2022屆廣東省中山一中等七校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題Word版含答案

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數(shù)學(xué)（理）試題

本試卷共4頁,23小題,滿分150分.考試用時120分鐘.

參考公式：24SRπ=球表，其中R表示球的半徑

第Ⅰ卷(挑選題共60分)

一、挑選題:本大題共12小題,每小題5分,滿分60分,在每小題給出的四個選項中,惟獨(dú)一

項是符合題目要求的.

1.{}

2|450Axxx=--≤，{}|||2Bxx=≤，則()RA

B=（）

A.[]2,5B.(2,5]C.[]1,2-D.[)1,2-

2．假如復(fù)數(shù)21mi

mi

++是純虛數(shù),那么實數(shù)m等于（）

A．1-

B．0

C．0或1

D．0或1-

3．設(shè),xy滿足約束條件2602600xyxyy+-≥??

+-≤??≥?

，則目標(biāo)函數(shù)zxy=+最大值是（）

A．3；

B．4；

C．6；D.8

4．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）聽從正態(tài)分布2

(0,3)N，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)

間(3,6)內(nèi)的概率為（）

（附：正態(tài)分布2

(,)Nμσ中，()68.26%Pμσξμσ->的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲

線的一個交點(diǎn)為M，且MF與雙曲線的實軸垂直，則雙曲線C的離心率為（）

A.52

52D.2

12.已知函數(shù)2yx=的圖象在點(diǎn)()

2

00,xx處的切線為l，若l也與函數(shù)lnyx=，)1,0(∈x的圖象相切，則0

x必滿足（）

A．012x，且10(21)(2)nnnSaa=++，*

n∈N．

（Ⅰ）求數(shù)列{}na的通項na；

（Ⅱ）是否存在*

,,mnkN∈，使得2()mnkaaa+=成立？若存在，寫出一組符合條件的,,mnk的值；

若不存在，請說明理由；

18.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐PABCD-中，底面ABCD是菱形，且120ABC∠=?．點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F．(Ⅰ)求證：//ABEF；

(Ⅱ)若2PAPDAD===，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余

弦值．

19.(本小題滿分12分)

某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘．因為下雨會影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：

萬元；有雨時，收益為10萬元．額外招聘工人的成本為a萬元．

已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36．(Ⅰ)若不額外招聘工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益；(Ⅱ)該基地是否應(yīng)當(dāng)外聘工人，請說明理由．

20.(本小題滿分12分)

已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)(1,0)F的距離比M到定直線2x=-的距離小1.（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)F隨意作相互垂直的兩條直線12,ll，分離交曲線C于點(diǎn),AB和,MN．設(shè)線段AB，MN的中點(diǎn)分離為,PQ，求證：直線PQ恒過一個定點(diǎn)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求FPQ?面積的最小值．

21.

(本小題滿分12分)

已知函數(shù)()lnfxx=，()()hxaxaR=∈.

（Ⅰ）函數(shù)()fx與()hx的圖象無公共點(diǎn)，試求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)

m，使得對隨意的1(,

)2x∈+∞，都有函數(shù)()m

yfxx

=+的圖象在()xegxx=的

圖象的下方？若存在，哀求出最大整數(shù)m的值；若不存在，請說理由.

（參考數(shù)據(jù)：ln20.6931=，,ln31.0986=1.3956==）.

請考生在第22,23題中任選一題做答,假如多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清晰題號.22.(本小題滿分10分)選修44-:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講

已知曲線C的參數(shù)方程為21xyα

α

?=??=+??(α為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為

極軸建立極坐標(biāo)系.

(Ⅰ)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)設(shè)12::63llππ

θθ==，，若l1、l2與曲線C相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A、B，求△AOB的面積.

23.(本小題滿分10分)選修45-:不等式選講

已知函數(shù)12)(=xaxxf.(Ⅰ)當(dāng)2=a時，求03)(≥+xf的解集；

(Ⅱ)當(dāng)]3,1[∈x時，3)(≤xf恒成立，求a的取值范圍.

2022屆廣東省中山一中等七校高三第一次聯(lián)考

數(shù)學(xué)（理）試題參考答案

一、挑選題：本題共12小題，每小題5分，共60分

12.【解析】D；畫出圖像，明顯可以排解A、B選項.由題xxf2)(='，2

00)(xxf=，所以l的方程為

2

000)(2xxxxy+-=2

002xxx-=，由于l也與函數(shù)lnyx=的圖象相切，令切點(diǎn)坐標(biāo)為)ln,(11xx，所

以l的方程為y1ln111

-+=xxx

，這樣有??

???

=-=2

0110ln1

12xxx

x，所以2

002ln1xx=+，()01,x∈+∞,令12ln)(2

--=xxxg，()1,x∈+∞，又由于x

xxg12)(-='xx1

22-=，所以)(xg在()1,+∞上單調(diào)增，

又02ln)1(，則2BDx=．在△BCD中，由于CDBC⊥，

5CD=，2BDx=，所以cosCDCDBBD∠=5

2x

=

．在△ACD中，由于ADx=，5CD=，AC=，由余弦定理得222cos2ADCDACADCADCD+-∠==??CDBADC∠+∠=π，

所以coscosADCCDB∠=-∠5

2x

=-．解得5x=．所以AD的長為5.

三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答須寫出須要的文字說明、證實過程或演算步驟.

17.【解析】(Ⅰ)11110(21)(2)aaa=++，得2

112520aa-+=，解得12a=，或112

a=．

因為11a>，所以12a=．.…………1分

由于10(21)(3)nnnSaa=++，所以2

10252nnnSaa=++.

故22

1111101010252252nnnnnnnaSSaaaa++++=-=++，.…………3分收拾，得22

112()5()0nnnnaaaa++--+=，即11()[2()5]0nnnnaaaa+++--=．.

由于{}na是遞增數(shù)列，且12a=，故10nnaa++≠，因此15

2

nnaa+-=．…………5分則數(shù)列{}na是以2為首項，5

2

為公差的等差數(shù)列.所以51

2(1)(51)22

nann=+

-=-.……………6分（Ⅱ）滿足條件的正整數(shù),,mnk不存在，證實如下：

假設(shè)存在*

,,mnkN∈，使得2()mnkaaa+=，…8分

則1

5151(51)2

mnk-+-=-．…9分

收拾，得3

225

mnk+-=，①

明顯，左邊為整數(shù)，所以①式不成立．

故滿足條件的正整數(shù),,mnk不存在．…12分

18.【解析】(Ⅰ)∵底面ABCD是菱形，∴//ABCD，又∵AB?面PCD，CD?面PCD，

∴//AB面PCD，…………2分

又∵A，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且平面ABEF平面PCDEF=∴//ABEF；…………4分

(Ⅱ)取AD中點(diǎn)G，銜接PG，GB，∵PAPD=，∴PGAD⊥，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD=∴PG⊥平面ABCD，∴PGGB⊥，在菱形ABCD中，∵ABAD=，60DAB∠=?，G是AD∴ADGB⊥，…6分

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz-，設(shè)2PA

PDAD===，

則(0,0,0)G，(1,0,0)A

，B(C-，(1,0,0)D-，

P，又∵//ABEF，點(diǎn)E是棱PC中點(diǎn)，∴點(diǎn)F是棱PD中點(diǎn)，

∴(1,

2

2E-，1(,0,22

F-，3(,0,22AF=-,1(,22

EF=-，……………8分設(shè)平面AFE的法向量為(,,)nxy

z=，則有0

0nAFnEF??=???=??，∴3zyx?=??=??

，

不妨令3x=，則平面AFE

的一個法向量為(3,3,3n=，…10分∵BG⊥平面PAD，∴GB=是平面PAF的一個法向量，

∵cos,13

39nGBnGB

?=

=

=

?，∴平面PAF與平面AFE．………………12分19.【解析】(Ⅰ)設(shè)下周一無雨的概率為p，由題意，2

0.36,0.6pp==，…………2分

基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5，則(20)0.36PX==，(15)0.24PX==，(10)0.24PX==，(7.5)0.16PX==………4分∴基地收益X的分布列為：

()200.36150.24100.247.50.1614.4EX=?+?+?+?=，…………5分

∴基地的預(yù)期收益為14.4萬元．……………6分(Ⅱ)設(shè)基地額外招聘工人時的收益為Y萬元，

則其預(yù)期收益()200.6100.416EYaa=?+?-=-（萬元），…8分()()1.6EYEXa-=-，…9分

綜上，當(dāng)額外招聘工人的成本高于1.6萬元時，不外聘工人；成本低于1.6萬元時，外聘工人；成本恰為1.6萬元時，是否外聘工人均可以．……12分

20.【解析】(Ⅰ)由題意可知：動點(diǎn)M到定點(diǎn)(1,0)F的距離等于M到定直線1x=-的距離，按照拋物線

的定義可知，點(diǎn)M的軌跡C是拋物線。……2分

2p=，∴拋物線方程為：24yx=……3分

（Ⅱ）設(shè),AB兩點(diǎn)坐標(biāo)分離為11(,)xy，22(,)xy，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為1212

(

,)22

xxyy++．由題意可設(shè)直線1l的方程為(1)ykx=-(0)k≠，

由24,(1),

yxykx?=?=-?得2222

(24)0kxkxk-++=.2242(24)416160kkk.…5分

由于直線1l與曲線C于,AB兩點(diǎn)，所以12242xxk+=+，12124

(2)yykxxk

+=+-=．

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為222

(1,)kk

+.…6分

由題知，直線2l的斜率為1k

-，同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2

(12,2)kk+-.…7分

當(dāng)1k≠±時，有222112kk+≠+，此時直線PQ的斜率2

222221112PQk

kkkkkk

+==-+--.……8分所以，直線PQ的方程為2

2

2(12)1kykxkk

+=，收拾得2

(3)0ykxky+--=.于是，直線PQ恒過定點(diǎn)(3,0)E；

當(dāng)1k=±時，直線PQ的方程為3x=，也過點(diǎn)(3,0)E．

綜上所述，直線PQ恒過定點(diǎn)(3,0)E．…10分（Ⅲ）可求的||

2EF，所以FPQ?面積121

||(

2||)2(||)42||||

SFEkkkk=+=+≥.當(dāng)且僅當(dāng)1k=±時，“=”成立，所以FPQ?面積的最小值為4．……………12分

21.【解析】(Ⅰ)函數(shù)()fx與()hx無公共點(diǎn)，等價于方程

lnx

ax

=在(0,)+∞無解.…2分令ln()xtxx=

，則21ln'(),x

txx-=令'()0,tx=得xe=x(0,)ee(,)e+∞

'()tx

＋0－()tx

增極大值減由于xe=是唯一的極大值點(diǎn)，故max1

()ttee

==………………4分

故要使方程

lnx

ax

=在(0,)+∞無解，當(dāng)且僅當(dāng)1ae>故實數(shù)a的取值范圍為1

(,)e

+∞…6分

（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)m滿足題意，則不等式lnxmexxx+，且'()x?的圖象在1

(,1)2上

延續(xù)，所以存在01(,1)2

x∈，使得0'()0x?=，即0010x

ex-=，則00lnxx=-………9分所以當(dāng)01

(,)2

xx∈時，()x?單調(diào)遞減；當(dāng)0(,)xx∈+∞時，()x?單調(diào)遞增，

則()x?取到最小值000001()ln11x

xexxx?=--=+

-110≥=>，所以'()0rx>，即()rx在區(qū)間1(,)2

+∞內(nèi)單調(diào)遞增.…11分

11

221111

()lnln21.995252222

mree≤=-=+=，

所以存在實數(shù)m滿足題意，且最大整數(shù)m的值為1.……………12分

22.【解析】(Ⅰ)∵曲線C的參數(shù)方程為?????+=+=α

α

sin51cos52yx(α為參數(shù))

∴曲線C的一般方程為()()5122

2

=-+-yx…………2分

將??

?==θ