應力分析與應變分析

應力分析與應變分析第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二§1.1

應力與點的應力狀態(tài)外力(load)與內(nèi)力(internalforce)

外力P：施加在變形體上的外部載荷。

內(nèi)力Q：變形體抗衡外力機械作用的體現(xiàn)。

第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二應力（stress）應力S是內(nèi)力的集度內(nèi)力和應力均為矢量應力的單位：1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2

1MPa=106N/m2應力是某點A的坐標的函數(shù)，即受力體內(nèi)不同點的應力不同。應力是某點A在坐標系中的方向余弦的函數(shù)，即同一點不同方位的截面上的應力是不同的。第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二應力可以進行分解Sn

n、n（n—normal,法向）

某截面（外法線方向為n）上的應力：

或者（求和約定的縮寫形式）

全應力(stress)正應力(normalsress)剪應力(shearstress)第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二一點的應力狀態(tài)：是指通過變形體內(nèi)某點的單元體所有截面上的應力的有無、大小、方向等情況。一點的應力狀態(tài)的描述：數(shù)值表達：x=50MPa，xz=35MPa

圖示表達：在單元體的三個正交面上標出（如圖1-2）

張量表達：(i,j=x,y,z)

（對稱張量，9個分量，6個獨立分量。）一點的應力狀態(tài)及應力張量第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二

應力分量圖示圖1-2平行于坐標面上應力示意圖

第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二應力的分量表示及正負符號的規(guī)定ij

xx、xz……

（便于計算機應用）

i——應力作用面的外法線方向(與應力作用面的外法線方向平行的坐標軸)j——應力分量本身作用的方向當i=j時為正應力

i、j同號為正（拉應力），異號為負（壓應力）當i≠j時為剪應力

i、j同號為正，異號為負

第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二應力的坐標變換（例題講解）*

實際應用：晶體取向、織構(gòu)分析等應力莫爾圓**：

二維應力莫爾圓與三維應力莫爾圓掌握如何畫、如何分析（工程力學已學，看書）第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二§1.2

點的應力狀態(tài)分析§1.2.1主應力及應力張量不變量§1.2.2主剪應力和最大剪應力§1.2.3八面體應力與等效應力第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二

§1.2.1

主應力及應力張量不變量

設想并證明主應力平面（其上只有正應力，剪應力均為零）的存在，可得應力特征方程：

第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二應力不變量式中第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二討論：

1.可以證明，在應力空間，主應力平面是存在的；

2.三個主平面是相互正交的；

3.三個主應力均為實根，不可能為虛根；

4.應力特征方程的解是唯一的；

5.對于給定的應力狀態(tài)，應力不變量也具有唯一性；

6.應力第一不變量I1反映變形體體積變形的劇烈程度，與塑性變形無關；I3也與塑性變形無關；I2與塑性變形無關。

7.應力不變量不隨坐標而改變，是點的確定性的判據(jù)。

第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二主應力的求解（略，見彭大暑《金屬塑性加工力學》教材）主應力的圖示

第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二§1.2.2

主剪應力和最大剪應力主剪應力(principalshearstress)：極值剪應力（不為零）平面上作用的剪應力。主應力空間的｛110｝面族。最大剪應力(maximunshearstress)：

通常規(guī)定：則有最大剪應力：或者：其中：且有：第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二§1.2.3

八面體應力與等效應力

即主應力空間的｛111｝等傾面上的應力。這組截面的方向余弦為：

正應力剪應力

總應力八面體上的正應力與塑性變形無關，剪應力與塑性變形有關。第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二八面體應力的求解思路：因為第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二等效應力

討論：1.等效的實質(zhì)？是（彈性）應變能等效（相當于）。

2.什么與什么等效？復雜應力狀態(tài)（二維和三維）與簡單應力狀態(tài)（一維）等效

3.如何等效？等效公式（注意：等效應力是標量，沒有作用面）。

4.等效的意義？屈服的判別、變形能的計算、簡化問題的分析等。第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二§1.3

應力張量的分解與幾何表示

(i,j=x,y,z)

其中即平均應力，為柯氏符號。

即

第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二討論：

分解的依據(jù)：靜水壓力實驗證實，靜水壓力不會引起變形體形狀的改變，只會引起體積改變，即對塑性條件無影響。為引起形狀改變的偏應力張量(deviatoricstresstensor)，為引起體積改變的球張量(sphericalstresstensor)（靜水壓力）。與應力張量類似，偏應力張量也存在相應的不變量：

（體現(xiàn)變形體形狀改變的程度）第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二§1.4

應力平衡微分方程直角坐標下的應力平衡微分方程*

即（不計體力）

物理意義：表示變形體內(nèi)無限相鄰兩質(zhì)點的點的應力狀態(tài)的關系。對彈性變形和塑性變形均適用。第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二

推導原理：靜力平衡條件：

靜力矩平衡條件：泰勒級數(shù)展開：

第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二圓柱坐標下的應力平衡微分方程

球坐標下的應力平衡微分方程？

第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二§1.5

應變與位移關系方程§1.5.1

幾何方程§1.5.2

變形連續(xù)方程第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二

§1.5.1

幾何方程

第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二討論：

1.物理意義：表示位移(displacement)

與應變(strain)之間的關系；

2.位移包含變形體內(nèi)質(zhì)點的相對位移（產(chǎn)生應變）和變形體的剛性位移（平動和轉(zhuǎn)動）；

3.工程剪應變理論剪應變：

第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二4.應變符號規(guī)定：正應變或線應變()：伸長為正，縮短為負；剪應變或切應變（）：夾角減小為正，增大為負；5.推導中應用到小變形假設、連續(xù)性假設及泰勒級數(shù)展開等。第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二§1.5.2

變形連續(xù)方程第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二討論：

1.物理意義：表示各應變分量之間的相互關系“連續(xù)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過程中不開裂，不堆積；

2.應變協(xié)調(diào)方程說明：同一平面上的三個應變分量中有兩個確定，則第三個也就能確定；在三維空間內(nèi)三個切應變分量如果確定，則正應變分量也就可以確定；

3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應變分量，則必須校驗其是否滿足連續(xù)性條件。第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二§1.6

點的應變狀態(tài)

指圍繞該點截取的無限小單元體的各棱長及棱間夾角的變化情況?？杀硎緸閺埩啃问剑?/p>

應變張量（straintensor）也可進行與應力張量類似的分析。(i,j=x,y,z)第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二§1.7

應變增量

全量應變與增量應變的概念前面所討論的應變是反映單元體在某一變形過程終了時的變形大小，稱作全量應變增量應變張量第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二§1.8

應變速度張量設某一瞬間起dt時間內(nèi)，產(chǎn)生位移增量dUi，則應有dUi=Vidt。其中Vi為相應位移速度。代入增量應變張量，有：令即為應變速率張量第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二§1.9

主應變圖與變形程度表示主變形圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。主變形圖只可能有三種形式第三十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二主應力、主應變圖示：主應力—9種；主應變—3種[但只有23種可能的應力應變組合（塑性變形力學圖），為什么？]第三十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二變形程度表示絕對變形量

——指工件變形前后主軸方向上尺寸的變化量相對變形

——指絕對變形量與原始尺寸的比值，常稱為形變率真實變形量

——即變形前后尺寸比值的自然對數(shù)第三十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二應力應變分析的相似性與差異性相似性：張量表示、張量分析、張量關系相似

第三十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期二

差異性：概念：應力研究面元ds上力的集度應變研究線元dl的變化情況內(nèi)部關系：應力—應力平衡微分方程應變—應變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程彈性變形：相容方程