2022-2023學年新疆維吾爾自治區(qū)喀什高二年級上冊學期期末數學試題含答案

2022-2023學年新疆維吾爾自治區(qū)喀什高二上學期期末數學試題

一、單選題

1.已知向量不=體，1，4）萬=（1，后，-2）,^alb,*=（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【分析】根據空間向量數量積的坐標運算即可求解.

【詳解】...）=&I，4）/=（I,A,-2）,若&,

則…+「"4,（-2）=0,即斤=4.

故選：C

2.已知等比數列｛“"｝的前〃項和為S”,若%出。3=8,%=16,則$7的值為（）

A.127B.128C.63D.64

【答案】A

【分析】根據條件求出4國，然后可算出答案.

【詳解】等比數列｛""｝的前"項和為S"，小少3=8,%=16,

<

???'"聞4=16,解得6=1，夕=2,

1-27

邑=----=127

則1-2,

故選：A.

3.若也｝為等差數列，其前〃項和為S”,邑=2,Sg=8,則用=（）

A.10B.14C.16D.18

【答案】D

【分析】由等差數列的性質得到其，S「S&,芯2-國成等差數列，即2（S8-SJ=邑+L-S8,代

入求值即可.

【詳解】｛見｝為等差數列，由等差數列的性質得S”，Sf,品一國成等差數列，

A2（58-S4）=S44-5,2-58,即2x（8-2）=2+，2-8,

解得：品=18.

故選：D.

4.已知直線3x+"T=°與圓（X-1）2+3T）2=4相交于A,B兩點,則弦長以團的值為（）

16184

A.5B.5C.55

【答案】B

【分析】根據已知求出圓心到直線的距離，再結合弦長公式求解即可.

【詳解】解：圓C：（xT『+3-1）2=4的圓心坐標為。（1,1）,半徑廠=2,

|3xl+4xl-l|_6

圓心C。1）到直線：3x+4y-l=0的距離V32+42

=2〃2-屋=216

.,?弦MBI的長為T

故選：B.

5.若1,m,4三個數成等比數列，則圓錐曲線的離心率為（）

y/28A/6娓

A.2或百B.2或6C.3或加D.3或2

【答案】A

【分析】根據等比中項加=±2,進而根據橢圓和雙曲線的離心率公式即可求解.

【詳解】71,tn,4三個數成等比數列，.?.療=4,解得加=±2,

2y21V2

x~+—=1e=F=F

當加=2時，則圓錐曲線為2,此時離心率為V22,

x2-^=le=2=6

當機=-2時，則圓錐曲線為2,此時離心率為1,

故選：A

6.如圖，在直三棱柱48c□48/G中，。為棱487的中點，/C=2,CG=1,8C=2,則

異面直線。與8G所成角的余弦值為（）

V2屈V15五

A.6B.15C.5D.3

【答案】B

【分析】以C為坐標原點，C4C8,CG所在直線分別為x,力z軸建立空間直角坐標系，利用空間

向量求解即可.

【詳解】解：因為在直三棱柱MCEJZ/BQ中，4℃=1,80=2,A。18G

所以以C為坐標原點，C4C8,CG所在直線分別為“，外z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則C(0,0,0),。(2,0,0),0(0,2,0),G(0,0,1),4(2,0,1),4(0,2,1),

因為。為棱/的中點，所以0(1，草)，

所以麗=(1,1,1)聞=(0,-2,1),

，/FFi-2+1_-1

所以(DX訃\_解CDBCy__A/15

715

所以異面直線CD與5G所成角的余弦值為15,

7.已知“8C的周長為12,'（一2,0）,0（2,0）,則頂點A的軌跡方程為（

)

xy廠J-1

A,石+正?。?°）B.1?+16=，(^*0)

22

X~/_x2丁

C.記+五=1(戶0)記+『1("0)

D.

【答案】D

【分析】依題意可得1"°川"8|=8＞忸。］,根據橢圓的定義可知頂點A的軌跡是以'（一2，°）,

°（2，0）為焦點長軸長為8的橢圓（不含x軸上的頂點），從而求出軌跡方程.

【詳解】解：?.*5C的周長為12,，（一2,0）,0（2,0）

.忸C|=4pC|+|^S|=12-4=8>|5C|

???頂點A的軌跡是以8（一2,0）,（）,長軸長為8的橢圓（不含x軸上的頂點），

又c=2,。=4,可得〃=/七=12,

片+廣=1

二頂點A的軌跡方程為：1612&*°）.

故選：D.

8.己知拋物線C：V=8x的焦點為尸，準線為/,是/上一點，。是直線P尸與C得一個交點,

若FP=4FQ,貝小。尸六（）

75

A.2B.3C.2D.2

【答案】B

【分析】利用拋物線的定義及相似三角形的性質可得也列=內回=3,從而可得正確的選項.

【詳解】設準線與x軸的交點為“，則忸訓=4,

PQ_=l

如圖所示，因為再=4而，故P尸4,

\MQ\.\PQ\=3

過點。作。垂足為加，則0M//X軸，所以4巧4,

所以闕=3,由拋物線定義知，I。尸卜悶=3,

故選：B.

二、多選題

9.已知公差為d的等差數列｛〃〃｝中，%=7,%=35,其前〃項和為W,則（）

A.%=19gd=4c.a?=3"+l口.S"=2rT+n

【答案】ABD

【分析】根據等差數列的通項公式，求出公差和首項，進而求出通項公式和前"項和即可判斷.

【詳解】等差數列0｝的公差為“，因為出=7,%=35,

J%+"=7

則1%+8"=35,解得《=3,d=4,故選項B正確；

...%=《+44=3+4x4=19,故選項A正確；

a,=3+（〃-l）x4=4〃！故選項C錯誤；

S=3n+~—xd=2n2+n

2,故選項D正確.

故選：ABD.

1

y=±—x

10.已知焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程為’2,實軸長為4,則（）

A.該雙曲線的虛軸長為4

B.該雙曲線的焦距為4石

C.該雙曲線的離心率為逐

D.該雙曲線的焦點到漸近線的距離為4

【答案】BCD

a_1

v2X2廠5

【分析】根據題意設雙曲線方程為如方，則[2〃二4,求出〃力，從而可得雙曲線

方程，然后逐個分析判斷即可.

^~2~~T2=1（。>>0）

【詳解】解：依題意，可設雙曲線方程為。3，則

a_1

<~b~2]a=2

21,解得W=4,

所以雙曲線方程為416

對于A,由于6=4,所以雙曲線的虛軸長為助=8,所以A錯誤，

對于B,由°=2,6=4,得0="2+"=反而=2石,所以雙曲線的焦距為4石，所以B正確,

廠《，=氈=右

對于C,由a=2,c=2"5,得離心率為a2,所以C正確，

|4喝.

對于D,由雙曲線的對稱性，不妨取焦點（°，2逐），則其到漸近線的距離為,?+22,所以D

正確，

故選：BCD

11.已知遞減的等差數列｛“”｝的前〃項和為S〃，S6=S8,則（）

A.劭＞0B.S/a〈OC.S/5＜0D.S7最大

【答案】ACD

【分析】由&=工可得4+%=°,由等差數列｛的為遞減數列，所以做＜°＜%,所以當14〃47時

%＞0,時為＜0,根據等差數列的求和公式和性質，逐項分析判斷即可.

［詳解］由5=又可得S8_S6=G+%=°,

由等差數列｛。〃｝為遞減數列,

所以故A正確;

S.,"+“|3-13=13%>0

又2故B錯誤;

Rs="丁xl5=15『<0

,故C正確:

由等差數列｛?！ǎ秊檫f減數列，所且

所以當時勺＞0,

〃N8時。所以SZ最大，故D正確

故選：ACD

12.下列選項正確的是（）

A,直線x一即+3=0（，〃eR）恒過定點（TO）

B.圓/+/=4上有且僅有3個點到直線/：x-y+3=°的距離都等于1

C.直線&+y+l=°的傾斜角為150。

D.與圓（x—2）~+/=2相切，且在x軸、了軸上的截距相等的直線只有一條

【答案】AB

【分析】直接令）'=°即可得判斷A；計算出圓心到直線的距離為1可判斷B；得出斜率即可得傾斜

角判斷C；分為直線過原點和不過原點兩種情形可判斷D.

【詳解】直線"一"沙+3=°（"eR）,令尸0,得x=-3,即恒過定點（T°）,A正確；

d=￡、

圓x2+/=4的圓心為（0,0）,半徑為2,圓心到直線的距離V2,

則圓/+/=4上有且僅有3個點到直線/：'-尸+3=°的距離都等于1,故B正確；

直線0x+y+l=°的斜率為％=-百，其傾斜角為120。，故C錯誤；

圓（x-2）-+/=2的圓心為（2,°）,半徑為區(qū)

當直線過原點時，依題意可設為了=.，即云-y二°,

捫+公,解得*=±i,即切線為*士y=°,

當直線不過原點時，依題意可設為x+y=",即x+y-a=0,

J2,解得a=°（舍去）或。=4,即x+y-4=0,

即在x軸、y軸上的截距相等的直線有三條，故D錯誤；

故選：AB.

三、填空題

C1

J-\_-4"+1=2+——

13.在數列I"，中，q=2,%,則％=

12

【答案】5##2.4

【分析】根據遞推式先求出外,再由遞推式可求出火

c1

%=2+一

【詳解】因為在數列S"｝中，4=2

an

.1.15

%=2+—=2+—=—

所以622,

clr212

%=2+—=2+—=—

所以“255

12

故答案為：5

y=-x2

14.拋物線4的準線方程是.

【答案】歹二一1

y=-x2,

【分析】將4化成拋物線的標準方程廠=4），，利用拋物線的性質求解即可.

y=-X2,—=1

【詳解】由4得：廠=4乙所以2P=4,即：2

y=—x2j=--=-1

所以拋物線4的準線方程為：-2.

【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質，屬于基礎題.

15.過點/（2，-1），例-3,3）的直線方程（一般式）為.

［答案］4x+5y-3=0

【分析】先求出直線的斜率，再利用點斜式求出直線方程，然后化簡為一般式即可.

k_3_（T）_

【詳解】因為過點42,-1）,8（-3,3）的直線的斜率為--3-2―

4

y+1=—（X—2）

所以直線方程為5,

化為一般式為?+5y-3=o,

故答案為：4x+5y-3=0.

16.已知橢圓方程為靛+F一隈左、右焦點分別為耳、鳥，P為橢圓上的動點，若

的最大值為丁，則橢圓的離心率為.

【答案】2

￡e=

【分析】利用橢圓的定義結合余弦定理可求得標,再利用公式,一”涯力可求得該橢圓的離心率

的值.

【詳解】由橢圓的定義可得儼用卡歸用=2",

C-F冏1+歸6？平引QM+歸用丁-閨引-2附|.|「用

由余弦定理可得'22閥|?明2M.i%

4a2-4c24b2.4b2,2b2.

=—］2---------------------------------］=--------?=‘'—j

2閥IF閭\［吶+|尸用丫2fa2

NX-

2

2

2乃2bic、紅」Q=J_

因為/々Pg的最大值為T,則萬一-COST~-2,可得/一^,

e=￡=jZ=：FV=V3

因此，該橢圓的離心率為/-2

正

故答案為：2.

四、解答題

17.如圖所示，在四棱錐M/8C。中，底面48CD是邊長為1的正方形，且和48,的夾

角都是60。7是CM的中點，設5=/8,b=AD,c=AM,試以Z,b,c為基向量表示出向量

BN

【分析】根據題中的條件，由向量的線性運算，即可得出8N.

【詳解】因為N是CM的中點，底面/8C。是正方形，

麗=前+麗=而+上函=而+!(而-就)=赤+上(而-萬-瓦)

所以222

1—1—1——1-1-1-

=——AB+-AD+-AM=——a+-b+-c

222222.

18.已知圓心在x軸上的圓C與x軸交于兩點Z(2,0),B(6,0),

(1)求此圓的標準方程；

(2)設尸(XJ)為圓C上任意一點，求P(x,y)到直線x-V+1=°的距離的最大值.

［答案】⑴（x-4）?+/=4

辿+2

⑵2

【分析】(1)根據42,0),8(6,0)先確定出圓心，半徑，進而得出圓的標準方程;

(2)求出圓心到直線的距離，加上半徑，即為圓上一點到直線距離的最大值.

【詳解】(1)依題意，該圓的一條直徑為力8,中點(4,0)為圓心，于是半徑r=6-4=2,故圓

的標準方程為：(X-4>+V=4

(2)根據點到直線的距離公式，圓心(4，°)到直線x-V+l=°的距離d為：

一」4+1|_5M5四

a~n-----2~od+r='+2

,故尸(x，y)到直線x_y+i=o的距離的最大值為：2

19.己知等差數列｛""｝中，4+%+%=18,%+。7=-6.

⑴求㈤｝的通項公式：

(2)求也，｝的前〃項和S，的最大值.

【答案】⑴/=-3〃+15

(2)30

【分析】(1)根據等差數列的性質得到公差”=-3,從而求出通項公式；

(2)由%=-3〃+1520得到"《5’且當“=5時，4=0,從而得到“=4或〃=5時，S”取得最大

值，利用等差數列求和公式求出最大值.

【詳解】(1)等差數列MJ中，

%+%+%=3%=18,解得:%=6

%+%=2%=-6,解得：％=-3,

aa

d^6~3=-3-6

故公差6-33

故通項公式“"=%+(〃-3”=6-3(〃-3)=-3〃+15；

(2)令/=_3〃+1520,解得:w<5,且當〃=5時,%=0,

...〃=4或”=5時，｛%｝的前n項和\取得最大值，

=^y—^=2x(124-3)=30

又,

故S”的最大值為30.

20.已知拋物線物.=2px(p>0)的焦點為凡第四象限的一點尸(2,)),且閥=3.

(1)求C的方程和W的值；

(2)若直線/交C于/1,8兩點，且線段48中點的坐標為(U),求直線/的方程

【答案】⑴V=4x,m=-2y[2_

⑵2x-y-l=0

【分析】（1）根據拋物線的定義求出夕的值，再將點的坐標代入即可求出加的值；

（2）利用點差法求出直線/的斜率，代入點斜式方程即可求解.

|「同=2+乂=3、

【詳解】（1）由拋物線的定義可知，?12，解得P=2,

所以拋物線C的方程為V=4x,則機2=8,

因為點尸⑵⑼在第四象限，所以機<0,解得“=-2&：

所以C的方程為V=4x,m=-2y/2

1y'=4占

（2）設8（%?。瑒t1員=4%，

兩式相減可得，⑶-%）（"+%）=4（占一》2）,

必f4

所以*一々M+外,又因為線段48中點的坐標為（1」），

號=91=_±_,=2

則有演_》2y,+y22,

則由點斜式可得，直線/的方程為y7=2（x-l）,即2x-y-l=°.

21.已知數列應｝的前”項和為S”,且S〃=〃2+3〃.數列0J是等比數列,4=1,牝-%

⑴求包｝的通項公式；

（2）求數歹1」也，也｝的前〃項和

【答案】⑴見=2〃+2,b?=2"-'

⑵7>〃.2’用

【分析】（1）利用%與S”之間的關系，可得數列｛凡｝的通項公式，利用等比數列的通項公式，可

得數列｛"｝的通項公式；

（2）利用錯位相減法可得答案.

【詳解】(1)???E，="+3〃，

...當"22時，a,=S“-S,T=+7〃-1)~-7-1)=2〃+7,

又6=5=7,也滿足上式，=2〃+2,

又數列也｝是等比數列，4=1,%-28=%,

...12-54=8一/=2,溥=2",

(2)由(1)知見也=(2〃+2)2-=(〃+1)2,

.r=2-2,+3-224—?+(M+l)-2n

,,