數(shù)字邏輯第二章

1第二章

邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1邏輯代數(shù)的基本概念2.2邏輯代數(shù)的基本定理和規(guī)律2.3邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式與變換2.4邏輯函數(shù)的化簡22.1.1三種基本運(yùn)算前面介紹了數(shù)字信號是離散信號，其變量只有兩種取值，故稱雙值變量。雙值電路表示：高電位(UH)、低電位(UL)代數(shù)表示：兩個(gè)符號“1”、“0”定義：邏輯代數(shù)L是一個(gè)封閉的代數(shù)系統(tǒng)，它由一個(gè)邏輯變量集K、常量0和1以及“邏輯乘(與)”、“邏輯加(或)”、“邏輯反(非)”三種基本運(yùn)算所構(gòu)成，記為：L={K,+,·,-,0,1}一、邏輯代數(shù)的定義二、邏輯代數(shù)的三個(gè)基本運(yùn)算若定義開關(guān)閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈滅為0。1、與運(yùn)算FEA

B真值表A

B

F功能表AB

F000斷斷滅010斷閉滅100閉斷滅111閉閉亮3即F＝f(A，B)＝A∧B=A·B＝ABABF曾用符號AB&F國標(biāo)符號AB4F美國符號定義：某個(gè)事件受若干個(gè)條件影響，若所有的條件都齊備，該事件才能成立，這樣的邏輯關(guān)系被稱為邏輯乘(與)。實(shí)現(xiàn)邏輯乘的邏輯電路稱為與門。與門的邏輯符號為：若定義開關(guān)閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈滅為0。FEAB2、或運(yùn)算功能表5F滅亮亮亮ABFAB000斷斷011斷閉101閉斷111閉閉真值表或門的邏輯符號為：實(shí)現(xiàn)邏輯加的電路稱或門。即：F＝f(A，B)＝A∨B＝A＋BABF+曾用符號≥1ABF國標(biāo)符號AB6F美國符號定義：一個(gè)事件的成立與否有許多條件，只要其中一個(gè)或幾個(gè)條件成立，事件便成立，這樣的邏輯關(guān)系被稱邏輯加（或）。3、非運(yùn)算FAR0

11

0真值表A

F功能表A

F斷

亮閉

滅若定義開關(guān)閉合為1，E斷開為0。燈亮為1，7燈滅為0。AF=A1國標(biāo)符號美國符號AF=A非門的邏輯符號為：完成邏輯反運(yùn)算的電路稱非門。A

F=A曾用符號函數(shù)式為：F＝A。8定義：一個(gè)事件的成立取決于條件的否定，即事件與事件的成立條件之間構(gòu)成矛盾，這樣的邏輯關(guān)系稱邏輯反（非）。2.1.2邏輯函數(shù)及邏輯函數(shù)間的相等9一、邏輯函數(shù)的定義(1)邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值只有0和1。(2)函數(shù)和變量之間的關(guān)系由“與、或、非”三種基本運(yùn)算決定。設(shè)某一邏輯電路的輸入為A1A2……An，輸出函數(shù)為F，當(dāng)A1A2……An的值確定之后，F(xiàn)的值就唯一的確定了，則稱F為A1A2……An的邏輯函數(shù)。記為：

F＝f(A1A2……An)二、邏輯函數(shù)的相等10設(shè)有F1＝f1(A1A2……An)、F2=f2(A1A2……An)如果對應(yīng)A1A2……An的任一組取值，F(xiàn)1和F2的值都相等，則稱F1和F2相等。計(jì)為F1＝F2

。判斷兩個(gè)邏輯表達(dá)式是否相等的方法有：1、列表法2、利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則證明。112.1.3邏輯函數(shù)的表示方法一、真值表二、邏輯函數(shù)表達(dá)式三、卡諾圖四、時(shí)序圖、時(shí)間圖主要用于直觀的觀察變量和函數(shù)之間的關(guān)系*主要用于獲得邏輯電路圖*主要用于邏輯函數(shù)化簡主要用于工作波形圖*122.2.1邏輯代數(shù)的基本定理一、公理2.2邏輯代數(shù)的基本定理和規(guī)律0

0

=

00

1

=

01

0

=

01

1

=10

=

11

+1

=

11

+

0

=

10

+1

=

10

+

0

=

01

=

0三、交換律A A

=

0A

+

A

=

113A

B

=

B

AA

+

B

=

B

+

A二、公式(可由公理推出)0

A

=

01

A

=

AA A

=

A1

+

A

=

10

+

A

=

AA

+

A

=

A四、結(jié)合律14五、分配律A(BC)=(AB)C=(AC)BA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)·(A+C)

加法的分配律證:右式=AA+AC+AB+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A+BC=左式六、摩根律AB

=

A

+

B

A

+

B

=

A

B證：用真值表法證明AB

=A

+B0001111010110110010111110000A

B

A

BA

B

A

BA

+

B15七、其他常用公式在兩個(gè)乘積項(xiàng)中，若有一個(gè)變量是互反的，那么由這兩個(gè)乘積項(xiàng)中的其它變量組成的新的乘積項(xiàng)就是多余的，可以消去。A

+

AB

=

A吸收律：A

(

A

+

B)

=

A消去律：A

+AB

=A

+BA

(

A

+

B)

=

A

BAB

+

AB

=

A其它：(

A

+

B)

(

A

+

B)

=

A冗余律添加律AB

+

AC

+

BC

=

AB

+

AC(

A

+

B)

(

A

+

C)

(B

+

C)

=

(

A

+

B)

(

A

+

C)16證明冗余律：AB

+AC

+BC

=AB

+AC左式=AB

+AC

+(A

+A)BC=

AB+

AC

+

ABC+

ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB

+AC

=右式冗余律推廣：AB

+AC

+[BCD

E(G

+H

)]=AB

+AC證明：左式=AB

+AC

+[BCD

E(G

+H

)]+BC=

AB

+

AC

+

BC[1+

DE(G

+

H

)]=

AB

+

AC

+

BC=AB

+AC

=右式172.2.2重要規(guī)則任何一個(gè)含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個(gè)邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。一、代入規(guī)則例：對摩根律AB

=A

+B令B

=BC

代入式中則：A(BC

)=A

+BC

=A+B

+C18以此推廣得到摩根律的一般形式:ABCD

=

A

+

B

+

C

+

D

+A

+

B

+

C

+

D

+

=

A

B

C

D1920二、反演規(guī)則使用反演規(guī)則時(shí)，應(yīng)注意保持原函數(shù)式中的運(yùn)算符號的優(yōu)先順序不變。另外不屬于單個(gè)變量上的反號應(yīng)保持不變。即由F

(A,B,C)

求反函數(shù)

F

(

A,

B,

C

)0

11

0++AAAA例1：F

=A

+B(C

+DE)F

=

A[B

+

C(D

+

E)]例2：F

=AB

+CF

=AB

+C

(直接去掉反號)F

=

(

A

+

B)

C

=

A

+

B

+

C

=

AB

+

C其實(shí)反演規(guī)則就是摩根律的推廣。例3：F

=AB

+B(A

+C)按反演規(guī)則可直接寫出：F

=

(

A

+

B)(B

+

AC)21若用摩根律則先對原函數(shù)兩邊取非，得：F

=

AB

+

B(

A

+

C)=

AB

B(

A

+

C)=

(

A

+

B)(B

+

A

+

C)=

(

A

+

B)(B

+

AC)22三、對偶規(guī)則結(jié)論：若一個(gè)定理是正確的，則其對偶式也一定正確。若兩個(gè)邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。(F`)`=F

即對對偶式再求對偶就得原函數(shù)本身23

。由

F(A，B，C

)求F`(A，B，C

)1001+AA+A

A利用對偶規(guī)則可以簡化等式的證明。24例：試證A+BC=(A+B)(A+C)令:

F1=A+BC

F2=(A+B)(A+C)F2`=AB+AC求兩個(gè)函數(shù)的對偶:F1`=A(B+C)=AB+AC可知：F1`=

F2`所以F1=F2

得證四、展開規(guī)則一個(gè)多變量函數(shù)F=f(X1,X2,···Xn)，可以將其中任意一個(gè)變量，例如X1分離出來，并展開成：F

=

f

(

X1,

X

2

,

X

n

)=

X

1

f

(0,

X

2

X

n

)

+

X1

f

(1,

X

2

X

n

)=

[

X1

+

f

(0,

X

2

X

n

)][

X

1

+

f

(1,

X

2

X

n

)]上述算式之正確性的驗(yàn)證只要令X1=0或1分別代入便知。25例：試化簡下列函數(shù)：F

=

A[

AB

+

AC

+(

A

+

D)(

A

+

E)]解：F

=A{0[0B

+1C

+(0

+D)(1+E)]}+A{1[1B

+0C

+(1+D)(0

+E)]}=

0

+

A{1[1B

+

0C

+

(1+

D)(0

+

E)]}=

A[B

+

(1+

D)E]=

A(B

+

E)262.2.3幾種導(dǎo)出(復(fù)合)的運(yùn)算F＝A＋BA

B1≥1≥1F＋F

AABBABFA

F＝ABB＆1＆FA

ABBF

ABF工程上常用的有：與非、或非、與或非、異或、同或。27ABCDABCDFF+＆≥1FABCDABCD

F=AB+CD≥1&28&1異或門的邏輯符號:=1ABABFFFAB曾用符號美國符號國標(biāo)符號=1ABABFFˉFA

B曾用符號美國符號國標(biāo)符號同或門的邏輯符號:F

=

A

ˉ

B

=

AB

+

ABF

=

A

B

=

AB

+

A

B29異或同或異或和同或的真值表如下:結(jié)論：偶數(shù)個(gè)變量的異或和同或是互反的，奇數(shù)個(gè)變量的異或和同或是相同的。ABA

ˉ

BAB000101101010110130(2)

0ˉ

A=A1ˉ

A=A(1)

1ˉ

0=0

ˉ

1=10

ˉ

0=01

ˉ

1=00

1=1

0=01

1=10

0=1A

ˉ

A=0A

ˉ

A=11

A=A0

A=AA

A=1A

A=0異或和同或的基本運(yùn)算公式3132=ABC+ABC=A(Bˉ

C)=左式Aˉ

B=Bˉ

A

A

B=B

A結(jié)合律Aˉ(B

ˉ

C)=(Aˉ

B)ˉ

CA

(B

C)=(A

B)

C分配律A(B

ˉ

C)=ABˉ

AC證:右式=ABAC+ABAC=AB(A+C)+AC(A+B)(3)交換律若A

ˉ

B=C則AˉC=B

或B

ˉ

C=A若

A B=C

則

A C=B

或

B

C=A(6)因果互換律證:右式=A+BA+C+(A+B)(A+C)=ABC+A+BC=A+BC+BC=A+(B

C)=左式A

B

C0

0

00

1

11

0

11

1

0A+(B C)=(A+B)

(A+C)33(7)常用式子ˉA1

ˉ

A2ˉ

An=1

(1的個(gè)數(shù)為奇數(shù))(1的個(gè)數(shù)為偶數(shù))(0的個(gè)數(shù)為偶數(shù))34A1

A2An=0

(0的個(gè)數(shù)為奇數(shù))2.2.4正邏輯與負(fù)邏輯各種邏輯運(yùn)算最終是通過相應(yīng)的邏輯門來實(shí)現(xiàn)的。如果把門電路的輸入、輸出電壓的高電平賦值為

“1”，低電平賦值為“0”，這種關(guān)系稱為正邏輯

關(guān)系。35如果把門電路的輸入、輸出電壓的高電平賦值為

“0”，低電平賦值為“1”，這種關(guān)系稱為負(fù)邏輯關(guān)系。正邏輯36負(fù)邏輯與門或門與非門或非門異或門同或門或門與門或非門與非門同或門異或門同一個(gè)邏輯電路，在不同的邏輯假定下，其邏輯功能是完全不同的。如下表：ABF&≥1如：正邏輯與門F=AB，對應(yīng)負(fù)邏輯的或門F=A+B。37由上可見：同一個(gè)電路的正邏輯表達(dá)式與負(fù)邏輯表達(dá)式互為對偶式。例：正邏輯的與門等價(jià)負(fù)邏輯的或門38電平表正邏輯負(fù)邏輯輸入輸出真值表真值表VAVBVFA

BFABF0V0V0V0001110V+3.6V0V010101+3.6V0V0V100011+3.6V+3.6V+3.6V1110002.3.1邏輯函數(shù)表達(dá)式的基本形式一、標(biāo)準(zhǔn)與或式(積之和)、最小項(xiàng)和式二、標(biāo)準(zhǔn)或與式(和之積)、最大項(xiàng)積式標(biāo)準(zhǔn)式的定義：n個(gè)變量組成的函數(shù)式，其中每個(gè)變量在函數(shù)式的每一項(xiàng)中都必須以原變量或反變量的形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。如:F

(A,B,C)=ABC

+ABC

+ABC如:F

(A,B,C)=(A

+B

+C)(A

+B

+C)(A

+B39+C)2.3.1邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式與變換2.3.2邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式一、最小項(xiàng)定義：如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的積項(xiàng)包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，則這個(gè)積項(xiàng)稱為最小項(xiàng)。若一個(gè)函數(shù)完全由最小項(xiàng)組成，則稱其為標(biāo)準(zhǔn)與或(積之和)表達(dá)式。如：F

(A,B,C)=ABC

+ABC

+ABC

+ABC=

m2

+

m3

+

m5

+

m6

=

m(2,34,05,6)在最小項(xiàng)中，將積項(xiàng)中的原變量看作1，反變量看作0。最小項(xiàng)的幾個(gè)性質(zhì)(1)n個(gè)變量一共有2n個(gè)最小項(xiàng)，但一個(gè)函數(shù)包含幾個(gè)最小項(xiàng)由實(shí)際問題決定。(2)在輸入變量的任何取值下，必有一個(gè)最小項(xiàng)且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。如三變量ABC=101,則值為1的最小項(xiàng)是m5

=

ABCm

j

=

0(3)mi

(i

?j)，即任意兩個(gè)不相同的最小項(xiàng)的乘積為0。例：F

(

A,

B,

C)

=

m2

?m5

=

ABC

?

ABC

=

0412n

-1

mii=0(4)所有最小項(xiàng)的和為1，即=1

。(5)對于n變量的邏輯函數(shù)，兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)之和，得到一個(gè)(n-1)個(gè)變量的乘積項(xiàng),即消去一個(gè)變量。其中，相鄰指兩個(gè)最小項(xiàng)之間只有一個(gè)變量互反，其余相同。例：F

(

A,

B)

=

m0

+

m1

+

m2

+

m3

=

A

B

+

AB

+

AB

+

AB=

A(B

+

B)

+

A(B

+

B)

=

A

+

A

=

142(6)任一個(gè)n變量的最小項(xiàng)，都有n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)。43二、最大項(xiàng)定義：如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的“和”項(xiàng)包含全部n個(gè)變量，且每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，則這個(gè)“和”項(xiàng)稱為最大項(xiàng)。=

M

(0,2,4)如：F

(A,B,C)=(A

+B

+C)(A

+B

+C)(A

+B

+C)=

M

2

M

4

M

0若一個(gè)函數(shù)完全由最大項(xiàng)組成，則稱為標(biāo)準(zhǔn)或與(和之積)表達(dá)式。在最大項(xiàng)中，將和項(xiàng)中的原變量看作0，反變量看作1。最大項(xiàng)的性質(zhì)(1)在輸入變量的任何取值下，必有一個(gè)，且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0。如三變量ABC＝101，則：(A

+B

+C)=0(2)

M

i

+

M

j為1。=1

(i

?j)，即任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和4A4=

(

A

+

AB

+

AB)(

A

+

A

B

+

AB)

=

A

=

0例：F

(A,B)=(A

+B)(A

+B)(A

+B)(A

+B)(3)全體最大項(xiàng)之積為0，即2n

-1i=0Mi

=0

。(4)只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和，即消去一個(gè)變量。例:(A

+B

+C)(A

+B

+C)=A

+AB

+AC

+AB+

B

+

BC

+

AC

+

BC

=

A

+

B(5)Mi

=mi

，即相同編號的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)互為反函數(shù)。例:

m0

=

A

B

CM

0

=

m0

=

A

B

C

=

A

+

B

+

C45A

B

C最小項(xiàng) 編號最大項(xiàng) 編號A

B

CA

B

CA

B

CA

B

CA

B

CA

+

B

+

C0

0

0

m0

M00

0

1

A

B

C

m1

A

+

B

+

C

M10

1

0

A

B

C

m2

M20

1

1

m3

M31

0

0

A

B

C

m4

M41

0

1

m5

M51

1

0

m6

M61

1

1

m7

M7A

+

B

+

CA

+

B

+

CA

+

B

+

CA

+

B

+

CA

+

B

+

CA

+

B

+

C462.3.3邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換第一步：將函數(shù)式變換成一般“與或”表達(dá)式用代數(shù)法求一個(gè)函數(shù)的“最小項(xiàng)之和”的形式：一、代數(shù)轉(zhuǎn)換法即將任意形式的表達(dá)式轉(zhuǎn)換成“最小項(xiàng)之和”及“最大項(xiàng)之積”的形式。，第二步：反復(fù)使用

A

=

A(B

+

B)

將表達(dá)式中所有非最小項(xiàng)的“與項(xiàng)”擴(kuò)展成最小項(xiàng)。47用代數(shù)法求一個(gè)函數(shù)的“最大項(xiàng)之積”的形式：第二步：反復(fù)利用A

=(A

+B)(A

+B)把表達(dá)式中非最大項(xiàng)的“或項(xiàng)”擴(kuò)展成最大項(xiàng)。48第一步：將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成一般“或與”式。例1:將F

(A,B,C)=(AB

+BC)AB

轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)之和。解：(1)將表達(dá)式變換成“與或”表達(dá)式F

(

A,

B,

C)

=

(

AB

+

BC)

AB

=

(

A

+

B)(B

+

C)

+

AB=

A

B

+

AC+

BC

+

AB(2)變換為標(biāo)準(zhǔn)積之和F

=

A B(C

+

C)

+

AC(B

+

B)

+

BC

(

A

+

A)

+

AB(C

+

C)=

A B C

+

A

BC

+

ABC

+

ABC

+

ABC=

m0

+

m1

+

m3

+

m6

+

m7=

m(0,1,3,6,7)49例2：將F

(A,B,C)=AB

+AC

+BC

變換成最大項(xiàng)之積。解：(1)將表達(dá)式變換成“或與”表達(dá)式F

(

A,

B,

C)

=

AB

+

AC

+

BC

=

AB

AC

+

BC=

(

A

+

B)(

A

+

C)

+

BC利用加法的分配律進(jìn)行折分F

=

[(

A

+

B)(

A

+

C)

+

B][(

A

+

B)(

A

+

C)

+

C]=

(

A

+

B

+

B)(

A

+

C

+

B)(

A

+

B

+

C)(

A

+

C

+

C)=

(

A

+

B)(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)50(2)變換為標(biāo)準(zhǔn)和之積表達(dá)式(反向應(yīng)用最大項(xiàng)定理：只有一個(gè)變量互反的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和)：F

=

(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)=

(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)=

M

3M

6

M

7=

M

(3,6,7)51表示成最小項(xiàng)之和。例1：將F

(A,B,C)=AB

+BC二、真值表轉(zhuǎn)換法ABCF00000010010101101001101111011110根據(jù)真值表可得：F

(

A,

B,

C)=

ABC

+

AB

C

+

ABC

+

ABC=

m(2,4,5,6)52例2：將例1的式子表示成最大項(xiàng)之積。F

(

A,

B,

C)

=

AB

+

BCF

(

A,

B,

C)=

(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)(

A

+

B

+

C)=

M

(0,1,3,7)ABCF0000001001010110100110111101111053542.4.1公式法化簡化簡的目的：降低成本；提高可靠性；提高工作速度。最簡的含義：(2)每項(xiàng)中變量數(shù)最少?；喎椒?(1)公式法(利用公理、定理和規(guī)則)(2)卡諾圖法(3)列表法2.4邏輯函數(shù)的化簡(1)乘積項(xiàng)(或和項(xiàng))最少；一、與或式化簡1、并項(xiàng)法：利用定理AB

+AB

=A例1：

ABC

+

AB

C

=

ABABC

+

ABC

=

A例2：AB

+ABCD(E

+F

)=AB3、消去法：利用定理A

+AB

=A

+B2、吸收法：利用定理A

+AB

=A例3：A

+AC

+CD=A

+C

+CD

=A

+C

+D55564、配項(xiàng)法，利用

A

1

=

A

及

A

+

A

=

1例4：AB

+

BC

+

BC

+

AB=

AB

+

BC

+(

A

+

A)BC

+(C

+

C)

AB=

AB

+

BC

+

ABC

+

A

BC

+

ABC

+

ABC=

AB

+

BC

+

AC例5：

F

(

A,

B,

C)

=

AB

+

ACD

+

A B

+

ACD=

A(B

+

CD)

+

A(B

+

CD)=

B

+

CD例6：F

(A,B,C,D)=AB

+ABC

+ABD

+AB(C

+D)=

AB[1+

C

+

D

+

(C

+

D)]=

AB例7:F

(A,B,C,D)=ABC

D

+AE

+BE

+CDE=

ABC

D

+

E(

A

+

B)

+

CDE=

ABC

D

+

E

AB

+

CDE=

ABC

D

+

E

AB例8:F

=

AC

+

BC

+

BD

+

CD

+

A(B

+

C)

+

ABC

D

+

ABDE=

AC

+

BC+

BD

+

CD

+

ABC

+

ABDE=

AC

+

BC

+

BD

+

CD

+

A

+

ABDE=

A

+

BC

+

BD

+

CD=

A

+

BC

+

BD57二、或與式化簡對于或與式的化簡，可以直接用公理、定理進(jìn)行化簡，也可以先用對偶規(guī)則把F的或與式轉(zhuǎn)換成F’的與或式，化簡得到F’的最簡與或式后，再用對偶規(guī)則把F’轉(zhuǎn)換成F的最簡或與式。58例1:

F

=

(

A

+

B)(

A

+

B)(B

+

C)(

A

+

C

+

D)F￠=

AB

+

AB

+

BC

+

ACD=

A

+

BC

+

ACD=

A

+

BCF

=

(F

)

=

A(B

+

C)例2:F

=(A

+B)(A

+B)(B

+C)(A

+C)F￠=

AB

+

AB

+

BC

+

AC=

AB

+

AB

+(B

+

A)C=

AB

+

AB

+

ABC=

AB

+

AB

+

CF

=

(F

￠)￠=

(

A

+

B)(

A

+

B)C592.4.2卡諾圖化簡法F1

B

0A011m0m1m2m3F2A0101

11

10BC

00m0m1m3m2m4m5m7m660將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并使具有邏輯相鄰的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。一、用卡諾圖表示最小項(xiàng)CDF3AB006100

01

11

10011110m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10BCF4

DE00

01

11

1000011110m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10BC62F4

DE00

01

11

1000011110m16m17m19m18m20m21m23m22m28m29m31m30m24m25m27m26A=0A=1圖形兩側(cè)標(biāo)注的“0”和“1”表示使對應(yīng)小方格內(nèi)

最小項(xiàng)為1時(shí)的變量取值(1為原變量,0為反變量)。63同時(shí)，這些“0”和“1”組成的二進(jìn)制數(shù)大小也就對應(yīng)了最小項(xiàng)的編號。這些數(shù)碼不能按自然二進(jìn)制數(shù)的順序排列，必須排成循環(huán)碼(使幾何位置上相鄰的最小項(xiàng)在邏輯上也相鄰)。二、卡諾圖化簡法64（2）按（1）將卡諾圖中所有的“1”格圈完。在卡諾圖中，變量取值為0的是反變量，變量取值為1的是原變量。（1）將最可能多的2n(n=0,1,2,…)個(gè)相鄰的1格圈在一起，得到一個(gè)卡諾圈，對應(yīng)卡諾圈發(fā)生過變化的變量被消去，沒變化過的保留，以此得到一個(gè)乘積項(xiàng)。（3）將所得到的乘積項(xiàng)相加，得到函數(shù)的最簡與或式。（2）每一個(gè)卡諾圈中至少要包含一個(gè)獨(dú)立的

“1”格，否則所得到的乘積項(xiàng)是多余的。65（3）2n個(gè)相鄰的“1”格圈在一起,必須組成矩形或正方形。（4）卡諾圖中的卡諾圈應(yīng)盡可能的少。（1）任何一個(gè)“1”格可以多次圈用。注意事項(xiàng)：0011BF1A1110011BF2A11F1

=

A

+

BABABABF2

=

AB

+

AB660F3

BC

00A111111

1ABF3

=

AB

+

AC

+

BC01

AC

11

10BC670111

100F3

BC

00A111111

1F3

=

AC

+

BC

+

ABACBCAB680111

1001BC

00AF41111F4

=

A

B C

+

AC

+

BC

+

AB691

ABCBCACAB0111

1011F5

BC

00A0

11

1F5

=

C70C11F6

BC

00A0

11

111F6

=

A

+

C01

A

11

10C710111

10F7

BC

00A1111111101F7=17273CDF80001AB001011011110F8

=

ABC

+

ACD

+

ABC

+

ACDA1CD1

ABC

1111

ABC1ACD174CD000101101011111111111F9AB00F9

=

BD

+

C

DBD

1CD75CD000101101111111111110

1F10AB00F10

=

BD

+

B

DBDBD76CD00011011011110F11AB00F11

=

AB

+

AD

+

BC

+

CDDBC1

C11AD111AB111177CD00011010111111F12AB0011F12

=

BD

+

BDBD01

BD

111

1在卡諾圖中，圈“1”可以得到邏輯函數(shù)的最簡與或表達(dá)式，而圈“0”可以得到邏輯函數(shù)的最簡或與表達(dá)式。78注意：用卡諾圖求最簡與或表達(dá)式時(shí)，原變量為

1，反變量為0；而用卡諾圖求最簡或與表達(dá)式時(shí)，原變量為0，反變量為1。CDF13AB0001101011

1111111111F13

=

(

A

+

B

+

C)(

A

+

C

+

D)(

A

+

C

+

D)(

A

+

B

+

C)0000000

01A0

+

B

+0CA

+

C

+

DA

+

C

+

D0

A

+

B

+

C7980CD0001011010111111111111F14

=

(B

+

D)(B

+

D)F14AB000000000D0B

+B

+

DCD00010110111111111F15AB0011F15

=

(

A

+

C)(

A

+

B

+

D)(B

+

C

+

D)00000A

+C11

10A

+0B

+

D

1B

+

C

+

D811、把與或式化成標(biāo)準(zhǔn)與或式填入卡諾圖三、如何用卡諾圖對邏輯函數(shù)化簡例1F

=

AB

+

AC

+

ABC=

AB(C

+

C)

+

AC(B

+

B)

+

ABC=

ABC

+

ABC

+

ABC

+

ABCm(3,5,6,7)=

m3

+

m5

+

m6

+

m7

=00

0101BCAF化簡后：

F=AC+AB+BC8211

101

BCAC

1

1

1

AB832、把與或式的每一項(xiàng)直接填入卡諾圖例2:

F

=

BC

D

+

ABC

+

ABC

+

BD

+

CDCD00FABF

=

BC

+

CD

+

ABC01 1

BC

1

111

1

1

110

1

100

01

11

101

CDABC843、化簡為或與式例:F(A,B,C,D)=∏M(3,7,11,12,13,14,15)解:將函數(shù)用“最小項(xiàng)之和”形式表示得:

F(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,4,5,6,8,9,10)ABCD00

011110FF

=

(

A

+

B)(C+

D)0000011100

101

111

010

1110

1C

+

DA

+

B4、利用禁止邏輯化簡邏輯函數(shù)0F

BC

00A01

11

1011

1

1F

=

C

m3

=

C ABC

=

C

(

A

+

B

+

C)

=

AC

+

BC即任何邏輯函數(shù)邏輯加上不屬于它的最小項(xiàng)后再乘上不屬于這個(gè)最小項(xiàng)之非，其邏輯功能不變85

。禁止項(xiàng)以上圖為例，則：0111

100F

BC

00A1禁止項(xiàng)1

1

1F

=

(F

+

m3

)m3

=

(m1

+

m5

+

m7

+

m3

)m3=

(m1

+

m5

+

m7)m3

=

m1

+

m5

+

m786事實(shí)上，禁止邏輯也可由幾個(gè)最小項(xiàng)組成，例如，只要mi和mj都可將函數(shù)F寫成

(F

+

mi

+

mj

)

mi

+

mj不屬于原函數(shù)F即可。這種利用禁止項(xiàng)化簡邏輯函數(shù)的方法，稱為禁止法或阻塞法，寫出的表達(dá)式叫做禁止邏輯式。例1：試用禁止法化簡下列邏輯函數(shù)：F

(

A,

B,

C,

D)

=

ABD

+

ABD

+

ACD

+

ABC87F

=

(BC

+

AB

+

AD)

ABCDCD00010110101111111111FAB00BC88AB1

AD例2:試用禁止法化簡下列邏輯函數(shù)F

(

A,

B,

C,

D)

=

m(0,1,4,7,10,11,13,14)F

=

(

A C

+

AC

+

BD)(

ABCD

+

ABCD)CDFAB00011000

01

11

101111111禁止項(xiàng)AC189A1C1BDF

=

(

A C

+

AC

+

BD)(

ABCD

+

ABCD)=

[(

AC

+

AC)

+

BD](

AC

+

AC)BD=

(

A

ˉ

C

+

BD)[(

A

ˉ

C)

+

BD]=

(

A

ˉ

C)BD

+

A

ˉ

C

?BD=

A

ˉ

C

ˉ

BD90912.4.4邏輯函數(shù)化簡中兩個(gè)實(shí)際問題的考慮一、包含無關(guān)最小項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡前面介紹了n個(gè)邏輯變量具有2n種組合，如果某個(gè)邏輯函數(shù)滿足以下條件，就稱該函數(shù)為具有無關(guān)項(xiàng)(約束項(xiàng))的邏輯函數(shù)。1、某些變量的取值不會出現(xiàn)。2、某些變量的某些取值對函數(shù)無意義(無關(guān))。具有上述條件對應(yīng)的最小項(xiàng)稱無關(guān)項(xiàng)(約束項(xiàng))，而所有這些約束項(xiàng)之和稱為約束條件。92顯然對函數(shù)而言：約束條件=0例1：由A，B，C三個(gè)變

量控制一個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)A=1(正轉(zhuǎn))，B=1(反轉(zhuǎn))，C=1(停轉(zhuǎn))。約束條件為:A

B

C

+

ABC

+

ABC

+

ABC

+

ABC

=

0A

B

C

F000

×001√010√011×100√101×110×111×例2:試設(shè)計(jì)一個(gè)對8421BCD碼的檢測電路。當(dāng)

8421BCD碼對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)3≤X≤7時(shí)輸出為

“1