實(shí)驗(yàn)數(shù)列極限與生長模型

實(shí)驗(yàn)數(shù)列極限與生長模型第一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型其中為某一生物種群的第n代的個(gè)體總量與該群體所能達(dá)到的最大個(gè)體總數(shù)之比,(n=1,2,3,···)，k為比例常數(shù)。先對方程作簡要的說明，記該生物群體第n代的個(gè)體總量為Mn（n=0，1，2，3，···）由于受生存條件的制約，該群體的個(gè)體總量不可能無限增長，設(shè)其上限為（根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)估算確定），

第二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型又假設(shè)第n+1代的總量Mn+1與Mn呈正比，且M與Mn之間呈正比，即其中K為比例常數(shù)。在上式兩端同除以M，并將分別記作pn和pn+1，再由KMn=KMpn并記KM為k為就得到方程（1）。這個(gè)方程給出了pn和pn+1之間的遞推關(guān)系。第三頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型選定初值p0和比例系數(shù)k的值后，由方程(1)就能生成一個(gè)數(shù)列生物學(xué)家為了預(yù)測群體總量的變化情況，就要研究這個(gè)數(shù)列。他們感興趣的問題是:這個(gè)數(shù)列存在極限嗎?數(shù)列中的項(xiàng)會(huì)出現(xiàn)周期性的變化情況嗎?數(shù)列中的項(xiàng)會(huì)呈現(xiàn)無法預(yù)測的紊亂情況?本實(shí)驗(yàn)依賴Mathematica的計(jì)算和作圖功能，來考察數(shù)列的不同變化情況。從而使讀者對數(shù)列的不同變化趨勢獲得較為生動(dòng)認(rèn)識，加深對數(shù)列的理解·第四頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型實(shí)驗(yàn)步驟寫一個(gè)可用于計(jì)算數(shù)列的前n項(xiàng)的程序，如下程序可用于這個(gè)目的：第五頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型現(xiàn)在令p0=0.5，k取1和3之間兩個(gè)不同的值，執(zhí)行上述程序，觀察圖形顯示的數(shù)列變化趨勢，我們給出k=1.5和2.5的結(jié)果顯示：（1）k=1.5時(shí)，我們鍵入：第六頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型運(yùn)行后輸出如圖（1）第七頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型（2）k=2.5時(shí)，在運(yùn)行了（1）的程序后（請注意：這里及其以后的實(shí)驗(yàn)都是按次序進(jìn)行的，執(zhí)行新程序前，先用“Clear”命令清除變量的值）我們再鍵入：這兩個(gè)數(shù)列看起來是收斂的，這表明：種群中的個(gè)體總量趨于一個(gè)穩(wěn)定的值。運(yùn)行后輸出如圖（2）第八頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型第九頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型請讀者再給以開區(qū)間（0，1）內(nèi)的不同值，而保持上面取定的k值不變，觀察所得的結(jié)果并回答：數(shù)列的極限是否依賴于所取得值？又是否依賴于k所取的值？為什么當(dāng)1<k<3時(shí)，由（1）式能生成收斂數(shù)列呢？回答這個(gè)問題要用到微分學(xué)的知識，對這個(gè)問題的部分回答請見第二章的總復(fù)習(xí)題23題。第十頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型2.再讓k取3和3.4之間的值，觀察數(shù)列出現(xiàn)何種變化，以下給出的情況，我們鍵入：運(yùn)行后輸出見圖（3）第十一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型為了把數(shù)列收斂的變化情況顯得更清楚，我們把上面的點(diǎn)用折線連接起來，為此只要在“ListPlot”中加選項(xiàng)“PlotJoined->True”，即只要鍵入：運(yùn)行后如圖（4）

第十二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型4．最后讓k取3.6和4之間的值，計(jì)算100次并畫出數(shù)據(jù)點(diǎn)圖和折線圖，觀察此時(shí)數(shù)列的變化情況，即鍵入：運(yùn)行后如圖5（a）（b）第十三頁，共十四頁，編輯于2023年，星期二數(shù)列極限與生長模型可見這時(shí)數(shù)列變化的情況變的很紊亂。這里特別指出一種值得注意的現(xiàn)象：現(xiàn)在若給批p0的值一個(gè)微小的變動(dòng)，比如增減0.001