻角約化至（0，2）范圍，左旋橢圓偏振（R=i為左圓偏振）右旋橢圓偏振（R=i為右圓偏振）任意（橢圓）偏振波的分解（參見4.1節(jié)末尾的定性陳述）分解為左旋圓偏振波和右旋圓偏振波線偏振基矢：左旋圓偏振基矢：右旋圓偏振基矢復基矢正交歸一關系：{圓偏振與線偏振分量的關系：分解為x向線偏振波和y向線偏振

自然光（非偏振光）：電矢量振動方向隨機等概率分布，例如太陽光2023/6/8第四章電磁波的傳播164.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射定解問題的提法必要性：我們期望解的存在性和唯一性，即給定入射波就能唯一地確定反射波和折射波，從而給出反射折射規(guī)律的確定描述圖4－2xzO2,21,1n12給定入射波:（4.2.1)確定反射波和折射波:(4.2.6)滿足定態(tài)波動方程和無散條件，滿足界面上的邊值關系:(4.2.5)2.定解問題描述：電磁波從1側入射至界面

z＝0(4.2.8)(4.2.9)(4.2.7)2023/6/8第四章電磁波的傳播174.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射二定態(tài)波動方程和無散條件對反射波和折射波的約束

(4.2.11)

(4.2.10)三邊值關系對反射波和折射波的頻率和波矢的約束

(4.2.12)由時間t的任意性推得

(4.2.13)由(4.2.10)

得不能由上式斷定以考察點為原點，引入局地圓柱坐標：

(4.2.16)2023/6/8第四章電磁波的傳播184.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射

(4.2.16)上式表明：反射波和折射波的波矢位于n-k平面（稱為入射面）內(nèi)。取入射面為x-z平面，則由(4.2.16)得

(4.2.18)

(4.2.17)反射波和入射波的頻率和波矢被唯一確定，原通解中求和不復存在。四反射定律和折射定律xzkk12k圖4－3由(4.2.18)得

(4.2.19)

(4.2.20)2023/6/8第四章電磁波的傳播194.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射邊值關系對反射波和折射波的幅度約束獨立齊次邊值關系

解的存在性和唯一性

E與k垂直，E"與k"垂直，各有兩個獨立分量；獨立邊值關系共計4個，解唯一存在。

嘗試分兩種情況進行求解：1.E垂直于入射面，2.E平行于入射面；

依據(jù)：疊加原理

目的：將4元代數(shù)方程化為兩組2元代數(shù)方程求解，簡化計算過程2023/6/8第四章電磁波的傳播204.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射1.E垂直于入射面zHEHxkkEHEk圖4－4猜測：E和E"也垂直于入射面；規(guī)定：指向紙面為電場正向，按電場、磁場、波矢右手正交關系標出磁場強度正向，示于圖4－4{以下一律取

(4.2.21){2023/6/8第四章電磁波的傳播214.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射2.E平行于入射面（H垂直于入射面）猜測：H和H"也垂直于入射面；規(guī)定：指向紙面為磁場正向，按電場、磁場、波矢右手正交關系標出電場強度正向，示于圖4－5{

(4.2.22){zHEHxkkEHEk圖4－5式（4.2.21）和（4.2.22）：菲涅耳公式2023/6/8第四章電磁波的傳播224.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射六物理分析偏振特性：兩種偏振波的反射波和折射波幅度不同；自然光經(jīng)反射和折射后變?yōu)椴糠制窆?。特別當＋"＝90o時，E平行于入射面的波不發(fā)生反射，反射波為偏振方向與入射面垂直的線偏振波。（布儒斯特定律；布儒斯特角）半波損失：當2

>1

時，有>"，對E垂直入射面的情況，有E/E<0，反射波與入射波反相，稱為半波損失。全反射：當2

<1

時，有

<

；當入射角大于某個臨界值時，將達到90或失去意義，折射波消失，入射波發(fā)生全反射。E垂直于入射面:E平行于入射面:菲涅耳公式2023/6/8第四章電磁波的傳播234.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射全反射的數(shù)學分析：臨界入射角：{=c"=/2；

>c

sin>1，"為虛數(shù)！

這表示，k“為復數(shù)矢量；而在復數(shù)法中，波矢允許為復數(shù)量，其實部為物理波矢(正余弦函數(shù))，虛部反映平面波隨空間的衰減(指數(shù)函數(shù))。折射波電場：

折射波沿界面?zhèn)鞑?，沿z向指數(shù)衰減，此時有

傳播速度為，由介質1波速和入射角決定；反射系數(shù)為1，即發(fā)生全反射2023/6/8第四章電磁波的傳播244.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射

折射波不是橫波【備注】當波矢為復數(shù)量時，無散條件(kE=0)

橫波條件！橫波條件：{將可能出現(xiàn)電場或磁場沿x方向的分量，從而破壞橫波條件(1)入射波電場垂直入射面()，電場與x方向垂直，但(2)入射波磁場垂直入射面，磁場與x方向垂直，但2023/6/8第四章電磁波的傳播254.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射七能量守恒和動量守恒關系（物理分析之繼續(xù)）能量守恒關系SSS圖4－6An介質1介質2入射波能流：nSA反射波能流：nSA折射波能流：nSA

直覺分析{

嚴格證明

從1.4節(jié)給出的能流密度的邊值關系出發(fā)：{(4.2.30)

反射系數(shù)和

透射系數(shù)2023/6/8第四章電磁波的傳播264.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射2.動量守恒關系

直覺分析

嚴格證明

從1.4節(jié)給出的光壓公式出發(fā)：入射波動量流密度反射波動量流密度折射波動量流密度{光壓公式：(4.2.34)介質2為透明介質：介質2為全吸收介質：平均值：{(4.2.33)即式(4.2.33)成立2023/6/8第四章電磁波的傳播274.2電磁波在絕緣介質界面上的反射和折射例4.1無限介質平面兩側的介質的磁導率同為0，介電常量分別為1和2,電場強度為E的平面電磁波自1側垂直入射,在界面上發(fā)生反射和折射.在介質2全透明和全吸收兩種情況下,分別計算介質界面所受的壓力.解介質2透明：介質2全吸收：解畢備注：（參見第一章1.4節(jié)（1.4.60）式）2023/6/8第四章電磁波的傳播284.3導體中的電磁波基本方程和邊值關系

基本方程中出現(xiàn)電導率，等效介電常量為復數(shù)，相應波矢為復數(shù)

處理方法和步驟與絕緣介質情況類似2.獨立齊次邊值關系:1.基本方程：3.說明:2023/6/8第四章電磁波的傳播294.3導體中的電磁波用直角坐標下的分離變量法求解電場波動方程，得二無限均勻導體中的平面電磁波(4.3.9)(4.3.10)(4.3.11)橫波條件：無散條件：僅當//時才能滿足(反證法)2023/6/8第四章電磁波的傳播304.3導體中的電磁波電磁波在導體表面的反射與折射

由絕緣介質結果，做如下替換：xzk12k圖4－72,,01,0

反射定律：

折射波衰減方向：

折射定律：沿z向衰減2023/6/8第四章電磁波的傳播314.3導體中的電磁波良導體近似：＋折射波傳播速度：結論：折射波傳播方向近似垂直導體表面，傳播速度遠小于絕緣介質中的光速；二者均與導體的介電常量無關（類比恒定電場中的導體）！2023/6/8第四章電磁波的傳播324.3導體中的電磁波

垂直入射情況下的幅度關系HEHkkEHEk圖4－81,02,,0入射波：反射波：折射波：

邊值關系：{結果：

不妨假定電場正向垂直紙面向內(nèi)

正確列出獨立齊次邊值關系介質2換成理想導體或超導體怎么處理？無折射波；邊值關系：E+E=0;HH'=2H=i0;(i0與E正向一致)i02023/6/8第四章電磁波的傳播334.3導體中的電磁波上述結果與2無關,同樣說明對良導體來說,其介電常量不起作用.反射系數(shù)：

良導體近似及對結果的物理分析：3.半波損失：E/E≈14.折射波的特性：(4.3.29)折射波因歐姆耗散沿透入深度指數(shù)衰減(對比絕緣介質全反射情況)2023/6/8第四章電磁波的傳播344.3導體中的電磁波表面電阻和功率耗散引入表面電阻的目的：實現(xiàn)對良導體表面焦耳耗散的參數(shù)描述

滿足邊界條件：半無限良導體(z

0)中的定態(tài)電磁波解（k=

+i）上述解來自前面垂直入射結果，也可直接代入波動方程驗證在理想導體極限下，下邊界H切向分量有限，E切向分量趨于零①

表面電流：①2023/6/8第四章電磁波的傳播354.3導體中的電磁波圖4－9abi0

平均功率：

表面電阻：積分電導：；表面電阻：1/(

);功率面密度:表面電阻×面電流密度有效值平方2023/6/8第四章電磁波的傳播364.3導體中的電磁波應用：計算電磁波在導體中的穿透深度；計算導體壁的焦耳功率1.計算電磁波在導體中的穿透深度：計算導體壁的焦耳功率采用良導體近似計算功率面密度：在理想導體近似下求解電磁波（見下節(jié)波導管）條件：衰減距離（也正比于1/2）>>波長積分求出單位長度波導管的耗散功率（習題4.13)良導體：普通導體：2023/6/8第四章電磁波的傳播374.4諧振腔和波導管

將電磁波限制在有限空間，實現(xiàn)高頻電磁波的有效激發(fā)和傳播

求解赫姆霍茲方程的邊值問題，分量變量法

不同于反射折射問題，允許出現(xiàn)多解，分析各種波模的性質一基本方程和邊界條件

電磁場以理想導體為邊界，設為S；內(nèi)部填滿均勻線性各向同性介質電場定解問題：磁場及界面場源：(規(guī)定n指向解域內(nèi)部)自動滿足事先將無散條件對邊值的約束條件寫出：圖4－10En(0)nEn(n)nA(4.4.7)僅適于平面邊界；對球面邊界，見習題2.12023/6/8第四章電磁波的傳播384.4諧振腔和波導管二諧振腔1.求解過程（分離變量法）

圖4－11zxyL2L3L1O解域：解域邊界S：針對電場E的某個分量u求分離變量解：(4.4.10)(4.4.11)(4.4.12)由邊界條件定參數(shù)，以Ex為例：{2023/6/8第四章電磁波的傳播394.4諧振腔和波導管m,n,l為正整數(shù)(4.4.14)(4.4.13)對Ey

的和Ez

作類似處理，最終求得：(4.4.15)由無散條件E＝0，導出3個幅度因子滿足如下約束條件：(4.4.16)2023/6/8第四章電磁波的傳播404.4諧振腔和波導管將電場解乘上因子，取其實部,求得實際電場為(4.4.17)2.物理分析不傳播，為駐波解波矢分量取離散值（又稱本征值），由整數(shù)集合（m,n,l）表征,對應解為本征解。在（m,n,l）中，至少有兩個不為零，否則為零解。（m,n,l）本征解的角頻率為由整數(shù)集合（m,n,l）表征的本征解,存在兩個獨立波模最低頻率和最大波長（對L1,L2>L3)：(4.4.16)(4.4.14)(4.4.13)2023/6/8第四章電磁波的傳播414.4諧振腔和波導管三波導管1.求解過程（分離變量法）

解域：解域邊界S：分離變量解：(4.4.21)(4.4.11)圖4－12zyxOba與諧振腔解的區(qū)別：如何看待這一區(qū)別？

兩種取法在數(shù)學上完全等效，可隨意選??；

對諧振腔情況取前者，對波導管情況取后者，可簡化數(shù)學分析，屬

于一種數(shù)學技巧；

諧振腔為駐波解，波導管為行波解，并非來自本征解的取法不同，

而是來自z向邊界的邊界條件；若限于右行波，可取c2=0