2021年河南省信陽市定遠中學高一數(shù)學文聯(lián)考試題含解析

2021年河南省信陽市定遠中學高一數(shù)學文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.拋擲一枚骰子，記事件A為“落地時向上的數(shù)是奇數(shù)”，記事件B為“落地時向上的數(shù)是偶數(shù)”，事件C為“落地時向上的數(shù)是2的倍數(shù)”，事件D為“落地時向上的數(shù)是2或4”，則下列每對事件是互斥事件但不是對立事件的是（） A． A與D B． A與B C． B與C D． B與D參考答案：A2.如圖，己知||=5，||=3，∠AOB為銳角，OM平分∠AOB，點N為線段AB的中點，=x+y，若點P在陰影部分（含邊界）內(nèi)，則在下列給出的關(guān)于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．滿足題設(shè)條件的為（） A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．②⑤參考答案：B【考點】向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義． 【專題】平面向量及應用． 【分析】利用向量共線定理，及三角形法則，將向量表示出來，的系數(shù)對應等于x，y．由此即可解題 【解答】解：設(shè)線段OP與AB的交點為C， 則由向量共線定理知：存在實數(shù)λ，，其中λ＞0， ∴ = =， ∵共線， ∴存在實數(shù)μ，使得， ∵N為AB的中點， ∴μ' 又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB， ∴由正弦定理知，AM=BM ∴AC≤AM=AB， 故， ∴ = = ∴x=λ（1﹣μ），y=λμ， ∴x≥0，y≥0； ∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0； ∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0． 故選：B． 【點評】本題主要考察了平面向量的共線定理以及向量的三角形法則，并涉及到了正弦定理，難度較大，屬于難題． 3.的值為（

）A．B．C．－D．－參考答案：A4.已知函數(shù)y=f（x），則集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0個 B．1個 C．1個或2個 D．0個或1個參考答案：D【考點】子集與真子集．【分析】當2∈[a，b]時，由函數(shù)的定義可知，x=2與函數(shù)y=f（x）只有一個交點；當2?[a，b]時，x=2與函數(shù)y=f（x）沒有交點，即可求．【解答】解：當2∈[a，b]時，由函數(shù)的定義可知，對于任意的x=2都有唯一的y與之對應，故x=2與函數(shù)y=f（x）只有一個交點，即集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素只有一個，當2?[a，b]時，x=2與函數(shù)y=f（x）沒有交點，綜上可得，集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素的個數(shù)為0個或1個故選：D．5.一艘輪船按照北偏東40°方向，以18海里/時的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東20°方向上，經(jīng)過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（

）A.6海里 B.12海里 C.6海里或12海里 D.海里參考答案：A【分析】根據(jù)方位角可知，利用余弦定理構(gòu)造方程可解得結(jié)果.【詳解】記輪船最初位置為，燈塔位置為，分鐘后輪船位置為，如下圖所示：由題意得：，，則，即：，解得：即燈塔與輪船原來的距離為海里本題正確選項：【點睛】本題考查解三角形的實際應用問題，關(guān)鍵是能夠利用余弦定理構(gòu)造方程，解方程求得結(jié)果.6.集合，，則A．B．C．D．參考答案：D略7.下列函數(shù)，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)的是（）A．y=x B．y=x2﹣2x C．y=cosx D．y=2|x|參考答案：D【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】計算題；函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】運用奇偶性的定義和常見函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷D正確，A，B，C均錯【解答】解：選項A，y=x為奇函數(shù)，故A錯誤；選項B，y=x2﹣2x，非即非偶函數(shù)，故B錯誤；選項C，y=cosx為偶函數(shù)，但在區(qū)間（0，+∞）上沒有單調(diào)性，故C錯誤；選項D，y=2|x|為偶函數(shù)，當x＞0時，解析式可化為y=2x，顯然滿足在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，故正確．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．8.已知x0是函數(shù)f（x）=2x+的一個零點．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），則(

)A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0參考答案：B【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】因為x0是函數(shù)f（x）=2x+的一個零點可得到f（x0）=0，再由函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得到答案．【解答】解：∵x0是函數(shù)f（x）=2x+的一個零點∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是單調(diào)遞增函數(shù)，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故選B．【點評】本題考查了函數(shù)零點的概念和函數(shù)單調(diào)性的問題，屬中檔題．9.已知兩點M（－2，0），N（2，0），點P滿足=12，則點P的軌跡方程為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列的通項公式是（），數(shù)列的前項的和記為，則

。參考答案：12.已知A、B、C是單位圓上三個互不相同的點，若||=||，則的最小值是．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算． 【專題】平面向量及應用． 【分析】如圖所示，取=（1，0），不妨設(shè)B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出． 【解答】解：如圖所示，取=（1，0），不妨設(shè)B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））． ∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）． ∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ） =（cosθ﹣1）2﹣sin2θ =， 當且僅當，即時，上式取得最小值． 即的最小值是﹣． 故答案為：﹣． 【點評】本題考查了數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題． 13.已知函數(shù)f（x）和g（x）均為奇函數(shù)，h（x）=a?f3（x）﹣b?g（x）﹣2在區(qū)間（0，+∞）上有最大值5，那么h（x）在（﹣∞，0）上的最小值為．參考答案：﹣9【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)h（x）+2，由題意和函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)h（x）+2的奇偶性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和最值之間的關(guān)系建立方程進行求解即可．【解答】解：由h（x）=a?f3（x）﹣b?g（x）﹣2得，h（x）+2=a?f3（x）﹣b?g（x），∵函數(shù)f（x）和g（x）均為奇函數(shù)，∴h（x）+2=a?f3（x）﹣b?g（x）是奇函數(shù)，∵h（x）=a?f3（x）﹣b?g（x）﹣2在區(qū)間（0，+∞）上有最大值5，∴hmax（x）=a?f3（x）﹣b?g（x）﹣2=5，即hmax（x）+2=7，∵h（x）+2是奇函數(shù)，∴hmin（x）+2=﹣7，即hmin（x）=﹣7﹣2=﹣9，故答案為：﹣9．14.若函數(shù)的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是

參考答案：15.一個等差數(shù)列的前10項之和為100，前100項之和為10，則其前110項之和為_______。參考答案：-11016.已知函數(shù)則_____________；若f(x)=1，則x=___________________．參考答案：4；由題，則若若可得解得舍去）；若可得解得綜上可得即答案為4；17.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},則(uA)∪(uB)=

。參考答案：{1，2，3，6，7}三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）（2015秋?余姚市校級期中）已知函數(shù)f（x）=2x，且f（a+2）=12，g（x）=2ax﹣9x．（1）求g（x）的解析式；

（2）當x∈[﹣2，1]時，求g（x）的值域．參考答案：【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的值域．【專題】數(shù)形結(jié)合；配方法；換元法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】（1）由f（a+2）=2a+2=12可求a，然后代入到g（x）=2ax﹣9x，化簡即可；（2）令t=3x，由x∈[﹣2，1]，可求t∈[，3]，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求g（x）的值域．【解答】解：（1）由題意可得，f（a+2）=2a+2=12，∴a=log23，因此，2ax=（2a）x=3x，∵g（x）=2ax﹣9x，∴g（x）=3x﹣9x；（2）令t=3x，x∈[﹣2，1]，則t∈[，3]，∴g（x）=h（t）=t﹣t2=﹣（t﹣）2+，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，h（t）的圖象關(guān)于t=軸對稱，h（t）max=h（）=；h（t）min=h（3）=﹣6，因此，函數(shù)g（x）的值域為：[﹣6，]．【點評】本題主要考查了函數(shù)解析式的求法和函數(shù)值域的解法，涉及對數(shù)的運算性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．19.參考答案：略20.如圖，已知正方形ABCD在直線MN的上方，邊BC在直線MN上，E是線段BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG，其中AE=2，記∠FEN=，△EFC的面積為．（Ⅰ）求與之間的函數(shù)關(guān)系；（Ⅱ）當角取何值時最大？并求的最大值．

參考答案：解：（Ⅰ）過點F作FH⊥MN，H為垂足由三角知識可證明∠EAB=∠FEH=α，F(xiàn)H=BE

…………2分在Rt△ABE中，EB=AEsinα=2sinα，BC=AB=AEcosα=2cosα所以EC=BC﹣EB=2cosα﹣2sinα

…………4分所以△FCE的面積S==2sinαcosα﹣2sin2α，其中…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S=2sin21.如果定義在R上的函數(shù)f（x），對任意的x∈R，都有f（﹣x）≠﹣f（x），則稱該函數(shù)是“β函數(shù)”．（Ⅰ）分別判斷下列函數(shù)：①y=2x；②y=2x+1；③y=x2﹣2x﹣3，是否為“β函數(shù)”？（直接寫出結(jié)論）（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=sinx+cosx+a是“β函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）已知f（x）=是“β函數(shù)”，且在R上單調(diào)遞增，求所有可能的集合A與B．參考答案：【分析】（Ⅰ）根據(jù)“β函數(shù)”的定義判定．①、②是“β函數(shù)”，③不是“β函數(shù)”；（Ⅱ）由題意，對任意的x∈R，f（﹣x）+f（x）≠0，故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a由題意，對任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx即可得實數(shù)a的取值范圍（Ⅲ）（1）對任意的x≠0分（a）若x∈A且﹣x∈A，（b）若x∈B且﹣x∈B，驗證（2）假設(shè)存在x0＜0，使得x0∈A，則由x0＜，故f（x0）＜f（）．（a）若，則f（）=，矛盾，（b）若，則f（）=，矛盾．（3）假設(shè)0∈B，則f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾．故0∈A，故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0）．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“β函數(shù)”，③不是“β函數(shù)”．…（Ⅱ）由題意，對任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0，．因為f（x）=sinx+cosx+a，所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a．故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a由題意，對任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx．…故實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．…（Ⅲ）（1）對任意的x≠0（a）若x∈A且﹣x∈A，則﹣x≠x，f（﹣x）=f（x），這與y=f（x）在R上單調(diào)遞增矛盾，（舍），（b）若x∈B且﹣x∈B，則f﹣（x）=﹣x=﹣f（x），這與y=f（x）是“β函數(shù)”矛盾，（舍）．此時，由y=f（x）的定義域為R，故對任意的x≠0，x與﹣x恰有一個屬于A，另一個屬于B．（2）假設(shè)存在x0＜0，使得x0∈A，則由x0＜，故f（x0）＜f（）．（a）若，則f（）=，矛盾，（b）若，則f（）=，矛盾．綜上，對任意的x＜0，x?A，故x∈B，即（﹣∞，0）?B，則（0，+∞）?A．（