2022-2023學(xué)年廣東省湛江市高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年廣東省湛江市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合"=付*<1}，8={小<2},則小=（）

A.（一8,2）B.（°，1）C.。2）D.（1，1°）

【答案】C

【分析】求出集合4再根據(jù)交集的運算即可得出答案.

【詳解】解："={Mgx<l}={T0<x<l°},

所以/08=（0,2）

故選：C.

2.已知數(shù)列5}為等比數(shù)列，若％=2,4=32,則4的值為（）

A.8B.±8C.16D.±16

【答案】A

【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.

【詳解】因為為等比數(shù)列，設(shè)S"}的公比為4,

貝Ij4=q,q=2,4=4々=32,

兩式相除可得「甘6,所以d=4,

%=4?=32+4=8

所以于,

故選：A.

3.正方體中，E是棱8的中點，若4B=2,則點8到平面"/E的距離是

4-3亞

A.舊B.5c.5D.~

【答案】B

【解析】由題意結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征利用等體積法求解點面距離即可.

【詳解】設(shè)點8到平面的距離為由等體積法可知：%=〃TBE,

即;xS△型￡?=；xSgx(；x2x">"=；x(gx2x2)x2

ABE-AA{

解得「二衿

【點睛】本題主要考查點面距離的求解，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和

計算求解能力.

4.設(shè)i為虛數(shù)單位，。€口，“。=1”是“復(fù)數(shù)'一了一口是純虛數(shù)”的()條件

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】先化簡z,再根據(jù)純虛數(shù)的定義求出。的值，利用充分條件和必要條件得定義即可判斷.

_且__1"i-21+i

【詳解】復(fù)數(shù)21-/20-0(1+02225是純虛數(shù)，

則/-1=0,解得a=±l,

一上__1_

故，，a=1，，是“復(fù)數(shù)z一下一匚7是純虛數(shù)”的充分不必要條件,

故選：A.

【點睛】對于復(fù)數(shù)的乘法，類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不

含i的看作另一類同類項，分別合并即可；對于復(fù)數(shù)的除法，關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軌復(fù)

數(shù)，解題中要注意把i的事寫成最簡形式.

5.已知/(x)=sinxcosx,則/G)的最小值與最小正周期分別是()

A.2,兀B.T,兀C.2,2兀D.-2,2無

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦的二倍角公式化簡，即可根據(jù)周期公式求解出周期，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最小

值.

f(x)=sinxcosx=-sin2x-=n

【詳解】2,故最小正周期為2,最小值為2.

故選：A.

體重6位：kg)

6.目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI身同黑位：m?)來衡量人體胖瘦程度以及是否健

3

康.某公司對員工的BMI值調(diào)查結(jié)果顯示，男員工中，肥胖者的占比為前；女員工中，肥胖者

2

的占比為麗，已知公司男、女員工的人數(shù)比例為2：1,若從該公司中任選一名肥胖的員工，則該

員工為男性的概率為（）

3933

A.W0B.200C.5D.4

【答案】D

【分析】先求出任選一名員工為肥胖者的概率和肥胖者員工為男性的概率，再根據(jù)條件概率計算即

可.

【詳解】設(shè)公司男、女員工的人數(shù)分別為2〃和"，

c33”

217X---=--

則男員工中，肥胖者有10050人，

2n

nx=—

女員工中，肥胖者有10050人，

設(shè)任選一名員工為肥胖者為事件A,肥胖者為男性為事件8,

3?3〃n

貝產(chǎn)尸叱耍V,

1

P(AB)5Q3

尸網(wǎng)4）===

P(A)-2__4

則75

故選：D.

x2V2

—5H—z-—1(〃>h>0)

7.。是橢圓。b2上的一點,A為左頂點，尸為右焦點，PF'x軸，若

{anZPAF=-

2,則橢圓的離心率0為()

也6-1

A.2B.2C.3D.2

【答案】D

\PF\=—,

【分析】PF，》軸得a,在直角中由正切的定義可得db，c的齊次式，從而得出e的

方程，求得結(jié)論.

.-.iPFk—

【詳解】解：軸，11a,

1PF_1

而吐…得

a2,即2(>一/=/+〃*

.?.2/+0-1=0,解得6=-1(舍)或"5.

故選：D.

8.莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，

且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的五角星中，以4B,C,D,E為頂點的多邊形為正

\PT\_V5-1

五邊形，且1,門2.若麗-9=義麗(XGR),則入=()

亞+1后-175+11-亞

A.2B.2C.2D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象的對稱性和向量的運算法則，化簡得到2,即可求解.

【詳解】根據(jù)圖形的對稱性，可得麗=前，"=反，

由和向量的運算法貝可得初一萬=就-反=就+說=而，

又由臥回，阿卜司，故爪與區(qū)所產(chǎn)萼.

故選:D.

二、多選題

9.已知拋物線C/=2px(p>0)的焦點為尸(4,0),p為0上的-動點，/5，1),則下列結(jié)論正確

的是()

A.夕=4B.當(dāng)PFlx軸時，點P的縱坐標(biāo)為8

C.陽的最小值為4D.戶聞+戶可的最小值為9

【答案】CD

【分析】根據(jù)焦點坐標(biāo)可得0=8,即可判斷A,根據(jù)坐標(biāo)運算即可判斷B,根據(jù)焦半徑以及自變量的

范圍即可判斷C,根據(jù)三點共線即可判斷D.

2E_4n-g

【詳解】對于A,由拋物線C：^=2px（p>0）的焦點為“（4,0）可知5-=P-，故A錯誤，

對于B,當(dāng)PFlx軸時，則點2的橫坐標(biāo)為4,將其代入V=16x中得y=±8,故B錯誤，

對于C,設(shè)"（X”。），貝產(chǎn)-”0+5一%+4,由于30,所以囪=x0+424,故陽的最小值

為4,故C正確，

對于D,過戶作PM垂直于準(zhǔn)線于M,過A作AE垂直于準(zhǔn)線于E,

則附+附=照+|「陰"皿"回=6,當(dāng)尸，E,A三點共線時等號成立，

故D正確；

10.將函數(shù)/（x）=，sin（0x+e）的圖象向左平移7個單位長度后得到y(tǒng)=g（x）的圖象如圖，則

A./G）為奇函數(shù)

（7tTC\

B.f（x）在區(qū)間17'萬1上單調(diào)遞增

C.方程/G）=l在（°;］）內(nèi)有4個實數(shù)根

/(x)=2sinf2x-y

D./（X）的解析式可以是

【答案】BC

【分析】利用圖象可求得函數(shù)g（x）的解析式，利用函數(shù)圖象平移可求得函數(shù)/（X）的解析式，可判

斷D選項；計算/（°）可判斷A選項；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項；當(dāng)xe（°，2%）時,

2萬

求出方程’（“"I對應(yīng)的"一5可能取值，可判斷C選項.

【詳解】由圖可知，函數(shù)8（“）的最小正周期為§112TJ）,

,2萬

??0=7=2"7(立「2,

所以，g(x)=2si9+°),則g［母=2"*)2,可得"?夕卜

—+(p=2k7r+—(keZ)(p=2kTV--(keZ)

所以，602、L得"3V)

乃g(x)=2sinf2x-y

|d<-(P=—

因為2,則3所以,

71

將函數(shù)g（x）的圖象向右平移Z個單位可得到函數(shù)/（X）的圖象,

f(%)=2sin271

故

故函數(shù)/（X）不是奇函數(shù)，A錯;

4<x<乃不<212萬<（）（—

對于B選項，當(dāng)時，一§<V"~<，故函數(shù)/（X）在區(qū)間上單調(diào)遞增，B對;

對于C選項,

212乃10萬

----<2x----<----

當(dāng)xe(O,2i)時,333

/（x）=2sin2x----w2sin2x----

對于D選項，'I3）13人口錯.

故選：BC.

11.已知數(shù)列"J滿足q=1,。同=3。“+1,〃eN*,則（）

-%=3"

A.121是數(shù)列中的項B.

*113

-j--------F…H------=

2

C.是等比數(shù)列D.存在％wN*,%

【答案】ABC

【分析】由遞推關(guān)系式ae=3。，,+1可知，通過構(gòu)造等比數(shù)列可求得數(shù)列｛"”｝的通項公式為

_3〃-1

丁，即可計算并判斷出ABC正確；再利用不等式進(jìn)行放縮可得出對于任意的“eN

1113

—H--------F?,?4------<一

412,3可得D錯誤.

13

【詳解】由%=3%+i可得，"""5=3?,+—=—

，又22,

3

是首項為2,公比為3的等比數(shù)列，即C正確;

所以

133"-1

QH—=-x3"Q"=~~~

所以，由等比數(shù)列通項公式可得22，即2

35-1

%=121

當(dāng)〃=5時，2，所以121是數(shù)列中的第五項，即A正確;

_3〃-13""-13"-13x3"-3"”

由“"一亍可得,。向一4---2---------=--------=3

22;即B正確;

12

易知知一3"-1,當(dāng)"22時，3"-1>3"-3"T=2X3"T,

122

所以Z==當(dāng)〃=1時，4=i<2

2.

11112二33

1+1+...+±<1+-+--1-------1-------T=<—

21-2

q333”“12

當(dāng)〃22時，3

11131113

--------p..._|------<一-----1-------F…H-----=

即對于任意的4冊2,所以不存在4wN*,《。22

即D錯誤.

故選：ABC

12.如圖，在平行四邊形488中，4B=T,4）=2,N/=60。，沿對角線8。將△.3。折起到△

PBD的位置,使得平面平面88,連接PC,下列說法正確的是（）

A.平面尸CD_L平面

B.三棱錐尸-88外接球的表面積為10K

正

C.PZ）與平面P8C所成角的正弦值為4

V21

D.若點M在線段上（包含端點），貝面積的最小值為7

【答案】ACD

【分析】結(jié)合線線垂直，線面垂直與面面垂直的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系檢驗A,根據(jù)外接球的球心位置即可

結(jié)合三角形的邊角關(guān)系求解半徑，可判斷B,結(jié)合空間直角坐標(biāo)系及空間角及空間點到直線的距離公

式檢驗6.

[詳解]△3CZ)中，CD=1,BC=2,Z-A=60。,

所以=故BD2+CA=BC2,所以8OLCO,

因為平面平面88,且平面尸8。fl平面8co=80,又BDLCD,CDu平面BCD

所以CZ）,平面尸80,。匚平面尸山^所以平面2^,平面93。，故A正確；

c0N//PB,0N=-PB

取5c的中點為N,PB中點為。，過N作2，由平面平面BCD,且平面

PBDn平面BCD=BD,又8。_L尸8,尸8u平面PSD,故尸8_L平面BCZ）,因此ON_L平面BCD，由于

ON//PB,ON=-PB

△88為直角三角形，且N為斜邊中點，所以08=℃=0力，又2，所以

QB=ON,BQ//ON，因此0P=08,因此°為三棱錐尸-BCD外接球的球心，且半徑為

22

OB=S]BQ+BN=4兀'-=5TT

，故球的表面積為4,故B錯誤,

以。為原點，聯(lián)立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則8（b，0,°）,】0,1,0）P（6

；0,

1),BC=(-V3],0),"(=(百，。，1)

因為8P=(0,°,；

設(shè)平面PBC的法向量為"=GJ*）,

m-BP=OJz=O

所以猛屈=尸1氐+…，取戶5貝產(chǎn)330）

cos<加而>=叵空■=一^二立也

所以1'八。尸12x2/34,故與平面尸8c所成角的正弦值為4,故C正確,

因為必在線段尸。上，設(shè)〃（百“，0,"）,則標(biāo)=（6一6。，0,一“）,

d=隔一（修了=戶一"=J?（凸+3

所以點”到8c的距離V18clV424V4

3

4=-

時

當(dāng)7

d取得最小值7,此時AA/8C面積取得最小值277,D正確.

故

選A

:Ac

三、填空題

13.寫出過點0（—2,2）且與圓（x+l）~+V=l相切的一條直線的方程.

【答案】3x+4y-2=0（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題意：先討論斜率不存在的情況是否成立；斜率存在時，設(shè)出切線方程，利用圓心到

直線的距離等于半徑即可求解.

【詳解】當(dāng)過點尸（一2,2）的直線斜率不存在時：方程為：x=-2,此時直線到圓心的距離”=l=r,

滿足題意；

當(dāng)過點「（I2）的直線斜率存在時：設(shè)方程為：y=*（x+2）+2,

即"-y+2"2=0,因為直線與圓（x+l）2+『=l相切,

\-k+2k+2\

d==13

2

所以yj\+k,解得:4,所以直線方程為：3x+4y-2=0,

所以過點尸（一22）且與圓Q+l）-+/=l相切的一條直線的方程x=-2或3x+4y_2=0,

故答案為：3x+4y-2=0（答案不唯一）.

14.等差數(shù)列｛"J的前"項之和為J，若%=6,則%=.

【答案】66

【分析】直接利用等差數(shù)列前〃項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

S_11（%+。“）_22a$_66

【詳解】由已知條件得22

故答案為:66.

15.若場、礪、反為空間三個單位向量，0A10B,且反與方、麗所成的角均為60。，則

|04+05+OC|=

【答案】亞

【分析】根據(jù)向量的模長公式即可代入求解.

——.OA-OC=OC-OB=\x\xcos6^=-

【詳解】由題意可得°出°5=0,2

|04+05+OC|=+OB2+OC2+204OB+2OAOC+2OC-OB

=,1+1+1+0+2'1+2,-=V5

V22

故答案為：舊

3T

16.已知橢圓2516的右焦點為尸，點P在橢圓上且在x軸上方.若線段尸尸的中點〃在以原點

。為圓心，I°用為半徑的圓上，則直線勿的斜率是.

【答案】/及.

【分析】設(shè)橢圓得左焦點為尸'，連接?！ǎ甘?，根據(jù)線段尸尸的中點M在以原點。為圓心，

1。尸1為半徑的圓上，可得?！辈房谑稀?，從而可求得歸尸卜歸口，在APFF,利用余弦定理求得

NPF尸的余弦值，從而可得出答案.

【詳解】解：設(shè)橢圓得左焦點為尸'，連接

工+片=1

由橢圓2516得，a=5,b=4,c=3,

則下（-3,0）,尸（3,0）,|"，|=2c=6,|PF|+|PF|=2a=10,

因為點M在以原點O為圓心，1°用為半徑的圓上，

所以1°切=1°同=。=3,

因為°，"分別為"’及得中點，

所以附1=2|。尸1=6,所以附|=10一附，|=4,

16+36-36

cosAPFF'==1sinZPFF'=—

所以2x4x63,則3,

所以tanZ.PFF'-272,

因為點P在橢圓上且在x軸上方，則直線PF的傾斜角與/分尸互補,

所以直線P尸的斜率-2&.

故答案為：-2及.

四、解答題

eg/邛

17.在△N8C中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知。=應(yīng)，°=后，5

⑴求sin8；

（2）若8是鈍角，求ZC邊上的中線長.

72

【答案】（1）工

（2）1

【分析】（1）根據(jù)同角基本關(guān)系可得正弦值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理即可求解，

BD=-（BA+BC）

（2）根據(jù)余弦定理可求解*利用向量得2,平方后即可求解.

cos/l=Ae(0,n)sirt4=Vl-cos2A=—

【詳解】(1)由5",則5,由正弦定理得

年,6

ba..bsvaA5M

----=Psm5==---尸一=——

sinBsia4----------ayJ22

R6

cosB=-----

(2)由于8是鈍角，故2,

22

n_a+?-6_2+?-5_V2

cosB-----------------7=---------

由余弦定理可得2ac2,2c2,解得c=l（負(fù)值舍去），

BD=-（BA+BC）

設(shè)/C邊上的中線為80,則2,

（2BD）2=（BA+BC）2=c2+a?+2accos8=『+（何+2xlxV2x|--|=1

所以I2J,

I甌,“1

所以2,即4C邊上的中線長為2.

22

xy

18.設(shè)第一象限的點例（X。'％）是雙曲線彳一瓦一乂>，上的一點，已知C的一條漸近線的方

y——x

程是2.

V23

~^~xo~y（）v-

（1）求人的值，并證明：2X。；

⑵若直線/號=>3和曲線c相交于E,了兩點，求怪尸］

【答案】（1心=血，證明見解析

⑵

【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可得力=后，進(jìn)而根據(jù)分析法即可求解,

（2）聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理以及弦長公式即可求解.

C:江-5=1僅>0）_,b

y=±

【詳解】（1）4b2,的漸近線方程為2\故=區(qū)

二上1,例("o)

雙曲線方程為42在雙曲線上，所以42

V23

丁/一4<—―一旦飛一40

要證2%,只需證2%,由于%>0,%>0,若2X。，顯然成立，若

2

3|V2312129Alxn

—>0~z~xo~^o~")—3V2<2——1

X。時，只需要證明lX。)，即證2%,<4人因此只需要

99299

<-869<8n+

2%>2V4---

由

得

故

明144

而

證%

9八n勺■,3

-<3^12-2丁玉)一汽〈一

與成立，因此2%

K一片=1

<42=>x2—12x+22=0

(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程L=X-3,

設(shè)尸(孫功上(孫凹)，則西+々=12戶產(chǎn)&=22,所以由弦長公式得：

間=國(網(wǎng)+xj_4中2=V2V122-4,22=4將

19.如圖，在棱長為2的正方體"88-44G"中，E為4D中點.

(1)求平面DBD\與平面E8"夾角的余弦值；

(2)探究線段8c上是否存在點尸，使得。尸〃平面S"E?若存在，確定點尸的位置；若不存在，說

明理由.

V3

【答案】⑴2

(2)存在，點下為線段8c上靠近點C的三等分點

見解析

【分析】(1)以。為原點，DA,DC,所在直線分別為X軸，N軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

求出平面84E的法向量，平面的一個法向量.利用空間向量的數(shù)量積即可求解

(2)假設(shè)在線段8c上存在點尸，使得。尸〃平面通過向量共線以及向量的數(shù)量積為0,求

解即可.

【詳解】（1）如圖，以。為原點，DA,DC,OR所在直線分別為X軸，y軸，z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，

則”(2,

22

0,。)，8(2,2,°),C(0,2,。)，。(0,0,°),E(l,0,。)，/2,2,),0,)

率=(1,0,-2),麗=(1,2,0),

設(shè)平面3RE的法向量斤=(x,y,z),

n-D^E=0(x-2z=0

萬?麗=。，即fx+2y=°,

令x=2,則y=-l,z=l,.,.萬=(2,T,1),

連接/C,AClBDt由于平面ZC,ZCu平面/C,所以A。，/。，

?XC1平面BQ。，4C=(-2,2,0)為平面B.D的一個法向量.

cos〈而外=至A==一直

...\AC\\n\76x782,

旦

?.?平面與平面￡8"夾角不超過9(y,故平面。瓦^與平面旗2夾角的余弦值為2

(2)假設(shè)在線段8c上存在點F,使得。尸〃平面8RE.

設(shè)醞=2函(2€[0,1]),函=(2,0,2),DF^DC+CF=DC+A,CBt=(0,2,0)+A(2,0,2)=(2A,2,2A)

?.?。尸//平面,二而_L萬，即方.厲=0,

.?.(2/1,2,2孫(2,t,1)=0,即6"2=0,解得'-3厘°'”,

???在線段A。上存在點尸，使得。尸〃平面8?；颍藭r點尸為線段8c上靠近點C的三等分點.

20.甲、乙兩人組成“新隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概

率為P,乙每輪猜對的概率為夕(。＞4).在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也

互不影響.已知“新隊”在一輪活動中都猜錯的概率為6,只猜對一個成語的概率為萬.

⑴求P，4的值；

(2)求“新隊”在兩輪活動中猜對2個成語的概率.

q=一

【答案】⑴I2

13

⑵36

【分析】(1)根據(jù)相互獨立事件發(fā)生的概率公式求解；

(2)分情況討論，根據(jù)相互獨立事件發(fā)生的概率公式計算.

(1一P)(1一夕)=一

【詳解】(1)都猜錯的概率為6,

即p+"2的二,

7

p+q=7o

pq=_q=—

所以13解得〔2.

.111

[------=-

(2)“新隊”在一輪比賽中猜對2個的概率為623,

11111113

-X-----1-----X------1-----X-=-------

所以“新隊”在兩輪活動中猜對2個成語的概率為36632236.

21.設(shè)等比數(shù)列"J的前"項和為S"，且“向=25,+1,(〃eN)

(1)求數(shù)列"J的通項公式；

(2)在“,與“間之間插入〃個實數(shù)，使這〃+2個數(shù)依次組成公差為4的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前

〃項和為北，求證：孩.

【答案】(1)“"

(2)證明見解析

即可求出數(shù)列｛%｝的通項公式;

【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系和等比數(shù)列的性質(zhì),

77F,可得4,23'再利用錯位相減法即可得出.

（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得

【詳解】（1）解：?.4M=2S,+1①

“22時，=2S〃_]+1②

a2aa

①一②=>〃，+一n=n=>n+\=(〃之2)

而外=2囚+1,由｛""｝為等比數(shù)列，...2q+l=3%=%=

(2)解："?+1”+1,

_234n〃+1

...n-2^+23?+237+-''+2^377+2377(?)

23n-\n〃+1

3"2-312-322,3"-223一2?