一元二次方程的應(yīng)用“衡水杯”一等獎(jiǎng)

《一元二次方程的應(yīng)用動(dòng)態(tài)幾何》

教學(xué)設(shè)計(jì)麓山國(guó)際慈利校區(qū)初中部王智勇一、教材分析

本節(jié)課屬于湘教版（2013）九年級(jí)上冊(cè)第2章P52面內(nèi)容，是一元一次方程、二元一次方程組、分式方程解應(yīng)用題的延續(xù)，又是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的基礎(chǔ)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題又是中考試題的熱點(diǎn)也是難點(diǎn)，它是研究數(shù)形結(jié)合重要數(shù)學(xué)模型。二、學(xué)情分析學(xué)生解動(dòng)態(tài)幾何應(yīng)用題難，主要是不會(huì)分析題目中變量之間的關(guān)系，不能把動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成靜態(tài)數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)處理，建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題。初三學(xué)生具有一定的認(rèn)知能力，但綜合分析能力較弱，鑒于此，教者在課本例題的基礎(chǔ)上一題多變，強(qiáng)化基礎(chǔ)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力。三、教學(xué)方式與教學(xué)手段以課本例題為載體，多角度設(shè)計(jì)問(wèn)題。改變問(wèn)題以強(qiáng)化練習(xí)驗(yàn)證一元二次方程的根是否符合題意，然后讓學(xué)生出題，讓學(xué)生體驗(yàn)到練習(xí)題從課本例題中來(lái)，一題多變，跳出題海。能讓學(xué)生體會(huì)到“學(xué)例題---變例題----我設(shè)計(jì)例題”的快樂(lè)。四、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能能根據(jù)具體的幾何實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程并求解，并檢驗(yàn)一元二次方程的根是否符合題意。體會(huì)方程建模思想，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)。學(xué)生自己出題，培養(yǎng)創(chuàng)新能力、發(fā)散思維能力、綜合分析能力。重點(diǎn)：從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)量關(guān)系并列方程求解，最后對(duì)方程的解的合理性做出解釋。難點(diǎn)：學(xué)生自主出題，抽象實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，方程建模的全過(guò)程。過(guò)程與方法創(chuàng)設(shè)情境--精講例題--多角度提出新問(wèn)題--學(xué)生出題--合作交流情感態(tài)度與價(jià)值觀本節(jié)課通過(guò)動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)建模的分析思考過(guò)程，教師改編例題，啟發(fā)學(xué)生設(shè)計(jì)新問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。技術(shù)準(zhǔn)備多媒體計(jì)算機(jī)、幾何畫板教學(xué)軟件。1、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課多媒體動(dòng)畫演示，能有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，從生活中的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，并為新課做鋪墊，自然地引入課題。實(shí)際問(wèn)題建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根實(shí)際問(wèn)題的解分析數(shù)量關(guān)系設(shè)未知數(shù)檢驗(yàn)

運(yùn)用一元二次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟有哪些？例4

如圖所示，在△ABC

中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.點(diǎn)P沿AC邊從點(diǎn)A向終點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q沿CB邊從點(diǎn)C向終點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng).問(wèn)點(diǎn)P，Q出發(fā)幾秒后，可使△PCQ的面積為9cm2？教師通過(guò)幾何畫板動(dòng)態(tài)演示P、Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中的變化情況，才能做好計(jì)算推理的過(guò)程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探究題基本思路，然后“化動(dòng)為靜”這也是解決動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。此例題方程恰好有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且符合題意，為進(jìn)一步加強(qiáng)一元二次方程根的檢驗(yàn)，特設(shè)計(jì)以下幾個(gè)問(wèn)題，以強(qiáng)化檢驗(yàn)根的步驟。

創(chuàng)新問(wèn)題一：點(diǎn)P，Q出發(fā)幾秒后，可使△PCQ的面積為5cm2？創(chuàng)新問(wèn)題一第四秒時(shí)Q點(diǎn)已經(jīng)到達(dá)B點(diǎn)且停止運(yùn)動(dòng)，故X=5應(yīng)舍去。設(shè)計(jì)此問(wèn)題的目的在于讓學(xué)生考慮到有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)（0≤x≤4）這一隱含條件去驗(yàn)根。

創(chuàng)新問(wèn)題二：點(diǎn)P，Q出發(fā)幾秒后，可使PQ平分△ABC的面積？創(chuàng)新問(wèn)題二強(qiáng)調(diào)方程無(wú)實(shí)數(shù)根所表示的幾何意義。創(chuàng)新問(wèn)題三：點(diǎn)P，Q出發(fā)幾秒后，可使四邊形APQB的面積為16cm2？創(chuàng)新問(wèn)題三第四秒時(shí)Q點(diǎn)與B點(diǎn)重合，此時(shí)APQB不再是四邊形，故X=4應(yīng)舍去。通過(guò)以上四個(gè)問(wèn)題，重點(diǎn)在于強(qiáng)化學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)量關(guān)系并列方程求解，最后對(duì)方程的解的合理性做出解釋。驗(yàn)根時(shí)不僅要考慮題目中的隱含條件，還要考慮動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題運(yùn)動(dòng)過(guò)程中圖形的變換是否符合題意。學(xué)生設(shè)計(jì)問(wèn)題一：P、Q出發(fā)幾秒后三角形PCQ是等腰三角形？學(xué)生設(shè)計(jì)問(wèn)題三P、Q出發(fā)幾秒后三角形PCQ與三角形ABC相似？學(xué)生設(shè)計(jì)問(wèn)題四：P、Q出發(fā)幾秒后三角形PCQ的面積達(dá)到最大值？最大值是多少？學(xué)生設(shè)計(jì)問(wèn)題二：P、Q出發(fā)幾秒后四邊形APQB是梯形（或PQ//AB）？教師再適當(dāng)歸納一元二次方程解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題方法和技巧，再鼓勵(lì)學(xué)生觀察課件動(dòng)畫演示，啟發(fā)學(xué)生觀察思考：三角形PCQ的形狀可否變?yōu)榈妊苯侨切?，四邊形APQB的形狀是否可變?yōu)樘厥獾乃倪呅危ㄌ菪危?，直線PQ與直線AB的位置關(guān)系（平行）、三角形PCQ的面積變化有什么規(guī)律（極大值）、三角形PCQ與三角形ABC的形狀是否可以相似？能建立方程模型，求出時(shí)間嗎？此環(huán)節(jié)在小組合作交流的基礎(chǔ)上老師適當(dāng)點(diǎn)撥，出題解題然后驗(yàn)證充分發(fā)揮學(xué)生的想象能力，創(chuàng)新意識(shí)，能讓學(xué)生體會(huì)到“學(xué)例題---變例題----我設(shè)計(jì)例題”