第21講應(yīng)用最值

第二十一講應(yīng)用最值1．四年級(jí)一班用班費(fèi)購買單價(jià)分別為3元、2元、1元的甲、乙、丙三種文具，要求購買乙種文具的件數(shù)比購買甲種文具的件數(shù)多2件，且購買甲種文具的費(fèi)用不超過總費(fèi)用的一半，若購買的文具恰好用了66元，則甲種文具最多可買件。答案：11；解：設(shè)購買甲種文具x件，則乙種文具為x+2件，以題意有3x≤33，3x+2(x+1)≤66，解得x≤11，所以甲種文具最多購買11件。2．下圖是一個(gè)凈水裝置，水流方向?yàn)閺腁先流向B，再流到C。原來A―B之間有10個(gè)流量相同的管道，B―C之間也有10個(gè)流量相同的管道，現(xiàn)調(diào)換了A―B與B―C之間的一個(gè)管道后，流量每小時(shí)增加了40立方米，問通過調(diào)整管道布局，從A到C的流量最大可增加多少立方米？答案：200；解：調(diào)整一條管道，流量增加了40立方米，即每條粗管道比細(xì)管道的流量多40立方米，流量取決于總流量小的一方，所以調(diào)整5條管道，最大可以增加200立方米。3．每只完整的螃蟹有2只鰲、8只腳，現(xiàn)有一批螃蟹，共有25只鰲、120只腳。其中可能有一些缺鰲少腳的，但每只螃蟹至少保留1只鰲、4只腳。這批螃蟹至多有只；至少有只。答案：25；15；解：從鰲的數(shù)量看，若每只螃蟹都是1只鰲，最多有25只螃蟹，這時(shí)25×4=100<120，所以腳的數(shù)目也沒有問題。若每只螃蟹有2只鰲，則最少有12只螃蟹有2只鰲，還有一只螃蟹有1只鰲，共13只螃蟹。4．袋中有外形完全一樣的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各15個(gè)，每個(gè)小朋友從中摸出2個(gè)小球，至少有個(gè)小朋友摸球，才能保證一定有兩個(gè)人摸的球一樣。答案：7；解：這是抽屜原理問題，若小朋友摸出的球是同色的，有3種不同的摸法。若兩個(gè)球的顏色不同，也有三種不同的摸法，根據(jù)抽屜原理至少有3+3+1=7人時(shí)，保證一定有兩個(gè)人摸的球一樣。5．小明將127粒圍棋棋子放入若干個(gè)袋子里，無論小朋友想要幾粒棋子（不超過127粒），小明只要取出幾個(gè)袋子就可以滿足要求，則小明至少要準(zhǔn)備個(gè)袋子。答案：7；解：每個(gè)袋子中分別放入1、2、4、8、16、32、64個(gè)球時(shí)，就可以滿足要求。所以一共是7個(gè)袋子。6．羊村小學(xué)四年級(jí)進(jìn)行一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，測(cè)驗(yàn)共15道題，如果小喜喜、小沸沸、小美美、小懶懶答對(duì)的題目分別是11道、12道、13道、14道，那么他們都答對(duì)的題目最少有道。答案：5；解：如果它們答錯(cuò)的題目各不相同，則錯(cuò)題分別有4道、3道、2道、1道，一共有4+3+2+1=10道題答錯(cuò)，全對(duì)的至少有15–10=5（道）。7．鏢盤上的數(shù)代表投中這個(gè)區(qū)域的得分，未中標(biāo)記0分。小明把三支飛鏢擲向下圖所示的鏢盤上，然后把三支飛鏢的得分相加，那么小明不可能得到的總分最小是。答案：22；解：2=1+1；4=3+1；5=3+1+1；6=3+3；7=3+3+1；9=8+1；10=8+1+1；11=8+3；13=12+1；14=12+1+1；15=12+3；16=12+3+1；17=8+8+1；18=12+3+3；19=18+8+3；20=12+8；21=12+8+1；而22無法得到，所以不可能得到的總分最小值是22。8．小明、小亮兩人玩撲克牌，他們手里各有點(diǎn)數(shù)為1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的紙牌各一張，兩人每輪各出一張牌，點(diǎn)數(shù)大的為勝，并將兩張牌的點(diǎn)數(shù)差（大減?。?，作為獲勝一方的分?jǐn)?shù)，另一方不得分，10輪牌出完之后，兩人總分之和最大是。答案：50；解：要使兩人的總分之和最大，極端情況就是10個(gè)較大的數(shù)分別減去10個(gè)較小的數(shù)，即(10+10+9+9+8+8+7+7+6+6)–(5+5+4+4+3+3+2+2+1+1)=50。9．期末達(dá)標(biāo)中，如果甲的語文成績或數(shù)學(xué)成績至少有一科比乙的成績高，則稱甲不亞于乙，在一個(gè)有35人的班中，如果某同學(xué)不亞于其余34名同學(xué)，就稱他（她）為優(yōu)秀學(xué)生，那么35人中的優(yōu)秀學(xué)生最多可能有名。答案：35；解：極端情況，這35個(gè)同學(xué)的成績都不相等，可以考慮語文成績最高的同學(xué)數(shù)學(xué)成績最低；語文成績次高的同學(xué)，數(shù)學(xué)成績次低；……。這樣一來，語文成績最好的同學(xué)（語文優(yōu)于其他34人）自然是優(yōu)秀學(xué)生，語文成績第二的同學(xué)（語文成績優(yōu)于其他33人），數(shù)學(xué)是倒數(shù)第二（優(yōu)于數(shù)學(xué)最差的1人），一共也是34人，也是優(yōu)秀學(xué)生。以此類推，可以推出所有的35人都可以是優(yōu)秀學(xué)生。10．某次考試共有15題，計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)是：做對(duì)第一題得1分，做對(duì)第二題得2分，……，做對(duì)第十五題得15分；若做錯(cuò)第一題要倒扣1分，做錯(cuò)第二題倒扣2分，……，做錯(cuò)第十五題倒扣15分。小明做了所有的題，得90分，那么小明至多做錯(cuò)了道題，至少做錯(cuò)了道題。答案：5；1；解：若15道題都做對(duì)，可以得1+2+3+……+15=120（分），實(shí)際得了90分，說明被扣除了30分。而錯(cuò)了1題，除了不得分還要倒扣分。從小分開始扣起，2+4+6+8+10=30，也就是第1、2、3、4、5題做錯(cuò)，得90分；從大分算起，第15題錯(cuò)了就被扣除了30分，所以至少錯(cuò)了1題。11．某商店出售啤酒，規(guī)定4個(gè)空瓶可以換1瓶啤酒，小明家買了24瓶啤酒，他一家前后最多能喝到瓶啤酒。答案：32；解：把24瓶喝完，這24個(gè)空瓶可以換6瓶啤酒；6瓶喝完，拿4個(gè)空瓶換1瓶啤酒，再喝完，現(xiàn)在是剩下3個(gè)空瓶，去借一個(gè)空瓶，換一瓶啤酒，喝完之后，把瓶子還回去。所以一共可以喝到24+6+1+1=32（瓶）啤酒。12．博物館成人門票每張5元，兩名成人可免費(fèi)帶一名兒童；兒童門票每張4元；買5人一組的聯(lián)票，平均每人3.8元，幼兒園張老師帶領(lǐng)4個(gè)小朋友來參觀，遇見王老師、李老師，他們每人帶了5個(gè)小朋友，他們一起買票，最少要花元。答案：64；解：現(xiàn)在一共是17人，按照博物館的規(guī)定，首先用免費(fèi)的方法，即兩個(gè)大人免費(fèi)帶一名兒童，門票是2×5=10（元）；然后是買5人的集體票，是10人（其中1名老師）買票，共花3.8×10=38（元）；最后是4名兒童買兒童票，共花4×4=16（元）。所以最少花10+38+16=64（元）。13．商店里銷售的鉛筆有兩張包裝，五支包裝的每包售價(jià)6元，七支包裝的每包售價(jià)7元。某校至少要購買鉛筆111支，請(qǐng)問至少要花費(fèi)元。答案：112；解：盡量買七支包裝的，111÷7=15……6，如果買16包，則花112元，買了112支鉛筆；如果買了15包七支包裝，剩下6只鉛筆，則需要買2包5只裝的鉛筆，要花費(fèi)15×7+6×2=117（元）。所以最少花費(fèi)112元。14．30粒珠子依8粒紅色、2粒黑色、8粒紅色、2粒黑色、…的次序串成一圈，一只螞蚱從第2粒黑珠子起跳，每次跳過6粒珠子落在下一粒種子上，這只螞蚱至少要跳次，才能落到黑珠子上。答案：7；解：2粒黑色的珠子和8粒紅色的珠子形成一個(gè)以10為周期的循環(huán)，黑色珠子分別在1、2、11、12、21、22、…、的號(hào)碼上，從2開始，每次跳過6粒珠子落在下一粒珠子上，即2+7=9，9+7=16，16+7=23，23+7=30，30+7=37，37+7=44，44+7=51，落在了黑色珠子上，一共跳了7次。15．一本故事書共有30個(gè)故事，每個(gè)故事分別占1、2、3、……、30頁（未必按這個(gè)順序），第一個(gè)故事從第1頁開始，每個(gè)故事都從新的一頁開始，最多有個(gè)故事是從奇數(shù)頁開始的。答案：23；解：先把占偶數(shù)頁的排在前面，共15個(gè)故事，它們都是從奇數(shù)頁開始的，然后排占奇數(shù)頁的故事，第一個(gè)從奇數(shù)頁開始，第二個(gè)從偶數(shù)頁開始，第三個(gè)從奇數(shù)頁開始，第四個(gè)從偶數(shù)頁開始，……，第十五個(gè)從奇數(shù)頁開始，這樣有8個(gè)故事從奇數(shù)頁開始，一共有15+8=23（個(gè)）故事是從奇數(shù)頁開始的。16．DVD播放器的顯示屏上，□□：□□到□□：□□是電子顯示播放時(shí)間，可以從00：01到24：00，要求填入8個(gè)方框的數(shù)字全不相同，那么播放器顯示的最短時(shí)間是分鐘。答案：36；解：從小時(shí)看可以是19點(diǎn)到20點(diǎn)之間，所以最好是19：58到20：34，這樣顯示的最短時(shí)間是36分鐘。17．十二種動(dòng)物的智商為十二個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中九種動(dòng)物各有1只，另三種動(dòng)物分別為2只、3只、4只，這18個(gè)動(dòng)物的智商和為216，其中最高智商的最大值是。答案：19；解：有題目看應(yīng)該是智商的水平按1只、2只、3只、4只從高到低排列。設(shè)最高智商的動(dòng)物的智商為x，剩下依次為x–1、x–2、x–3、……、x–11，則x+(x–1)+(x–2)+…+(x–8)+2×(x–9)+3×(x–10)+4×(x–11)=216.18x–128=216，18x=344，x=344÷18=19……2，所以最高智商的最大值是19.18．某籃球運(yùn)動(dòng)員參加了10場比賽，他在第6、7、8、9場比賽中分別得到了23、14、11、和20分，他在前9場比賽的平均分比前5場比賽的平均分要高，如果他10場比賽的平均分超過了18分，那么他在第10場比賽至少得分。答案：29；解：第6、7、8、9場比賽的平均分是(23+14+11+20)÷4=17（分）。所以前5場比賽的平均分比17少，最多得17×5–1=84（分）。如果他10場比賽的平均分超過18分，即10場至少共得18×10+1=181（分），而現(xiàn)在前9場比賽最多得84+68=152（分），所以第10場比賽他至少得181–152=29（分）。19．國王有100名武士，每兩名武士要么互相是朋友，要么互相是敵人，要么互相不認(rèn)識(shí)，每人只同朋友講話。但不巧的是，每名武士的任意兩個(gè)朋友都互為敵人，他的任意兩個(gè)敵人都互為朋友。國王為了讓這100名武士都知道他的的命令，至少要通知名武士。答案：20；解：如果A與B是朋友，我們就在AB之間連一條實(shí)線，如果是敵人，我們就連一條虛線，首先一個(gè)人不能有超過2個(gè)朋友，假設(shè)A有B、C、D三個(gè)朋友，而B、C、D之間互為敵人，又因?yàn)镃、D均為B的敵人，C、D應(yīng)該是朋友，產(chǎn)生矛盾。所以每個(gè)人最多有2個(gè)朋友。我們計(jì)算一