黑龍江省齊齊哈爾市2017屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題-含解析

PAGE黑龍江省齊齊哈爾市2017屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題可得，又，所以=，故選C2.設(shè)，若（為虛數(shù)單位）為正實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】,又其為正實(shí)數(shù)∴，∴∴復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為故選：B3.若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，則（）A.B.C.3D.4【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為根據(jù)拋物線定義可知：5=n+1,即n=4故選：D4.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，此后腳痛遞減半,六朝才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其大意為:“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，求該人每天走的路程.”根據(jù)這個(gè)描述可知該人第五天走的路程為（）A.24里B.12里C.6里D.3里【答案】B【解析】試題分析：記每天走的路程里數(shù)為,易知是公比的等比數(shù)列,,,故選C.考點(diǎn)：等比數(shù)列.5.設(shè)，則“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】“直線與直線垂直”的充要條件為，解得：∴“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件故選：A6.函數(shù)的大致圖象為（）A.B.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】①取MN的中點(diǎn)為Q，連接MQ，易知:MQ⊥EF.的周長最大，即ME最大，也就是MQ最大，顯然，當(dāng)M在和A同時(shí)取到最大此時(shí)x=0或者1，故①錯(cuò)誤；②的面積而∴滿足等式，當(dāng)時(shí)，,的面積最小值為,故②正確；③，此時(shí)為定值，，∴h亦為定值，故③正確故選：C10.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，以為圓心，半徑為的圓與雙曲線的某條漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】過A作AB⊥PQ，垂足為B，則B為PQ的中點(diǎn)，即，點(diǎn)A到漸近線的距離為：，即，得到∴，，，又∴雙曲線的離心率的取值范圍為點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.11.由1、2、3、4、5、6、7七個(gè)數(shù)字組成七位數(shù)，要求沒有重復(fù)數(shù)字且6、7均不得排在首位與個(gè)位，1與6必須相鄰，則這樣的七位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A.300B.338C.600D.768【答案】D【解析】當(dāng)1在首位時(shí)，6只有一種排法，7有四種排法，余下四數(shù)共有中排法，共有種；當(dāng)1在個(gè)位時(shí)，同樣共有96種；當(dāng)1即不再首位也不在個(gè)位時(shí)，先把1和6排好，有種排法，再排7有3種排法，余下四數(shù)共有中排法，共有種綜上：共有=768故選：D點(diǎn)睛：本題是一道帶有限制條件的排列組合題目，這種問題的常用解題策略有：相鄰問題捆繩法，不鄰問題插空法，特殊元素（特殊位置）優(yōu)先分析法，定序問題縮倍法，多排問題單排法，相同元素隔板法等等.12.已知函數(shù)的圖象上關(guān)于直線對稱的點(diǎn)有且僅有一對，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】作出如圖：，因?yàn)楹瘮?shù)，的圖像上關(guān)于直線對稱的點(diǎn)有且僅有一對，所以函數(shù)在[3,7]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)對數(shù)函數(shù)的圖像過（5，-2）時(shí)，由，當(dāng)對數(shù)過（7,2）時(shí)同理a=，所以的取值范圍為點(diǎn)睛：對于分段函數(shù)首先作出圖形，然后根據(jù)題意分析函數(shù)在[3,7]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖像可知當(dāng)對數(shù)函數(shù)的圖像過（5，-2）時(shí)，由，當(dāng)對數(shù)過（7,2）時(shí)同理a=由此得出結(jié)果，在分析此類問題時(shí)要注意將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化繁為簡再解題.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知向量的夾角為，，那么__________．【答案】1因?yàn)?，所以所以所?4.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是__________．【答案】【解析】第一個(gè)括號取，第二個(gè)括號為∴常數(shù)項(xiàng)是故答案為：15.某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的外接球表面積為，則該幾何體的體積為__________．【答案】【解析】該幾何體的直觀圖為三棱錐.取AD的中點(diǎn)為O，由直角三角形斜邊的中線為斜邊的一半，可知OA=OB=OC=OD∴O為外接球的球心，又，得到OA=OB=OC=OD=，AD=BD=2,∴AB=∴該幾何體的體積為故答案為：點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.16.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（表示不超過的最大整數(shù)），為數(shù)列的前項(xiàng)和，若存在滿足，則的值為__________．【答案】108當(dāng)時(shí)，，顯然不存在；當(dāng)時(shí)，，顯然不存在；當(dāng)時(shí)，，解得：k=108故答案為：108三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在中，角所對的邊分別為，且滿足.（1）求的大小；（2）求的最大值.【答案】（1）;（2）【解析】試題分析：（1）由條件結(jié)合正弦定理得：，又，所以，再利用余弦定理即可得到答案；（2）利用內(nèi)角和定理，化簡得到，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到最大值.試題解析：解：（1）根據(jù)可得，即在中,∵，∴，∴，∵，∴.（2）由（1）知，故，,，∵，∴，∴，∴的最大值為.點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.18.2016年6月22日，“國際教育信息化大會”在山東青島開幕.為了解哪些人更關(guān)注“國際教育信息化大會”，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)“青少年”與“中老年”的人數(shù)之比為9:11.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“中老年”比“青少年”更加關(guān)注“國際教育信息化大會”；（2）現(xiàn)從抽取的青少年中采用分層抽樣的辦法選取9人進(jìn)行問卷調(diào)查.在這9人中再選取3人進(jìn)行面對面詢問，記選取的3人中關(guān)注“國際教育信息化大會”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:參考公式，其中.臨界值表：【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為“中老年”比“青少年”更加關(guān)注“國際教育信息化大會”.（2）分布列見解析，【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算K2的值，即可得到結(jié)論；（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．試題解析：解：（1）依題意可知，抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人.完成的列聯(lián)表如下：則，因?yàn)?所以有的把握認(rèn)為“中老年”比“青少年”更加關(guān)注“國際教育信息化大會”.（2）根據(jù)題意知選出關(guān)注的人數(shù)為3，不關(guān)注的人數(shù)為6，在這9人中再選取3人進(jìn)行面對面詢問，的取值可以為0，1，2，3，則，，，.所以的分布列為數(shù)學(xué)期望.點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值.19.如圖所示，正三棱柱的底面邊長為2，是側(cè)棱的中點(diǎn).（1）證明:平面平面；（2）若平面與平面所成銳角的大小為，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：（1）要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面，又，即證平面.（2）建立空間坐標(biāo)系，由平面與平面所成銳角的大小為，得到，進(jìn)而得到四棱錐的體積.試題解析：解：（1）如圖①，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，易知又，∴四邊形為平行四邊形，∴.又三棱柱是正三棱柱，∴為正三角形，∴.又平面，,而，∴平面.又，∴平面.又平面，所以平面平面（2）（方法一）建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，得.設(shè)為平面的一個(gè)法向量.由得即.顯然平面的一個(gè)法向量為，所以，即.所以.（方法二）如圖②，延長與交于點(diǎn),連接.∵,為的中點(diǎn)，∴也是的中點(diǎn),又∵是的中點(diǎn),∴.∵平面,∴平面.∴為平面與平面所成二面角的平面角.所以,∴.點(diǎn)睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.20.如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，四邊形的面積是四邊形的面積的2倍.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩點(diǎn).若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）;（2）【解析】試題分析：（1）由已知條件布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的方程；（2）因?yàn)?，所以直線的斜率之和為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，聯(lián)立方程利用根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到直線的方程.試題解析：解：（1）因?yàn)?所以，①由四邊形的面積是四邊形的面積的2倍，可得.②由①可得，所以，所以.所以橢圓的方程為.（2）由（1）易知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.因?yàn)?，所以直線的斜率之和為0.設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，，直線的方程為，由可得，∴，同理直線的方程為，可得，∴，，∴滿足條件的直線的方程為，即為.21.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求正數(shù)的值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;（2）【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，易知：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），對m進(jìn)行分類討論，得到函數(shù)的最小值，函數(shù)有唯一零點(diǎn)即函數(shù)的最小值為零.試題解析：解：（1）依題意，知，其定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，.令，解得.當(dāng)時(shí)，.此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題可知，.令，即，因?yàn)?，所?舍去)，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.因?yàn)楹瘮?shù)有唯一零點(diǎn)，所以，由即可得，因?yàn)?，所以，設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)該函數(shù)是增函數(shù)，所以至多有一解.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以方程的解為，即，解得.點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求.【答案】（1）;（2）【解析】試題分析：（1）消去直線l中的參數(shù)t，得到直線的普通方程，利用