2022屆河北省省級聯(lián)測高三第八次考試數(shù)學(xué)試題

省級聯(lián)測2021-2022第八次考試

高三數(shù)學(xué)

一、選擇題

1.設(shè)集合4={工|爐+了一6<0},5={0,1,2,3},則A|B=()

A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{2,3}

答案：

B

解析：

【分析】

解出一元二次不等式，根據(jù)交集的運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】

由題，解/+》一6<0,可得4={尤|-3<%<2},則可得A5={0,1},

故選：B

Z

2.已知復(fù)數(shù)z=2+i,則=—=()

z-i

.1.13.13.,1

AA.1+—zBn.------1C.—+—lD.1——,

244442

答案：

C

解析：

【分析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.

【詳解】

z2+z(2+i)(2+2i)13.

-~：=7-=CCC,OA=:+彳’'故選：C.

z-I2-2i(2-2i)(2+2i)44

271

3.函數(shù)/(x)=§sin(2x-w)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.[2k7V+^-,2k7V+^-^-],k&ZB.伙；r+四，女)+^^],后wZ

12121212

C.[k7V--,k.7r+—],keZD.[2k7r+^-,2k/r+^-],k&Z

121236

答案:

B

解析：

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，令]+2版■42x—§?；+2^^wZ,即可求得〃x）的

單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】

271

由題意，函數(shù)/（X）=5sin（2x-y）,

nn37r5771\TT

令2+2br<2x—24二+2br,ZeZ,解得）br+二+匕，ZeZ,

2321212

所以函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為伙萬+^1,Qr+g],%eZ.故選：B.

4.某圓錐的母線長為2,側(cè)面積為2%,則其體積為（）

5反

A.7tB.&_兀C.7iD.幣>兀

33

答案：

C

解析：

【分析】

設(shè)圓錐底面半徑為廣，高為〃，根據(jù)側(cè)面積，可求得「值，進(jìn)而可求得圓錐高〃，代入公式，

即可得答案.

【詳解】

設(shè)圓錐底面半徑為小高為〃，則底面圓周長為2"「，

所以側(cè)面面積,X2萬rx2=2?，解得廠=1，

2

所以圓錐的高為=在方=百，

所以圓錐的體積V--X7rr2h=—x^-xl2x^=￥~兀.故選：C

333

5.已知角a的終邊落在直線y=-2%上，則2a+2的值為（）

3cos-a

35595935

A.——B.---C.——D.—

9999

答案：

c

解析：

【分析】

2

根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tana=-§,對齊次式作分子分母同除cos2a的處理，即可求解.

【詳解】

27

由角。的終邊落在直線y=上可得，tan?=--,

c5cos2a+sin2a+27cos2<z+2sin<zcosa+2sin2a7+2tana+2tan2a59

目-------------------=-------------------------------=--------------------=——

221c

cos-acosa19

故選：c.

22C

6.已知雙曲線C:；■一馬=l(a>0,0>0)的離心率6=—,且雙曲線C的兩條漸近線與拋物

a-b4

線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線圍成的三角形的面積為3,則〃的值為()

A.1B.2C.272D.4

答案:

D

解析:

【分析】

b

根據(jù)雙曲線的離心率可求得一，即可得雙曲線的漸近線方程，求出拋物線的準(zhǔn)線方程，與

a

漸近線方程聯(lián)立，分別求出漸近線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得圍成三角形面積，結(jié)合題意

即可得出答案.

3

所以雙曲線的漸近線方程為『廣

拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-K,

2

_P_

2'

設(shè)準(zhǔn)線與拋物線的交點(diǎn)分別為M,N,則〈可解得M

31坪，

同理，

所以SOMN=g*-y*子=微=3，解得P=4.

故選：D.

7.若過點(diǎn)F(l,m)可以作三條直線與曲線C:y相切，則加的取值范圍為()

/3、

A.(-℃,—)

e

B.(0,—)

e

c.y,o)

答案:

D

解析:

【分析】

本題為過點(diǎn)P的切線，切點(diǎn)為可得切線方程y-興=3^(1-/),

Y2—Y4-I

代入點(diǎn)P坐標(biāo)整理為m=Mf+I,即丁=機(jī)與/。）=^__一有三個交點(diǎn).

e'

【詳解】

由y=-：，則y'=?；，設(shè)切點(diǎn)為x（），W］，則切線斜率％=

1一天）

則在點(diǎn)的切線方程為y-奈

代入點(diǎn)尸坐標(biāo)得〃一宗二宗（1一。）

整理為加=至二^L即這個方程有三個不

—r+1—2

令人幻二X~^一山，則/在）=—_|_T.V”,

exex

令/'（x）>。則l<x<2

函數(shù)/（x）在（-℃/）上單調(diào)遞減，在（1,2）上單調(diào)遞增，在（2,+Q0）上單調(diào)遞減,

故得/（I）<加</（2）,即加e，故選：D.

8.正2022邊形A44o22內(nèi)接于單位圓。，任取其兩個不同頂點(diǎn)4，Aj,則

|Q4,+Q4悖1的概率是（）

答案：

B

解析：

【分析】

對模作平方處理，可得0a+oAj>1的充要條件為cos<04,04>2-萬，即04,04/

OA

的夾角不會超過三，若給定的向量。4,則J兩側(cè)滿足條件的0A,有

27r21

——x2=1348種取法，進(jìn)而求解.

32022

【詳解】

?.?網(wǎng)=岡=1,

二何+QAj=何(+網(wǎng)

I'+2OAj-0Ai=2(1+cos<OAj,OAj>),

IOAi+OA^l的充要條件為cos<04〉2-g，

27r

04,04的夾角不會超過胃，對于任意給定的向量。斗,

滿足條件|。4+。4|>1的向量的取法有y+x2=1348種,

g1AA?皿*n2U22X13481348_

所以。4+。421的概率P=----------=----,故選：B

1八2022x20212021

二、多選題

9.冬末春初，人們?nèi)菀赘忻鞍l(fā)熱.若發(fā)生群體性發(fā)熱，則會影響到正常的工作以及生活.某

市健康部門認(rèn)為：若任意連續(xù)10天，每天不超過7人體溫高于37.3C,則稱沒有發(fā)生群體

性發(fā)熱.下列在過去10天體溫高于37.3℃人數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)中，能判定該公司沒有發(fā)生群

體性發(fā)熱的為（）

A.中位數(shù)為2,極差為5B.平均數(shù)為2,眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為1，方差大于0D.平均數(shù)為2,標(biāo)準(zhǔn)差為相

答案：

A、D

解析：

【分析】

根據(jù)若任意連續(xù)10天，每天不超過7人體溫高于37.3C,則稱沒有發(fā)生群體性發(fā)熱判斷.

【詳解】

對于A,中位數(shù)為2,極差為5,所以最大值不會超過7,符合；

對于B,若過去10天的人數(shù)分別為0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,也滿足平均數(shù)為2,眾數(shù)是2,

但有一天超過7人，所以不符合;

對于C,若過去10天人數(shù)為0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,也滿足平均數(shù)是1,方差大于0,但是有

一天超過7人，所以不符合,

對于D,若至少有一天發(fā)熱人數(shù)超過7人，則方差最小值為上（8-2/=3.6,與題意矛盾,

所以符合，故選：AD.

10.若平面向量a=（2cosa,2sina）,Z?=（2cos^,2sin/?）,c=（l,由），則下列說法中正確

的是（）

卜.若a〃b，則萬=a+br#wZ

71

B.若aJ_c，則。=彳+k7T,kwZ

71

C.若,則a=%+2kr或a=-§+2匕r/wZ

D.若|a—81=>則/?—a=k兀+—,k,&Z

答案:

A、C、D

解析：

【分析】

對于A,利用向量平行的坐標(biāo)表示及兩角差的正弦公式逆用，再結(jié)合三角函數(shù)值求對應(yīng)的角

即可判斷；

對于B,利用向量垂直的坐標(biāo)表示及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，再結(jié)合三角函數(shù)值求對應(yīng)的

角即可判斷；

對于C,利用向量■式及己知條件得出a與c的夾角，再利用向量的夾角公式，再結(jié)合三

角函數(shù)值求對應(yīng)的角即可判斷；

對于D,利用向量的■式，得出;J.力，利用向量垂直的坐標(biāo)表示及兩角差的余■式逆

用，再結(jié)合三角函數(shù)值求對應(yīng)的角即可判斷；

【詳解】

對于A,若a〃b，則cosasin—一sinacos￡=0,即sin（夕一a）=0,可得

。=a+k7jksZ,故A正確;

對于B,若〃_Lc，即cosa+Gsina=0=tana=----，即可得a=+￡Z,

36

故B不正確；

對于C,因?yàn)椤?（2（：051,25抽。）,/?=（2?05，,25抽/?）,。=（1,\/^）,所以

|￡|二出|二棺|=2,￡+〃+3=0,即a與c的夾角應(yīng)該為彳，

a-c2cosa+26sinacosa+6sina

COS<Cl,C>=]~n-r--------------------------------

卜忖2x22即

cosa+V3sinaRIIr-.

---------------，即cosa+A/3sina=,

22

于是有sina+m]=一二所以a=兀+2而或a=—二+2&兀次GZ,故C正確;

I6；23

對于D,由|q—切=2形，得4與〃的夾角為即;Z1V

兀

所以,即cos（齊—a）=（）,可得/?—a=Mi+萬?，左wZ，

故D正確.故選:ACD.

11.已知圓〃：（x+l）2+（y+l）2=4,直線/:x+y-2=0,P為直線/上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P

作圓例的切線PAPB,切點(diǎn)為A,B,則下列說法正確的是（）

A.四邊形M4總面積的最小值為4

B.當(dāng)直線AB的方程為x+y=0時，Z4P8最小

C.已知圓上有且僅有兩點(diǎn)到直線/的距離相等且為d,則4€（20-2,20+2）

D.若動直線4_L/,且4交圓M于。、D兩點(diǎn)，且弦長COe（2&,2g）,則直線《縱截

距的取值范圍為（―2,-血）.，（血,2）

答案：

A、C、D

解析：

【分析】

A.由PM_L/時求解判斷；B.當(dāng)直線AB的方程為x+y=O時.，由|/加|最小判斷；C.由圓

上點(diǎn)到直線/的距離取值范圍為［20-2,2、萬+2］判斷；D.設(shè)M到直線4的距離為d,由

|CD|e（2^,2x/3）,且/，得到〃€。，血）求解判斷.

【詳解】

四邊形MAPB面積的最小值即為PML時,而\PM\.="尸=2及,

,〔mm丘

1PAi==2,所以Smin=2X；X|PA|XR=4,A正確；

當(dāng)直線AB的方程為x+y=o時，此時|/W|最小，Z4P8最大，且為90°,B錯誤；

圓上點(diǎn)到直線/的距離取值范圍為［2夜-2,2亞+2］,除去最遠(yuǎn)以及最近距離外均有兩點(diǎn)

到直線的距離相等，即為（2a-2,2及+2）,C正確；

設(shè)M到直線《的距離為d,因?yàn)閨。。歸（2及,26）,且L|CDf=r2—d2,所以

J2=r2-1|CD|2,則dw(l,正),

|—1—(―l)+m|

設(shè)4:x-y4-m=0,1<<V2,即正<|帆|<2,所以

me(-2,->/2),(加,2),D正確，故選：ACD.

12.正方體ABC。一A4G2棱長為4,且cpn/iavovxvi），過點(diǎn)P作垂直于平面

ACGA的直線/,分別交正方體ABC。—A4C2的表面于M、N兩點(diǎn)，下列說法中正

確的是（）

A.AC］，平面CM^N

B.四邊形CMAN的面積最大值為8指

C.當(dāng)/l=g時，則四邊形CMA,N的面積為卷5

I32

D.當(dāng)a=2■時，則四棱錐A—CMAN的體積為一

23

答案：

解析：

【分析】

由正方體的性質(zhì)可判斷A,設(shè)8月，?？谥悬c(diǎn)為5,。，易知MN〃SQ,則點(diǎn)P運(yùn)動時，

M、N在平面4SCQ上運(yùn)動，即可求解判斷B；可知|MN|的長度為|SQ|的：，可判斷

C；先利用等體積法求得點(diǎn)A到平面4SCQ的距離，即可求解判斷D.

【詳解】

正方體ABC。-45cA中，四邊形441GC是長方形，則AQ與4。不垂直，因此A不

正確；

由題可知，點(diǎn)P在A。上運(yùn)動，設(shè)BB”。。中點(diǎn)為S,Q,由正方體的性質(zhì)可知SQL平面

ACC[4,

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動時，M、N在平面ASCQ上運(yùn)動，且MN〃SQ,

當(dāng)M,N分別為54、?？谥悬c(diǎn)時四邊形CMAN面積最大，且為gx4后x4夜=8#,

B正確;

當(dāng)2=1,此時|MN|的長度為|SQ|的此時面積為！故C

33233

正確;

1,142],所以〃=還，當(dāng);1=:時,

因?yàn)樨?ASC~%一4As，貝與xdx=—x4x—X

t32)32

四棱錐A-CMA\N的體積為.故確，故選：[

—X8>76x

333

三、填空題

13.已知函數(shù)/(x)=(e"+，"-eT)-sinx是偶函數(shù)，則加=.___.

答案：

-1

解析：

【分析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義可得f(-x)=/(x)對于xeR恒成立，整理化簡可得加+1=0即可求

解.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=(e'+m-e-')?sinx是偶函數(shù)，

所以/(—x)=f(x)對于％eR恒成立，

即+m-e')-sin(-x)=(ev+〃z??sinx對于尤eR恒成立，

所以-e~x-m-ex=ex+.對于x￡R恒成立，

所以("+)(m+1)=0對于X€R恒成立，

因?yàn)闋t+",工0,所以〃2+1=0，解得：，〃=—1,故答案為：7.

14.若(0?一_1)6中的系數(shù)為一9,則。=,二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

x16

答案:

解析：

【分析】

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】

因?yàn)椋╫r2一的展開式中/的系數(shù)為一得,

即C：/（—1）3=—9,得4=,，

「

所以j=ck\2-3k

最大項(xiàng)一定是女為偶數(shù)時，％=0時，系數(shù)為次=2時，系數(shù)為15x（，］,%=4時,

系數(shù)為15x（，），攵=6時，系數(shù)為1,所以左=6時系數(shù)最大，最大項(xiàng)為4=尸、故答案

為：;，X

4

15.若函數(shù)/。）=，+如）/在［-上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則，"的取值范圍是

tn<—

2

【分析】

求導(dǎo)后，轉(zhuǎn)化為r（x）＜。在」上有解，轉(zhuǎn)化為機(jī)＜士3在一!」上有解，利

_2」x+1L2_

_丫2_7V

用函數(shù)單調(diào)性求出」~竺的最大值即可得解.

X+1

【詳解】

f'(x)=(2x+m)ev+(x2+mx)ex=[x?+(m+2)x+〃?]er,

則原向題等價(jià)于/'(x)<0在一;,1上有解，即/+(m+2)%+根<0在一;,1上有解,

-V-2_?r1

即機(jī)<_—a在一大1上有解,

x+lL2J

2I11

因?yàn)椤埂猉~-勺2x=_(x+l)+—L,且y=—(x+l)+——在一；,1上單調(diào)遞減,

x+1x+1x+1L2_

,1八13

所以當(dāng)x=_:時，5=?/+)+]=5,

2F1

2

所以m<二3.故答案為：機(jī)3

22

16.棱長為1的正四面體A8CD內(nèi)有一個內(nèi)切球。,E為A3的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，連接

DF交球。于”,N兩點(diǎn)，若MN=昱，則CF的長為

6

答案：

V3+V102

V-51

解析：

【分析】

先利用等體積法求得內(nèi)切球的半徑，再根據(jù)截面OE/，由DGOsDHF，即器'=器

求得“產(chǎn)即可.

【詳解】

如圖所示:

設(shè)二ABC的中心為〃，即ZW_L平面ABC,且CE=昱,CH=2CE=?，

233

所以。所以正四面體ABC。的體積為I萬，表面積為

3V」.S7ABe-DH=~~

3AC12

S=4SABC=^3,

設(shè)內(nèi)切球半徑為r,所以_16"=也，解得’.=立,

31212

設(shè)點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，其中MN=B,GM=&，則0G=3,00=也,DG=回

61212412

又，—喘DG嘴OG，所以明尊

所以《=?！绹g.故答案為：孝士萼

四、解答題

17.已知等差數(shù)列｛%｝中，4=5，%+%=18.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛2｝滿足a=a.+〃cos(wr),數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為T“，求

答案：

見解析

解析：

【分析】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)已知條件可得出關(guān)于修、"的方程組，解出這兩

個量的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得知;

(2)分析可得以=2"+1+(-1)”“，利用分組求和法可求得的的值.

【詳解】

,."=4+d=5fa=3

(1)設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d，則?…1O,解得4C，

("J[%+。5=2q+6d=18[d=2

因此，an=a]+(〃-l)d=3+2(〃-1)=2〃+1.

(2)當(dāng)"為偶數(shù)時，COS(7?7T)=1；當(dāng)〃為奇數(shù)時，cos(〃/)=一1.

hn=〃〃+九cos(〃萬)=2〃+1+(—1)〃n，

T3+4x21

所以，2i=t^),i+2-3+4--19+20-21=472.

18.如圖，在，ABC中，點(diǎn)。在邊8C上，且AO_LAC,sinND4B=3,A8=2j^.

3

A

(1)若BC=4,求sinC的值:

若8。邊上點(diǎn)E滿足3E=2EC,AE=生叵，求AC的值.

(2)

3

答案：

見解析

解析：

【分析】

(1)首先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosNDtB,再利用誘導(dǎo)公式求出sinNBAC,

最后利用正弦定理計(jì)算可得：

].2

(2)首先求出COSN84C,根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則得到+再根據(jù)數(shù)

33

量積的運(yùn)算律得到方程，解得即可;

【詳解】

⑴：ADJ.AC,

zmc=90°,

VsinZDAB=—,/.cosZDAB=Jl-sin'NDAB=—,

33

???sinABAC=sin(NZMB+90°)=cosNDAB=g，

cn娓

由正弦定理可得.「ABsinNBACVV3.

sinC=-----------------=----------

BC43

（2）由（1）知sinN8AC=』5，且一ABC為鈍角三角形,

3

_______h_2_

???cosNBAC=-Jl-sin?NBAC=-號，BE=-BC

—————2——2/——\1-2

AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC,

33、>33

212424

AAE=-AB+-AC+-ABAC,

999

即可得3|AC『—2#|AC|-30=0,

解得|AC|=|?或|AC|=—逐（舍），

故AC的值為之迷.

3

19.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,AB=BC^2,AD^4,現(xiàn)將一ABC所在平面沿對

角線AC翻折，使點(diǎn)3翻折至點(diǎn)E，且成直二面角E—AC—￡>.

E

（1）證明：平面瓦）C_L平面E4C；

（2）若直線￡>￡與平面E4C所成角的余弦值為!，求二面角O-E4-C的余弦值.

答案：

見解析

解析：

【分析】

（1）取AO中點(diǎn)M，連接CM,可證得四邊形A3CM為平行四邊形，進(jìn)而可判斷八48

為直角三角形，結(jié)合直二面角即可證明；

（2）由（1）可判斷NDEC為直線DE與平面E4C所成角，可求得各邊長，以AC中點(diǎn)。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C,OM,O￡所在直線分別為x，%z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

求得平面E4C,平面AEO的法向量，進(jìn)而求解即可.

【詳解】

（1）證明：取AO中點(diǎn)M，連接CM,由題意可得40=2，AM平行且等于BC，

四邊形ABCM為平行四邊形，

???A〃=MD=CM=2,二△ACO為直角三角形，即ACJ.CD,

,/直二面角E—AC—COu平面ACD,

平面E4C_L平面ACO,平面E4c〕平面AC。=AC,

CD_L平面E4C,CDu平面EC。，

平面ECD_L平面E4c.

(2)由(1)可得。C_L平面E4C,

二NDEC為直線DE與平面EAC所成角,

cosZDEC=-,：./DEC=60°.

2

在用△EC。中，?；CE=2,

???CD=2瓜ED=4,

在肋△AC。中，AC=2,

AAEC為等邊三角形，

以AC中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)C,OM,OE所在直線分別為％?z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

A(-l,0,0),C(l,0,0),E(0,0,73),0(1,273,0),

平面E4C為xOz平面，則其法向量為v=(0,1,0),

在平面AE0內(nèi)，設(shè)其法向量為“=(x,y,z),

AO=(2,2g,0),AE=(l,0,g),

ADu=O2x+2^>'=0

則《,即《

AEu=Ox+V^z=0

令x=6，則y=-l,z=-l,

u—(V3,—1,—1)，

設(shè)二面角O—E4—c的平面角為e,

uv_V5

cos〈",v)=

IMIIvI5

由圖可知二面角。一E4-C為銳角，.??cose=>.

5

20.某學(xué)校組織教職工運(yùn)動會，新增加的“趣味乒乓球單打”是這屆運(yùn)動會的熱門項(xiàng)目.比賽

規(guī)則如下：兩人對壘，開局前抽簽決定由誰先發(fā)球（機(jī)會均等），此后均由每個球的贏球者發(fā)

下一個球.對于每一個球，若發(fā)球者贏此球，發(fā)球者得1分，對手得0分；若對手贏得此球，

發(fā)球者得0分，對手得2分；有一人得6分及以上或是兩人分差達(dá)3分時比賽均結(jié)束，得分

高者獲勝.已知在選手甲和乙的對壘中，甲發(fā)球時甲贏得此球的概率是0.6，乙發(fā)球時甲贏

得此球的概率是0.5,各球結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）假設(shè)開局前抽簽結(jié)果是甲發(fā)第一個球，求三次發(fā)球后比賽結(jié)束的概率；

（2）在某局3:3平后，接下來由甲發(fā)球，兩人又打了X個球后比賽結(jié)束，求X的分布列

及數(shù)學(xué)期望.

答案：

見解析

解析：

【分析】

（1）由題意分析可得，不會出現(xiàn)一方連續(xù)兩次得2分的情況，所以三次發(fā)球能結(jié)束比賽必

是兩人分差達(dá)3分，然后分別討論甲乙贏得比賽情況，計(jì)算總得分，找到符合題意的情況,

計(jì)算概率即可.

（2）利用二叉樹表呈現(xiàn)打X個球和甲乙得分情況，可得X的所有可能取值為2,3,4,分

別計(jì)算概率、列分布列求期望.

【詳解】

(1)因?yàn)橛哨A球者發(fā)下一個球，故不會出現(xiàn)一方連續(xù)兩次得2分的情況，所以三次發(fā)球能

結(jié)束比賽必是兩人分差達(dá)3分：

①若第一個球甲贏，則甲得1分，取后兩個球只能都是甲贏，這種情況的概率為

0.6x0.6x0.6=0.216；

②若第一個球乙贏，則乙得2分，且由乙發(fā)第二個球，此球，若乙贏則比賽結(jié)束，不符合題

意；若甲贏，兩人2:2,第三個球結(jié)束分差不可能達(dá)3分，也不符合題意；

故所求概率為0.216.

(2)分析接下來的比賽過程中甲、乙的得分情況：

標(biāo)記甲贏為事件A，乙贏為事件B

223

46:3)■6:5)

A(5:5]

A(5:3＞A(7:5)B(3:5>8(5:7)

8(5:5))

A(4:3)〈3(5:6)r,3:6)

A(6:5)

以4:5〉

8(4:6)

故X的所有可能取值為2,3,4,

p(X=2)=0.4x0.5=0.2,

P(X=3)=0.6x(0.6x0.6+0.4x1)+0.4x0.5x1=0.656,

p(X=4)=0.6x0.6x0.4x1=0.144,

X的分布列為

X234

p0.20.6560.144

EX=2x0.2+3x0.656+4x0.144=2.944.

22

21.已知橢圓T:=+與=l(a＞。＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳(一c,0),&(c,0),通徑長為3,

ab

且橢圓的離心率為!.

2

(1)求橢圓T的方程；

(2)設(shè)橢圓T與直線x=-c交于點(diǎn)〃，且M在第二象限，直線/與T交于異于點(diǎn)用的

RQ兩點(diǎn)，E是線段PQ的中點(diǎn)，若2|ME|=|PQ|,求證直線/過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐

標(biāo).

答案：

見解析

解析：

【分析】

a=2

(1)根據(jù)橢圓基本性質(zhì)可求得=

c=l

(2)21ME|=|PQ|且E是線段PQ的中點(diǎn)，可得PMLQM,利用設(shè)而不求進(jìn)行運(yùn)算求

解，但要注意討論直線1的斜率是否存在.

【詳解】

a=2

解得b=G

(1)由題意可得〈=b2+c

c_1c=\

a2

所以，橢圓T的方程為三+匕=1.

43

(2)由題意可得點(diǎn)用(一1,|),

且由2IMERPQI可知.

①當(dāng)直線/斜率不存在時，設(shè)直線/:x=f,即E(f,O),不妨設(shè)P在。的上方,

；?|PQb2

即由2IMERPQI可得7/+&+i=o,

解得，=一；或匕=-1（舍）:

②若直線/斜率存在，設(shè)直線/:y=AX+W,P（X|，X）,Q（X2，）2），

"29

土匕=]

聯(lián)I43-，可得（3+4公卜2+8初a+4加2-12=。，

y=kx+m,

且A=64公加2一4（3+4爐）（4/一12）=48（4公+3—加2）＞o,

8km4m2-12

其中玉+…①

x,=—,x}x2=

3+4F3+4改2

則

3/一12/

X+%=后(玉+工2)+2m=-~77T，%為=人/+king+x)+m2…②

3+4Ar2-3+4公

VPMQM=0則(％+1)(4+1)+］乂-1%一|二0

r39

整理的：|_x,x2+(x,+x2)+lj+弘為-5(乂+%)+1=0

8km4/n2-12八(3m1-\2k236m9）

-------------T+--------------z-+l+----------------------