2021年湖北省武漢市培英中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

2021年湖北省武漢市培英中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，OABC是四面體，G是△ABC的重心，G1是OG上一點(diǎn)，且OG=3OG1，則（）A．=++

B．=++C．=++

D．=++參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】根據(jù)G是三角形ABC的重心，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴=×（+）=（+），∴=+=+（+）=+（﹣+﹣）=（++）=3∴==（++）=++．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了三角形重心的應(yīng)用以及空間向量的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．2.已知是不重合直線，是不重合平面，則下列命題①若，則∥②若∥∥，則∥③若∥、∥，則∥④若，則∥⑤若，則∥為假命題的是A．①②③

B．①②⑤

C．③④⑤

D．①②④參考答案：D3.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D該試驗(yàn)所有基本事件(a，b)可在平面直角坐標(biāo)系中表示出來如下圖．易知所有基本事件有5×3＝15個(gè)，記“b>a”為事件A，則事件A所含基本事件有3個(gè)．∴P(A)＝＝，故選D.4.書架上放有中文書5本，英文書3本，日文書2本，則抽出一本外文書的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.首項(xiàng)為－24的等差數(shù)列從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是

A．d＞

B．d＜3

C.≤d＜3 D.＜d≤3參考答案：D6.如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的大小是

()A．30°

B．45°

C.60°

D.90°

參考答案：D7.已知數(shù)列

是等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和，若

,且與2

的等差中項(xiàng)為

,則=()A．35

B．33

C．31

D．29參考答案：C8.若連續(xù)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，其導(dǎo)數(shù)為，且，則函數(shù)的解集為（

）A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.R參考答案：A【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)，即可得到的單調(diào)性，結(jié)合解不等式.【詳解】由題：，構(gòu)造函數(shù)，，，所以在單調(diào)遞增，，，即＜0，所以.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查解抽象函數(shù)相關(guān)不等式，關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，根據(jù)單調(diào)性和特殊值求解不等式.9.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：

.

他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù).下列數(shù)中及時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（

）A.289

B.1024

C.1225

D.1378參考答案：C略10.若在區(qū)間[0，2]中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)大于的概率是（） A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】幾何概型． 【專題】概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】先根據(jù)幾何概型的概率公式求出在區(qū)間[0，2]中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)大于，利用幾何概型求出概率即可． 【解答】解：∵在區(qū)間[0，2]中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)大于的概率為=， 故選：C． 【點(diǎn)評】本題主要考查了幾何概型，簡單地說，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．屬于基礎(chǔ)題． 二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.由曲線y和直線x=1,以及y=0所圍成的圖形面積是__________________;

參考答案：略12.小張同學(xué)拿到一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表，然后要計(jì)算的數(shù)學(xué)期望.盡管“！”處完全無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能判定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此，小張給出了正確答案

．246？??？參考答案：

4

13.若“”是“”的必要不充分條件，則的最大值為

▲

．參考答案：-1

略14.給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做離實(shí)數(shù)

最近的整數(shù)，記作，即.在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：

①函數(shù)的定義域是R，值域是[0，]；②函數(shù)的圖像關(guān)于直線(k∈Z)對稱；③函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是1；④函數(shù)在上是增函數(shù)；則其中真命題是__

．參考答案：①②③略15.如下圖，在三角形中，，分別為，的中點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且.若

，則實(shí)數(shù)

，實(shí)數(shù)

.參考答案：2,116.若“”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為．參考答案：2【考點(diǎn)】全稱命題．【分析】將條件“”是轉(zhuǎn)化為“x∈[0，]時(shí)，m≥2（tanx）max”，再利用y=tanx在[0，]的單調(diào)性求出tanx的最大值即可．【解答】解：∵“?x∈[0，]，m≥2tanx”是真命題，∴x∈[0，]時(shí)，m≥2（tanx）max，∵y=tanx在[0，]的單調(diào)遞增，∴x=時(shí)，tanx取得最大值為，∴m≥2，即m的最小值，故答案為：217.已知復(fù)數(shù)z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i為虛數(shù)單位，aR)．若z1z2為實(shí)數(shù)，則a的值為 ．參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知過點(diǎn)的圓的圓心為．⑴求圓的方程；⑵若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．參考答案：⑴圓半徑即為，所以，……………2分所以圓的方程為．……6分19.（10分）已知A、B為拋物線E上不同的兩點(diǎn)，若拋物線E的焦點(diǎn)為（1，0），線段AB恰被M（2，1）所平分．

（Ⅰ）求拋物線E的方程；（Ⅱ）求直線AB的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）令拋物線E的方程，根據(jù)拋物線E的焦點(diǎn)為（1，0），即可求得結(jié)論；（Ⅱ）利用點(diǎn)差法，結(jié)合線段AB恰被M（2，1）所平分，求出AB的斜率，即可求得直線AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）令拋物線E的方程：y2=2px（p＞0）∵拋物線E的焦點(diǎn)為（1，0），∴p=2∴拋物線E的方程：y2=4x

（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y12=4x1，y22=4x2，兩式相減，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵線段AB恰被M（2，1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程為y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．20.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個(gè)長為，寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長為1的正方形拼成的矩形．（Ⅰ）求該幾何體的體積V；（Ⅱ）求該幾何體的表面積S．參考答案：【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題．【分析】（I）根據(jù)正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個(gè)長為，寬為1的矩形，得到該幾何體是一個(gè)平行六面體（如圖），其底面是邊長為1的正方形，高為，做出體積．（Ⅱ）由第一問看出的幾何體，知道該平行六面體中，A1D⊥面ABCD，CD⊥面BCC1B1，得到側(cè)棱長，表示出幾何體的表面積，得到結(jié)果．【解答】解：（I）由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)平行六面體（如圖），其底面是邊長為1的正方形，高為，∴（Ⅱ）由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥面ABCD，CD⊥面BCC1B1，∴AA1=2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形∴．【點(diǎn)評】本題考查由三視圖求幾何體的表面積和體積，考查由三視圖還原幾何圖形的直觀圖，考查線面垂直的應(yīng)用，本題是一個(gè)簡單的綜合題目．21.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).（I）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線的斜率為1，且與橢圓C相切，求直線的方程.參考答案：（I）設(shè)橢圓的方程為由橢圓的定義， ……3分橢圓的方程為； ……6分（II）得, 與橢圓相切且斜率為的直線方程： ……12分22.（本題滿分13分）如圖7，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）設(shè)，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三

棱柱內(nèi)的概率為．（i）

當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；（ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值．參考答案：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，

因?yàn)锳B是圓O直徑，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面．

………3分

（Ⅱ）（i）有AB=AA1=2，知圓柱的半徑，其體積

三棱柱的體積為，

又因?yàn)?，所以?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而，

故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

所以的最大值是．

…………8分

(ii）方法一：延長A1A，B1O交于G，取AC中點(diǎn)H，連OH，則OH∥BC，且