2021年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市中心中學高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析

2021年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市中心中學高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在等差數(shù)列=

A.24

B.22

C.20

D.－8參考答案：A2.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1，1），若P（ξ＜3）=0.976，則P（﹣1＜ξ＜3）=（）A．0.952 B．0.942 C．0.954 D．0.960參考答案：A【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】根據(jù)隨機變量ξ服從正態(tài)分布，知正態(tài)曲線的對稱軸是x=1，且P（ξ＞3）=0.024，依據(jù)正態(tài)分布對稱性，即可求得答案．【解答】解：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1，1），∴曲線關(guān)于x=1對稱，∵P（ξ＜3）=0.9776，∴P（ξ＞3）=0.024，∴P（﹣1≤ξ≤3）=1﹣2P（ξ＞3）=1﹣0.048=0.952．故選A．3. 已知集合M={x|2x>1}，N={x|x≥1}，則 A．[1,+∞)

B．(0,1)

C．(-∞,0)

D．(0,+∞)參考答案：B略4.橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F，若F關(guān)于直線x+y=0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為（）A．﹣1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣2參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】求出F（﹣c，0）關(guān)于直線x+y=0的對稱點A的坐標，代入橢圓方程可得離心率．【解答】解：設(shè)F（﹣c，0）關(guān)于直線x+y=0的對稱點A（m，n），則，∴m=，n=c，代入橢圓方程可得，a2=b2+c2，化簡可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故選：B．【點評】本題考查橢圓的方程簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查對稱知識以及計算能力．5.若集合，則………………（）

參考答案：A6.在直角梯形ABCD中，，動點在以點為圓心，且與直線相切的圓內(nèi)運動，設(shè)，則的取值范圍是A．

B.

C．

D．參考答案：D7.設(shè)函數(shù)的定義域為，，對于任意的，，則不等式的解集為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B8.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C9.在銳角三角形中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對邊，設(shè)B=2A，則的取值范圍是（

） A．

B．

C.

D．（0，2）參考答案：A略10.設(shè)函數(shù)f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，當0＜ξ﹣η＜1時，關(guān)于函數(shù)g（x）=x3﹣x2+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在區(qū)間（η+1，ξ+1）內(nèi)的零點個數(shù)的說法中，正確的是（）A．至少有一個零點 B．至多有一個零點C．可能存在2個零點 D．可能存在3個零點參考答案：B【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】由題意可得f（x）=x3+bx+c=（x﹣η）（x﹣ξ）2，進一步得到η+2ξ=0，2ηξ+ξ2=b，﹣ηξ2=c，且x∈（﹣2ξ，ξ），把函數(shù)g（x）求導，用η，ξ表示b，c，二次求導可得在區(qū)間（η+1，ξ+1）內(nèi)h′（x）＜0，則答案可求．【解答】解：∵η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，∴f（x）=x3+bx+c=（x﹣η）（x﹣ξ）2，即得η+2ξ=0，2ηξ+ξ2=b，﹣ηξ2=c，且x∈（﹣2ξ，ξ），由0＜ξ﹣η＜1，得0＜ξ，η＜0，則g′（x）=x2﹣3x+（b+2）+=，令h（x）=x3﹣3x2+（b+2）x+c﹣b+η=x3﹣3x2+（2﹣3ξ2）x+2ξ3+3ξ2﹣2ξ=（x﹣1）3﹣（1+3ξ2）（x﹣1）+2ξ2﹣2ξ，則h′（x）=3（x﹣1）2﹣（3ξ2+1），當x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）時，h′（x）＜h′（﹣2ξ+1）=（3ξ+1）（3ξ﹣1）＜0．∴h（x）在（η+1，ξ+1）上為減函數(shù)，而h（﹣2ξ+1）=﹣8ξ3+2ξ（3ξ2+1）+（2ξ3﹣2ξ）=0，當x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）時，h′（x）＜h′（﹣2ξ+1）=0，即當x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）時，h′（x）＜0，∴g（x）在（η+1，ξ+1）上為減函數(shù)，至多有一個零點．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線有一條切線與直線平行，則此切線方程為_______參考答案：

12.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，則

．參考答案：13.（不等式選做題）不等式的解集為，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：（不等式選做題）

略14.已知復(fù)數(shù)z1=﹣2+i，z2=a+2i（i為虛數(shù)單位，a∈R）．若z1z2為實數(shù)，則a的值為

．參考答案：4考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．專題：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．分析：利用復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)為實數(shù)的充要條件即可得出．解答： 解：∵=（﹣2+i）（a+2i）=﹣2a﹣2+（a﹣4）i為實數(shù)，∴a﹣4=0，解得a=4．故答案為：4．點評：本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)為實數(shù)的充要條件，屬于基礎(chǔ)題．15.若的最大值是 .參考答案：答案：216.已知圓C過點，且圓心在軸的負半軸上，直線被該圓所截得的弦長為，則圓C的標準方程為

.參考答案：.試題分析：設(shè)圓C的圓心C的坐標為，則圓C的標準方程為.圓心C到直線的距離為：，又因為該圓過點，所以其半徑為.由直線被該圓所截得的弦長為以及弦心距三角形知，，即，解之得：或（舍）.所以，所以圓C的標準方程為.考點：圓的標準方程；直線與圓的位置關(guān)系.17.設(shè)x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，則|+|=

．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算；向量的模．【專題】計算題；平面向量及應(yīng)用．【分析】由向量平行、垂直的充要條件，列出關(guān)于x、y的方程并解之，可得=（2，1）且=（1，﹣2），由此不難算出+向量的坐標，從而得到|+|的值．【解答】解：∵向量=（x，1），=（2，﹣4），且⊥，∴x×2+1×（﹣4）=0，解得x=2，得=（2，1），又∵=（1，y），=（2，﹣4），且∥，∴1×（﹣4）=y×2，解得y=﹣2，得=（1，﹣2），由此可得：+=（2+1，1+（﹣2））=（3，﹣1）∴|+|==故答案為：【點評】本題給出三個向量，在已知向量平行、垂直的情況下求和向量的模，著重考查了向量平行、垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標運算等知識，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)常數(shù)a≥0，函數(shù)f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比較g（x）的最小值與0的大??；（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；（3）求證：當x＞1時，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．參考答案：【分析】（1）依題意求出g（x）的表示式，用導數(shù)研究其單調(diào)性求出其最小值再與0比較；（2）利用（1）的結(jié)論進行證明，判斷時要求注意研究的區(qū)間是（0，+∞）這一特征；（3）由（2）的結(jié)論知只須證明f（1）非負即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣（lnx）（lnx）+2alnx﹣1，x∈（0，+∞）∴，=，∴g（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x∈（0，+∞）∴，令g'（x）=0，得x=2，列表如下：∴g（x）在x=2處取得極小值g（2）=2﹣2ln2+2a，即g（x）的最小值為g（2）=2﹣2ln2+2a．g（2）=2（1﹣ln2）+2a，∵ln2＜1，∴1﹣ln2＞0，又a≥0，∴g（2）＞0證明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）的最小值是正數(shù)，∴對一切x∈（0，+∞），恒有g(shù)（x）=xf'（x）＞0從而當x＞0時，恒有f'（x）＞0故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)證明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴當x＞1時，f（x）＞f（1）又f（1）=1﹣ln21+2aln1﹣1=0∴f（x）＞0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0∴x＞ln2x﹣2alnx+1故當x＞1時，恒有x＞ln2x﹣2alnx+119.已知橢圓的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交于x軸上方的A，B兩點，且，(1)求橢圓的離心率；(2)(i)求直線AB的斜率；(ii)設(shè)點C與點A關(guān)于坐標原點對稱，直線F2B上有一點在的外接圓上，求的值.

參考答案：解：(1)由得，-------------------------1分從而

-------------------------2分

整理，得，

-------------------------3分故離心率

------------------------4分(2)解法一：(ⅰ)由（I）得，所以橢圓的方程可寫------------5分

設(shè)直線AB的方程為，即.

由已知設(shè)，則它們的坐標滿足方程組消去y整理，得.

------------------------6分依題意，而

①

②

------------------------7分由題設(shè)知，點B為線段AE的中點，所以

③聯(lián)立①③解得，

------------------------8分將代入②中，解得.

------------------------9分解法二：利用中點坐標公式求出，帶入橢圓方程

消去，解得解出(依照解法一酌情給分)(ⅱ)由(ⅰ)可知當時，得，由已知得.

------------------------10分線段的垂直平分線l的方程為

-------------11分直線l與x軸的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.

------------------------12分

直線的方程為，于是點H（m，n）的坐標滿足方程組

，

------------------------13分由解得故

------------------------14分20.已知函數(shù)（Ⅰ）當,且時,求的值．（Ⅱ）是否存在實數(shù),使得函數(shù)的定義域、值域都是,若存在,則求出的值；若不存在,請說明理由．參考答案：解：（1）因為時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為時，，所以在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．所以當，且時有，，…4分所以，故；…………………6分（2）不存在．因為當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的值域為；而，………………10分所以在區(qū)間上的值域不是．故不存在實數(shù)，使得函數(shù)的定義域、值域都是………12分21.工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，次品率p與日產(chǎn)量x（萬件）間的關(guān)系為P=（c為常數(shù)，且0＜c＜6），已知每生產(chǎn)1件合格產(chǎn)品盈利3元，每出現(xiàn)1件次品虧損1.5元．（1）將日盈利額y（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；（2）為使日盈利額最大，日產(chǎn)量應(yīng)為多少萬件？（注：次品率=）參考答案：【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】計算題．【分析】（1）要求日盈利額y（萬元），只要找出日產(chǎn)量x（萬件）中正品與次品的數(shù)量，根據(jù)分段函數(shù)分段研究，針對不同的次品率得到不同的正品與次品數(shù)即可；（2）利用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的最大值．【解答】解：（1）當x＞c時，∴當0＜x≤c時，∴∴日盈利額y（萬元）與日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式為（2）由（1）知，當x＞c時，日盈利額為0．當0＜x≤c時，∵∴令y'=0得x=3或x=9（舍去）①當0＜c＜3時，∵y'＞0，∴y在區(qū)間（0，c]]上單調(diào)遞增，∴y最大值=f（c）=，此時x=c②當3≤c≤6時，在（0，3）上，y'＞0，在（3，6）上y'＜0∴y最大值=f（3）=綜上，若0＜c＜3，則當日產(chǎn)量為c萬件時，日盈利額最大；若3≤c＜6，則當日產(chǎn)量為3萬件時，日盈利額最大（13分）【點評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用與計算以及函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)最值，要求熟練掌握求導法則以及導數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性解決問題，是中等題．22.在△ABC中，a，