2021-2022學(xué)年福建省廈門市第二十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年福建省廈門市第二十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，則的圖像大致為參考答案：B略2.命題“”的否定是（A）（B）（C）（D）參考答案：C3.命題“使得”的否定是(

)A．均有B．均有C．使得D．均有參考答案：B4.已知中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c，若的面積為S，且等于A.

B.

C.

D.

參考答案：5.已知，，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A. B. C. D.參考答案：B【分析】由對數(shù)的單調(diào)性可得a＞2＞b＞1，再根據(jù)c＞1，利用對數(shù)的運算法則，判斷b＞c，從而得到a、b、c的大小關(guān)系.【詳解】解：由于，，，可得，綜合可得，故選B.【點睛】本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，熟練運用對數(shù)運算公式是解決對數(shù)運算問題的基礎(chǔ)和前提.6.函數(shù)處的切線方程是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只需將的圖象（A）向右平移個長度單位

（B）向右平移個長度單位（C）向左平移個長度單位

（D）向左平移個長度單位參考答案：A

由圖象可知A=1，又，從而，將代入到中得，，根據(jù)得到，所以函數(shù)的解析式為。將圖象右移個長度單位即可得到的圖象。8.設(shè)的最大值為（

） A．

80 B． C．

25 D．參考答案：A9.已知α∈（0，π），且sinα+cosα=，則tanα=(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；三角函數(shù)的化簡求值．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】將已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，求出sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinα﹣cosα的值，聯(lián)立求出sinα與cosα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：將sinα+cosα=①兩邊平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣＜0，∵0＜α＜π，∴＜α＜π，∴sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，聯(lián)立①②解得：sinα=，cosα=﹣，則tanα=﹣．故選：D．【點評】此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)的化簡求值，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．10.已知集合，，則(

).A．（1,3） B．（2,4） C．（1,4） D．（2,3）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將一個長寬分別a，b（0＜a＜b）的長方形的四個角切去四個相同的正方形，然后折成一個無蓋的長方體形的盒子，若這個長方體的外接球的體積存在最小值，則的取值范圍為．參考答案：略12.已知則

參考答案：略13.為等比數(shù)列，若，則數(shù)列的通項=_____________.參考答案：或略14.拋物線焦點為，準線為，、是拋物線上的兩個動點，且滿足.設(shè)線段的中點在上的投影為，則的最大值是________.參考答案：A試題分析：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，進而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值為1．故選：A．考點：拋物線的簡單性質(zhì)．15.若函數(shù)圖像上存在點滿足約束條件，則實數(shù)的最大值為（

）A．

B．1

C．

D．2參考答案：B16.下列四個命題：①一個命題的逆命題為真，則它的否命題一定為真；②等差數(shù)列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比數(shù)列，則公差為﹣；③已知a＞0，b＞0，a+b=1，則+的最小值為5+2；④在△ABC中，若sin2A＜sin2B+sin2C，則△ABC為銳角三角形．其中正確命題的序號是

．（把你認為正確命題的序號都填上）參考答案：①③【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①利用命題的邏輯關(guān)系可判斷；②根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)判斷③根據(jù)條件，進行變形即可；④根據(jù)正弦定理得出邊的關(guān)系，進行判斷．【解答】解：①一個命題的逆命題與其否命題為等價命題，故正確；②等差數(shù)列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比數(shù)列，則公差為﹣或零，故錯誤；③已知a＞0，b＞0，a+b=1，則+=+=5++≥5+2，故正確；④在△ABC中，若sin2A＜sin2B+sin2C，可推出a2＜b2+c2，A為銳角，但不能得出是銳角三角形，故錯誤．故答案為①③．17.已知函數(shù)若對于任意,都有成立,則實數(shù)的取值范圍是

▲

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等差數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項和為Sn，且a3=5，S3=9．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列{bn}（n∈N*），{bn}的前n項和為Tn，若q＞0且b3=a5，T3=13，求Tn；（3）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【分析】（1）由a3=5，S3=9聯(lián)立方程求出數(shù)列的首項和公差，然后求數(shù)列{an}的通項公式；（2）根據(jù)T3=13，b3=a5，求出公比和首項，求出Tn即可；（3）求出an和bn，從而求出Sn即可．【解答】解：（1）解得，∴an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．（2）由上可得，b3=a5=9，T3=13，所以公比q=3，從而，b1=1，所以=．（3）由（1）知，an=2n﹣1．∴=，∴==．【點評】本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式，要求熟練掌握相應(yīng)的公式．19.（本小題滿分12分）如圖8，在多面體中，平面，∥，平面平面，，，.⑴求證：∥；⑵求三棱錐的體積.參考答案：⑴∵∥，平面，平面

∴∥平面

.…2分又平面，平面平面

∴∥．

…………4分⑵在平面內(nèi)作于點∵平面，平面∴.

…………5分∵平面，平面，∴平面.

………6分∴是三棱錐的高

………7分在Rt△中，，，故

…………8分∵平面，平面∴.

……………9分由⑴知，∥，且∥∴∥，∴.

……………10分

∴三棱錐的體積…12分20.設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）時，求曲線在點處的切線方程；（2）函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.參考答案：（1）；（2）時,最小值為，時,最小值為，時，最小值為．試題分析：（1）求切線方程，先求導(dǎo)數(shù)，得出，，切線方程為；（2）由題意，則，注意，從而，根據(jù)分類討論的正負，得的單調(diào)性，從而求得最小值．試題解析：(1)時，∵，∴，∴曲線在點處的切線方程為即

………6分

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【名師點睛】設(shè)函數(shù)f?x?在上連續(xù)，在?a，b?內(nèi)可導(dǎo)，則求f?x?在上的最大值與最小值的步驟如下：,?1?求f?x?在?a，b?內(nèi)的極值，若函數(shù)f?x?中含有參數(shù)，則需要討論參數(shù)的范圍，從而決定極值存在的位置；,?2?將f?x?的各極值與f?a?、f?b?比較，得出函數(shù)f?x?在上的最值.函數(shù)在區(qū)間上只有一個極小值，這個極小值一定是最小值，函數(shù)在區(qū)間上只有一個極大值，這個極小值一定是最大值．21.各項均為非負整數(shù)的數(shù)列{an}同時滿足下列條件：①；②；③n是的因數(shù)（n≥1）．（1）當時，寫出數(shù)列{an}的前五項；（2）若數(shù)列{an}的前三項互不相等，且n≥3時，an為常數(shù)，求m的值；（3）求證：對任意正整數(shù)m，存在正整數(shù)M，使得n≥M時，an為常數(shù)．參考答案：（1）5，1，0，2，2.

（2）m的值為2,3,4.（3）見解析【分析】（1）由題意得而2是的因數(shù)，所以，依次求出后三項，（2）由前三項互不相等，可分類討論：這四種情況即可，（3）令，則為正整數(shù)，易得為單調(diào)遞減數(shù)列（可相等），當首項確定時，當時，必有成立.而當成立時，可得常數(shù).【詳解】解：（1）5，1，0，2，2.（2）因為，所以，又數(shù)列的前3項互不相等，當時，若，則，且對，都為整數(shù)，所以；若，則，且對，都為整數(shù)，所以；當時，若，則，且對，都為整數(shù)，所以，不符合題意；若，則，且對，都為整數(shù)，所以；綜上，m的值為2，3，4.（3）對于，令，則.又對每一個n，都為正整數(shù)，所以，其中“”至多出現(xiàn)個.故存在正整數(shù)，當時，必有成立.當時，則.從而.由題設(shè)知，又及均為整數(shù)，所以，故常數(shù).從而常數(shù).故存在正整數(shù)M，使得n≥M時，an為常數(shù).22.（12分）某單位280名員工參加“我愛閱讀”活動，他們的年齡在25歲至50歲之間，按年齡分組：第1組[25，30)，第2組[30，35)，第3組[35，40)，第4組[40，45)，第5組[45，50)，得到的頻率分布直方圖如圖所示．（I）現(xiàn)要從年齡低于40歲的員工中用分層抽樣的方法抽取12人，則年齡在第1，2，3組的員工人數(shù)分別是多少？（II）為了交流讀書心得，現(xiàn)從上述12人中再隨機抽取3人發(fā)言，設(shè)3人中年齡在[35，40)的人數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望；（III）為了估計該單位員工的閱讀傾向，現(xiàn)對從該單位所有員工中按性別比例抽取的40人做“是否喜歡閱讀國學(xué)類書籍”進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：（單位：人）

喜歡閱讀國學(xué)類不喜歡閱讀國學(xué)類合計男14418女81422合計221840

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，我們能否有99%的把握認為該單位員工是否喜歡閱讀國學(xué)類書籍和性別有關(guān)系？附：，其中n=a+b+c+d

P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得前三組的人數(shù)分別為：0.02×5×280=28，28，所以前三組抽取的人數(shù)分別為，2，8

3分（II）由上可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，其