2022-2023學(xué)年河南省商丘市永城太邱鄉(xiāng)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022-2023學(xué)年河南省商丘市永城太邱鄉(xiāng)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的值域?yàn)?

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】設(shè)2x=sinθ，利用三角函數(shù)化簡y=（|sin（+）|+|cos（+）|），從而求值域．【解答】解：設(shè)2x=sinθ，則=+=|sin+cos|+|sin﹣cos|=|sin（+）|+|sin（﹣）|=（|sin（+）|+|cos（+）|）∵1≤|sin（+）|+|cos（+）|≤，∴≤（|sin（+）|+|cos（+）|）≤2，故選C．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的化簡與值域的求法，關(guān)鍵在于換元．2.設(shè)函數(shù)則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是（

）．（A）[，1] （B）[，＋∞)（C）[0，1] （D）[1，＋∞)參考答案：B3.在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若=2，=，則λ=（） A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義． 【分析】本題要求字母系數(shù)，辦法是把表示出來，表示時(shí)所用的基底要和題目中所給的一致，即用和表示，畫圖觀察，從要求向量的起點(diǎn)出發(fā)，沿著三角形的邊走到終點(diǎn)，把求出的結(jié)果和給的條件比較，寫出λ． 【解答】解：在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn) ∵=2，=， ∴=， ∴λ=， 故選A． 【點(diǎn)評】經(jīng)歷平面向量分解定理的探求過程，培養(yǎng)觀察能力、抽象概括能力、體會(huì)化歸思想，基底給定時(shí)，分解形式唯一，字母系數(shù)是被基底唯一確定的數(shù)量． 4.下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（）①存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使；②所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；③斜率相等的兩條直線都平行；④至少存在一個(gè)正整數(shù)，能被５和７整除。Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４參考答案：Ｃ

解析：①方程無實(shí)根；②２時(shí)質(zhì)數(shù)，但不是奇數(shù)；③④正確。

5.若不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A.或 B.或C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)題意得出，由此求出的取值范圍.【詳解】解：顯然a=0，不等式不恒成立，所以不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用判別式解決一元二次不等式恒成立問題，是基礎(chǔ)題.6.已知定義在R上的奇函數(shù)g(x)滿足：當(dāng)時(shí)，，則（

）A.2 B.1 C.-1 D.-2參考答案：A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和函數(shù)解析式得到相應(yīng)的函數(shù)值即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的解析式得到：故答案為：A.【點(diǎn)睛】這給題目考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，以及分段函數(shù)的應(yīng)用，解決分段函數(shù)求值問題的策略：(1)在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；(2)分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其對應(yīng)法則也不同的函數(shù)，分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是多個(gè)函數(shù)；分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函數(shù)時(shí)要分段解決；(3)求f(f(f(a)))的值時(shí)，一般要遵循由里向外逐層計(jì)算的原則。7.已知等差數(shù)列｛an,｝的前n項(xiàng)和為sn，且S2=10,S5=55,則過點(diǎn)P(n,)，Q(n+2,)(n∈N+*)的直線的斜率為A、4

B、3

C、2

D、1參考答案：D8.三個(gè)數(shù)大小的順序是

（

）A．

B.C．

D.參考答案：A略9.某同學(xué)參加期末模擬考試，考后對自己的語文和數(shù)學(xué)成績進(jìn)行了如下估計(jì)：語文成績（x）高于85分，數(shù)學(xué)成績（y）不低于80分，用不等式組可以表示為A. B. C. D.參考答案：A10.△ABC三邊a、b、c，滿足，則三角形ABC是（

）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等邊三角形 D.直角三角形參考答案：C【分析】由基本不等式得出，將三個(gè)不等式相加得出，由等號成立的條件可判斷出的形狀?！驹斀狻繛槿叄?，由基本不等式可得，將上述三個(gè)不等式相加得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，是等邊三角形，故選：C。【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”條件的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（6分）設(shè)集合S={x|x＜1}，T={x|x≤2}，則S∩T=

；S∪T=

；T∩?RS=

．（R表示實(shí)數(shù)集）參考答案：（﹣∞，1），（﹣∞，2]，{x|1≤x≤2}.考點(diǎn)： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；交集及其運(yùn)算．專題： 集合．分析： 根據(jù)交集并集補(bǔ)集的概念，即可求出解答： ∵S={x|x＜1}，T={x|x≤2}，∴?RS═{x|x≥1}，∴S∩T={x|x＜1}=（﹣∞，1），S∪T={x|x≤2}=（﹣∞，2]，T∩?RS={x|1≤x≤2}=，故答案為：（﹣∞，1），（﹣∞，2]，點(diǎn)評： 此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．參考答案：(－∞,1]【分析】通過換元，找到內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，得到單調(diào)區(qū)間.【詳解】函數(shù)，設(shè)t=,函數(shù)化為，外層函數(shù)是減函數(shù)，要求整個(gè)函數(shù)的增區(qū)間，只需要求內(nèi)層函數(shù)的減區(qū)間，即t=的減區(qū)間，為.故答案為：.13.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，，則角C＝________．參考答案：由1＋＝和正弦定理得，cosA＝，∴A＝60°．由正弦定理得，＝，∴sinC＝．又c<a，∴C<60°，∴C＝45°．

14.若，且，則的最小值為_______.參考答案：【分析】將變換為，展開利用均值不等式得到答案.【詳解】若，且，則時(shí)等號成立.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，“1”的代換是解題的關(guān)鍵.15.（5分）已知函數(shù)f（x）=3x+x﹣3的零點(diǎn)為x1，函數(shù)g（x）=log3x+x﹣3的零點(diǎn)為x2，則x1+x2=．參考答案：3考點(diǎn)： 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．專題： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 函數(shù)g（x）=log3x+x﹣3的零點(diǎn)即方程log3x+x﹣3=0的根，從而化為x=33﹣x；函數(shù)f（x）=3x+x﹣3的零點(diǎn)可化為方程3x=3﹣x的根，從而可得x1=3﹣x2，從而解得．解答： 函數(shù)g（x）=log3x+x﹣3的零點(diǎn)即方程log3x+x﹣3=0的根，即log3x=﹣x+3，即x=33﹣x；同理，函數(shù)f（x）=3x+x﹣3的零點(diǎn)可化為方程3x=3﹣x的根，且方程3x=﹣x有且只有﹣個(gè)根，故x1=3﹣x2，故x1+x2=3；故答案為：3．點(diǎn)評： 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16.觀察下列數(shù)表：

根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)表中第行中所有數(shù)的和為__________。參考答案：17.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：m＜﹣1【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】先將函數(shù)進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題．結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，從而確定m的取值．【解答】解：令t=f（x），則原函數(shù)等價(jià)為y=2t2+3mt+1．做出函數(shù)f（x）的圖象如圖，圖象可知當(dāng)t＜0時(shí)，函數(shù)t=f（x）有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)t=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)0＜t＜1時(shí)，函數(shù)t=f（x）有四個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)t=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)t=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．要使關(guān)于x的函數(shù)y=2f2（x）+3mf（x）+1有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)y=2t2+3mt+1有兩個(gè)根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1，則由根的分布可得，將t=1，代入得：m=﹣1，此時(shí)g（t）=2t2﹣3t+1的另一個(gè)根為t=，不滿足t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，則，解得：m＜﹣1，故答案為：m＜﹣1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.直線l的方程為（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；（2）若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線的一般式方程．【分析】（1）通過討論2﹣a是否為0，求出a的值即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷a的范圍即可．【解答】解：（1）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為零，當(dāng)然相等，∴a=2，方程即3x+y=0；（2分）若a≠2，則=a﹣2，即a+1=1，∴a=0即方程為x+y+2=0，∴a的值為0或2．（6分）（2）∵過原點(diǎn)時(shí)，y=﹣3x經(jīng)過第二象限不合題意，∴直線不過原點(diǎn)（10分）∴a≤﹣1．（12分）【點(diǎn)評】本題考查了直線方程問題，考查分類討論，是一道基礎(chǔ)題．19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．

（I）討論的單調(diào)性；

（II）若恒成立，證明：當(dāng)時(shí)，．參考答案：解：（Ⅰ）f￠(x)＝，x＞0．若a≤0，f￠(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上遞增；若a＞0，當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f￠(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，f￠(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f(x)在(0，＋∞)上遞增，又f(1)＝0，故f(x)≤0不恒成立．若a＞2，當(dāng)x∈(，1)時(shí)，f(x)遞減，f(x)＞f(1)＝0，不合題意．若0＜a＜2，當(dāng)x∈(1，)時(shí)，f(x)遞增，f(x)＞f(1)＝0，不合題意．若a＝2，f(x)在(0，1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，f(x)≤f(1)＝0，合題意．故a＝2，且lnx≤x－1（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”）． …8分當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，f(x2)－f(x1)＝2ln－2(x2－x1)＋2＜2(－1)－2(x2－x1)＋2＝2(－1)(x2－x1)，所以＜2(－1)． …12分20.（本小題滿分12分）已知△ABC的周長為，且，(1)求邊AB的長；(2)若△ABC的面積為，求角C的度數(shù)。參考答案：（12分）解：(1)在△ABC中，由正弦定理可設(shè)，故即，又，∴，即邊AB的長為1；

……………6分(2)由題，△ABC的面積為=又，且故角C的度數(shù)為。

………………12分略21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在是減函數(shù)，在是增函數(shù)。(1)已知利用上述性質(zhì)，試求函數(shù)在的值域和單調(diào)區(qū)間；(2)由(1)中的函數(shù)和函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：(1)令

則

依題可知：在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增。所以的值域?yàn)椋缓瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)依題可知，恒成立等價(jià)于在恒成立設(shè)令

則

所以22.設(shè)事件A表示“關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有實(shí)根”，其中a，b為實(shí)常數(shù)．（Ⅰ）若a為區(qū)間[0，5]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，b為區(qū)間[0，2]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，求事件A發(fā)生的概率；（Ⅱ）若a為區(qū)間[0，5]上的均勻隨機(jī)數(shù)，b為區(qū)間[0，2]上的均勻隨機(jī)數(shù)，求事件A發(fā)生的概率．參考答案：【考點(diǎn)】CF：幾何概型；CC：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（Ⅰ）本題是古典概型，首先明確事件的個(gè)數(shù)，利用公式解答；Ⅱ）本問是幾何概型的求法，明確事件對應(yīng)的區(qū)域面積，利用面積比求概率．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a∈{0，1，2，3，4，5}，b∈{0，1，2}時(shí)，共可以產(chǎn)生6×3=18個(gè)一元二次方程．若事件A發(fā)生，則a2﹣4b2≥0，即|a|≥2|b|．又