2線性回歸直線方程一優(yōu)秀教案

2.3兩個變量的線性相關（二）【課題】：2.3.2線性回歸直線方程（一）【設計與執(zhí)教者】：廣州2中，張和發(fā)【學情分析】：《變量的相關關系》是《高中數學》必修三第二章《統計》中的第三節(jié)，是統計學的重要一節(jié)。在前兩節(jié)中，學生通過實例體會抽樣調查的重要性和必要性，并學習如何收集數據，整理數據，并利用數據估計總體的方法。在本節(jié)中學生將進一步學習如何利用數據研究兩變量間的關系，進一步體會統計學的思想方法，學習運用統計方法解決實際問題。因此，讓學生經歷提出問題到解決問題的全過程是重要而不可或缺的。由于一般來說統計的數據比較多，讓學生學習利用計算機（計算器）等現代信息技術處理數據是素質教育的需要，所以本節(jié)設計要考慮此問題。但由于推導線性回歸直線方程的過程比較復雜，一般的推導學生一時難以接受，課標不做要求，因此重點是讓學生了解推導線性回歸直線方程的最小二乘法的思想，能根據給出的公式建立線性回歸直線方程即可。第1課時（80’）：【教學目標】：（1）知識與技能：了解用最小二乘法的思想推導線性回歸直線的方程，能根據給出的系數公式建立線性回歸直線方程。（2）過程與方法：經歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程，知道最小二乘法的思想。（3）情感態(tài)度與價值觀：通過解決現實生活中兩變量的線性相關問題，養(yǎng)成運用數學方法解決實際問題的科學方法與習慣，體會現代信息技術的廣泛應用?！窘虒W重點】：了解最小二乘法的思想，線性回歸直線方程的應用?！窘虒W難點】：了解最小二乘法的思想【教學突破點】：充分利用現代信息技術的優(yōu)點，解決大量的計算問題，讓學生更好的了解最小二乘法的思想?！窘谭āW法設計】：討論探究、合作交流、講練結合?！菊n前準備】：課件，計算機及相關軟件（Excel,幾何畫板）

【教學過程設計】:教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖一、問題引入（15’）引入：數理統計方法在日常生活中應用廣泛，上節(jié)課我們應用統計的思想方法研究兩個變量間的相關關系，本節(jié)課我們進一步學習如何利用統計方法進行估計或預測。（板題）討論問題：上屆奧運我國金牌總數排第二，而下一屆將在首都北京舉動，因此有人預測下一屆（第從學生感興趣的熟悉的實際問題引入討論，創(chuàng)設問題環(huán)境，激發(fā)學習興趣。29屆）奧運我國金牌總數很可能是第一，你能利用下表數據來對其加以評論嗎？屆次x 23 24 25 26 27 28金牌總數y 15 5 16 16 28 32啟發(fā)：上節(jié)課回顧一一利用散點圖353025數20牌15仝15金105? III I I I I022 23 24 25 26 27 28 29引導：從圖總體上看x與y正相關，線性相關.啟發(fā)：散點圖中的點大體上看，都在一條直線附近，這條直線稱為其線性回歸直線。我們可以利用此線性回歸直線來預測下一屆金牌總數。經歷用不同方法描述線性回歸思考：如何求出其線性回歸直線？方程的過程，有承上引導學生討論不同方法的優(yōu)缺點：1、采用測量的方法，先畫一條直線，測量出各點到它的距離，然后移動直線，到達一個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到回歸方程。2、在圖中選取兩點畫直線，使得直線兩側的點的個數基本相同。3、在散點圖中多取幾個點，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數，將這兩個平均數作為回歸方程的斜率和截距。啟下之作用。上面的這些方法雖然有一定的道理，但總讓人感覺到可靠性不強，所得的直線不只一條，且差別很大，或者所用方法太繁雜，沒有通用性。

二、探究與發(fā)設問：我們用什么標準來衡量所求直線是否最合適？弄清目標，現引導思考：求線性回歸直線方程的目的是什么？抓住問題啟發(fā)：的主要矛回歸直線作為兩個變量具有線性相關關系的代表，我們可利用它來由其中一個量x估計另盾是解決1.最小一個量y,我們希望估計時誤差盡可能小。由于點很多，所以我們應從整體上來考慮。問題的關二乘法鍵。(10’)如圖示，設已知數據組分別為：（西,力）,（石，為），，（/，乂），所要求的回歸直線方程為：9=bx+a,了解最小其中，a,b是待定的系數。實際上記y=bx+a,二乘法的i i思想及其則相應于x由回歸直線得出的估計值y與實際值y的誤差是Iy-yI,i i i i i優(yōu)點，這是本節(jié)的重Zl9點。因此我們可用J|yy1來表示整體上的偏差，i ii=1引導學生看從幾何意義上加深對偏差的理解數形結合，更好理解相關知識的.引導學生看從幾何意義上加深對偏差的理解（土-y）也可刻畫各點與直線的偏差，但它可正可負，直接相加會相互抵消，ii注：為此用ZI￡-yI)注：為此用iii=1因勢利導在引導學生尋找回歸直線時，若學生可能提出利用距離公式，求s（d）的最小值時可因勢利導，說明它的表達式復雜，求最小值比較難處理而且與我們求回歸直線的目的并不相符。強調：目的一一估計，估計時偏差總體上較小，而不是點到直線的距離最小。

當樣本點很多時，含多個絕對值的式子求最小值的運算很不方便，很難找到通用的結果。為此改用下式來衡量n個點與回歸直線整體上的偏差：Q=Z(￡->)2i ii=1即Q=(y-bx-a)2+(y-bx-a)2++(y-bx-a)21 1 2 2 n n這樣，問題歸結為：當a,b為何值時Q最小？接著經過數學上求最小值的運算，可求得系數a,b的公式。這種通過求Z(￡-y)2的最小值而得到回歸直線方程的方法，即求線性回歸直線，使得樣本i ii=1數據的點到它的距離(偏差)的平方和最小的方法叫做最小二乘法。讓學生體會如何避難就易，當最優(yōu)結果較難得到時，可考慮比較接近的結果。2.求回歸直線(簡單介紹)在上式中先把b看作常數，看作關于a的一次函數H(a),當a=y-bx時取最小值g(b),g(b)是關于b的二次函數，類似的可求得最小值gmin一般情形時，用類似的方法可得出：當a,b由卜面公式確定時Q取最小值[ _、， V 一乙(x-x)(y-y)乙xy-nxyl I IIb=-i=1 =4 < E(x-x)2 ￡x2-nx2i ii=1 i=1a=y-bx啟發(fā)：^，b分別為回歸直線方程的縱截距與斜率，當x,y正相關時b>0；當x,y負相關時b<0.y=bX+a說明線性回歸直線經過點(x,y)指出：公式不要求記憶，能根據給出公式求回歸方程即可。3.解決問題例1：我國歷屆奧運獲得金牌數表屆次x 23 24 25 26 27 28讓學生體會統計知13,金牌數y 15 5 16 16 28 32識的應用，培養(yǎng)解決利用公式求y關于x的回歸直線方程，并所此預測29屆奧運會中國的金牌數。實際問題學生練習后點評：的能力

直接用公式求系數：i屆次X金牌數yxyiix2法一培養(yǎng)i計算能力，12315345529法二法三2245120576培養(yǎng)應用32516400625現代信息42616416676技術的能52728756729力。62832896784合計29333919平均25.518.67 —56X—25.5,y——-318.67Xx/i一nxy2933-6x25.5x—77 ,,— —4.43b—i—i—XX2一2 3919--nx26x25.5217.5ii=1a=y-bX=56-4.4義25.5--93.533Ay=4.4x-93.53當x=29時，y=4.4x29-93.53=34.07-34據此可預測第29屆金牌數為34.（引導：實際上還要考慮東道主的優(yōu)勢有多大，讓學生課外找資料統計分析）法二：用Excel軟件求回歸方程（演示）（參考教材P93）（1）把數據輸入Excel表格，選定數據后在菜單項中選擇添加數據圖表（散點圖）（2）選中散點，在菜單中選定“圖表”中的“添加趨勢線”，彈出對話框雙擊回歸直線，彈出“趨勢線格式”對話框，單擊“選項”，選定“顯示公式”，確定即可（演示）法三：用計算器的統計功能求系數（參考教材P94）MODE（進入回歸計算模式）SHIFT（清除統計存儲器）法三：用計算器的統計功能求系數（參考教材P94）MODE（進入回歸計算模式）SHIFT（清除統計存儲器）當數據較多時，應學會利用計算器或計算機求解，讓學生體會現代信息技術的作用。SHIFTSHIFTS-VAR練習.下表是近十屆奧運會男子110米欄第一名的成績：鞏固新知，激發(fā)求知欲，進一步體會統計的應用屆次x19202122232425262728成績y（秒）13.3013.2413.3013.3913.2012.9813.1212.9513.0012.91利用計算器統計功能求線性回歸直線方程，并預測2008年北京奧運會男子110m欄成績呢？學生練習。解：a=14.27,b=0.0483+=-0.0483x+14.27當x=29時+=12.87據此可預測并預測2008年北京奧運會男子110m欄成績大約為12.87秒三、總結提高2,.最小二乘法的思想：.回歸分析：對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的方法叫做回歸分析。運用回歸分析的方法來分析、處理數據的一般步驟是：①收集數據，并制成表格；②畫出數據的散點圖；③利用散點圖直觀認識變量間的相關關系；④運用科學計算器、Excel表格等現代信息技術手段（利用系數公式）求解回歸方程；⑤通過研究回歸方程，提取有用信息，作出比較可靠的趨勢預測，服務于現實生活。方法總結，形成知識系統。四、課程延拓布置作業(yè)：（A）1.教材本節(jié)練習（P96）第1,2題。（B）2.已知復印機復印資料的份數與所用時間具有線性相