2021年江西省吉安市金田中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

2021年江西省吉安市金田中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作與實(shí)軸平行的直線，交兩漸近線于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A．3

B．

C．

D．參考答案：C2.已知圓的半徑為2，橢圓的左焦點(diǎn)為，若垂直于x軸且經(jīng)過(guò)F點(diǎn)的直線與圓M相切，則a的值為

A．

B．1

C．2

D．4參考答案：C3.大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵.記鮭魚(yú)的游速為v（單位：m/s），鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為Q.科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)v與成正比.當(dāng)v=1m/s時(shí)，鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為900.當(dāng)v=2m/s時(shí)，其耗氧量的單位數(shù)為（

）A.1800 B.2700 C.7290 D.8100參考答案：D【分析】設(shè)，利用當(dāng)時(shí)，鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為900求出后可計(jì)算時(shí)鮭魚(yú)耗氧量的單位數(shù).【詳解】設(shè)，因?yàn)闀r(shí)，，故，所以，故時(shí)，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用，解題時(shí)注意利用已知的公式來(lái)求解，本題為基礎(chǔ)題.4.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（）A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11參考答案：B【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，由圖象讀出即可．【解答】解：∵f（x）=，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣2=，又g（x）=，則g（x）=2+，∴g（x﹣2）﹣2=，當(dāng)x≠2k﹣1，k∈Z時(shí)，上述兩個(gè)函數(shù)都是關(guān)于（﹣2，2）對(duì)稱，；由圖象可得：方程f（x）=g（x）在區(qū)間上的實(shí)根有3個(gè)，x1滿足﹣5＜x1＜﹣4，x2=﹣3，x4滿足0＜x3＜1，x1+x3=﹣4，∴方程f（x）=g（x）在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為﹣7．故選：B．5.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為棱中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在曲線為（）A．直線

B．圓

C.雙曲線

D．拋物線參考答案：C6.將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖形上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得圖像的解析式為（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移伸縮的變換求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.再把圖形上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）則變成.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖像的變換,屬于基礎(chǔ)題型.7.（5分）某林場(chǎng)計(jì)劃第一年造林10000畝，以后每年比前一年多造林20%，則第四年造林（）A．14400畝B．172800畝C．17280畝D．20736畝參考答案：C【考點(diǎn)】：數(shù)列的應(yīng)用．【專題】：綜合題．【分析】：由題設(shè)知該林場(chǎng)第二年造林：10000×（1+20%）=12000畝，該林場(chǎng)第二年造林：12000×（1+20%）=14400畝，該林場(chǎng)第二年造林：14400×（1+20%）=17280畝．解：由題設(shè)知該林場(chǎng)第二年造林：10000×（1+20%）=12000畝，該林場(chǎng)第三年造林：12000×（1+20%）=14400畝，該林場(chǎng)第四年造林：14400×（1+20%）=17280．故選C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用．8.定義運(yùn)算：，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D9.設(shè)，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是

(

)（A）

（B）

（C）

（D）

ks5u參考答案：C10.，則函數(shù)的大致圖像為（

）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.)已知，那么的最小值為

；參考答案：12.已知數(shù)列{}滿足，則的值為

．參考答案：-313.若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

▲

.參考答案：略14.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.參考答案：

答案：15.已知函數(shù)，若f（2）＝0，則a＝_____。參考答案：﹣3【分析】推導(dǎo)出f（2）=log2（4+a）=0，由此能求出a的值．【詳解】∵函數(shù)f（x）=log2（x2+a），f（2）=0，∴f（2）=log2（4+a）=0，解得a=﹣3．故答案為：﹣3．

16.在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則圓心C到直線l距離為

．參考答案：考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：首先把圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式，再把直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出結(jié)果．解答： 解：圓C的方程為ρ=2，轉(zhuǎn)化為：ρ=2sinθ+2cosθ，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=2x+2y，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2所以：該曲線是以（1，1）為圓心，為半徑的圓．直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：2x﹣y+1=0．所以：圓心到直線的距離為：d=．故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，點(diǎn)到直線間的距離公式的應(yīng)用．主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．17.一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）。為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在（2500，3000）（元）月收入段應(yīng)抽出

人。參考答案：25三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式等問(wèn)題；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想.【試題簡(jiǎn)析】解：（Ⅰ）由得，，故的定義域?yàn)? 1分， 2分因?yàn)?，所? 3分①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增； 4分②當(dāng)時(shí)，由，得，故在上單調(diào)遞減；由，得，故在和上單調(diào)遞增； 5分綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增.

6分（Ⅱ）由（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則 7分從而兩式相減得； 8分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，， 9分則從而 10分兩式相減得，不符合題意，舍去； 11分綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍. 12分【變式題源】（2011全國(guó)卷Ⅰ·理21）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（Ⅰ）求,的值；（Ⅱ）如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍．19.如圖所示，圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3，平面PAC垂直圓O所在平面，直線PC與圓O所在平面所成角為60°，PA⊥PC．（1）證明：AP⊥平面PBC（2）求二面角P—AB一C的余弦值參考答案：(1)見(jiàn)解析.(2).【分析】（1）由已知條件得BC⊥平面PAC，可得又，由此能證明平面．（2）法一：過(guò)作于，由平面平面，知∠HCP為直線與圓所在平面所成角，可得，由此能得到為二面角的平面角.利用平面幾何知識(shí)求解即可．法二：利用空間向量法求解線面角.【詳解】（1）由已知可知，又平面平面圓，平面平面圓，∴平面，∴，又，，平面，平面，∴平面.（2）法一：過(guò)作于，由于平面平面，則平面，則為直線與圓所在平面所成角，所以.過(guò)作于，連結(jié)，則，故為二面角的平面角.由已知，，在中，，由得，中，，故，故，即二面角的余弦值為.法二：過(guò)作于，則平面，過(guò)作交于，以為原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，從而，，設(shè)平面的法向量，則得，令，從而，而平面的法向量為，故，即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的證明，考查線面角、二面角的平面角的作法及求法，也考查了空間向量法的應(yīng)用，考查了空間思維能力，屬于中檔題．20.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E是D1C1的中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證：平面平面DCC1D1；（Ⅱ）求二面角的余弦值.參考答案：（I）證明見(jiàn)解析；（II）.【分析】（Ⅰ）由長(zhǎng)方體特點(diǎn)知平面，根據(jù)面面垂直判定定理證得結(jié)論；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）∵是長(zhǎng)方體

平面又平面

平面平面.（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，

，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為由得：，令，則，

又平面的一個(gè)法向量，二面角是鈍二面角

二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中面面垂直關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問(wèn)題，涉及到面面垂直的判定定理的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠熟練掌握二面角的向量求法，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略所求二面角的范圍，造成求解錯(cuò)誤.21.已知函數(shù)f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常數(shù)．（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在第一象限，試求常數(shù)a的取值范圍；（3）證明：?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；證明題；分類討論；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；（2）討論a=0，a＞0，a＜0，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值、最值，即可得到a的范圍；（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，計(jì)算g（1），g（e），討論當(dāng)a＞e（e﹣1）2或時(shí)，由零點(diǎn)存在定理，即可得證；當(dāng)時(shí)，求出g（x）的最小值，判斷它小于0，再由零點(diǎn)存在定理，即可得證．【解答】（1）解：函數(shù)f（x）=x2+a（x+lnx）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，則函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y﹣（1+a）=（2+2a）（x﹣1），即y=（1+a）（2x﹣1）；（2）解：①a=0時(shí)，f（x）=x2，因?yàn)閤＞0，所以點(diǎn)（x，x2）在第一象限，依題意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；②a＞0時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，x∈（0，1）時(shí)，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），從而“?x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立；③a＜0時(shí)，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得，設(shè)，g′（x）=+，x（0，1）1（1，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↘極小值↗則g（x）≥g（1）=﹣1，從而，﹣1＜a＜0；綜上所述，常數(shù)a的取值范圍﹣1＜a≤0．（3）證明：直接計(jì)算知，設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，，，當(dāng)a＞e（e﹣1）2或時(shí)，＜0，因?yàn)閥=g（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以存在ξ∈（1，e），使g（ξ）=0，即ξ∈（1，e），使f′（ξ）=；當(dāng)時(shí)，g（1）、g（e）≥0，而且g（1）、g（e）之中至少一個(gè)為正，由均值不等式知，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以g（x）有最小值，且，此時(shí)存在ξ∈（1，e）（或），使g（ξ）=0．綜上所述，?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，以及分類討論的思想方法，屬于綜合題．22.（本小題滿分14分）某種商品的成本為5元/件，開(kāi)始按8元/件銷售，銷售量為50件，為了獲