數(shù)學(xué)文化第一講數(shù)學(xué)的本質(zhì)

數(shù)學(xué)文化第一講數(shù)學(xué)的本質(zhì)第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三

什么是數(shù)學(xué)？為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？開設(shè)《數(shù)學(xué)文化》的目的和意義主要內(nèi)容：

數(shù)學(xué)的本質(zhì)數(shù)學(xué)美學(xué)數(shù)學(xué)與人的發(fā)展數(shù)學(xué)與其它第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三

一、數(shù)學(xué)研究對象的歷史考察

從數(shù)學(xué)發(fā)展的每個歷史時期，人們在實踐中，對數(shù)學(xué)研究對象的發(fā)現(xiàn)與認(rèn)識，來加以考察。數(shù)學(xué)，作為一門科學(xué)，它來源于人類社會實踐，并促進(jìn)人類社會實踐，也隨著人類社會的進(jìn)步而發(fā)展。1.數(shù)學(xué)萌芽時期(遠(yuǎn)古～公元前6世紀(jì))2.常量數(shù)學(xué)時期(公元前6世紀(jì)～公元17世紀(jì))3.變量數(shù)學(xué)時期(17世紀(jì)～19世紀(jì))4.近現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期(19世紀(jì)以后)

第一講數(shù)學(xué)的本質(zhì)第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三

1.數(shù)學(xué)萌芽時期(遠(yuǎn)古～公元前6世紀(jì))

特點：零零星星地認(rèn)識了數(shù)學(xué)中最古老、原始的概念——“數(shù)”(自然數(shù))和“形”(簡單幾何圖形)。數(shù)的概念起源于數(shù)(讀shǔ)，腳趾和手指記數(shù)、“結(jié)繩記數(shù)”等；另一方面，人類還在采集果實、打造石器、燒土制陶的活動中，對各種物體加以比較，區(qū)分直曲方圓，逐漸形成了“形”的概念。

第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三2.常量數(shù)學(xué)時期(公元前6世紀(jì)～公元17世紀(jì))

特點：人們將零星的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)行了積累、歸納、系統(tǒng)化，采用邏輯演繹的方法形成了古典初等數(shù)學(xué)的體系。歐幾里得（Euclid）：《幾何原本》以空間形式為研究對象，以邏輯思維為主線，從5條公設(shè)、23個定義和5條公理推出了467條定理，從而建立了公理化演繹體系。我國東漢時期：《九章算術(shù)》由246個數(shù)學(xué)問題、答案和術(shù)文組成，全書主要研究對象是數(shù)量關(guān)系。

第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三3.變量數(shù)學(xué)時期(17世紀(jì)～19世紀(jì))

特點：“運動”成為自然科學(xué)研究的中心課題，數(shù)學(xué)由研究現(xiàn)實世界的相對靜止的事物或現(xiàn)象進(jìn)而探索運動變化的規(guī)律，常量數(shù)學(xué)已發(fā)展到變量數(shù)學(xué)。17世紀(jì)，笛卡爾（Descartes）將幾何內(nèi)容的課題與代數(shù)形式的方法相結(jié)合，產(chǎn)生了解析幾何學(xué)，這標(biāo)志著變量數(shù)學(xué)時期的開始。17世紀(jì)60年代，Newton和Leibniz各自從運動學(xué)和幾何學(xué)研究的需要，創(chuàng)建了微積分。隨后，相繼建立了級數(shù)理論、微分方程論、變分學(xué)等分析學(xué)領(lǐng)域的各個分支。

第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三3.變量數(shù)學(xué)時期(17世紀(jì)～19世紀(jì))

15世紀(jì)～18世紀(jì)，人們還研究了大量的隨機(jī)現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)存在著某種完全不確定規(guī)律性，建立了概率論。這個時期，數(shù)學(xué)的研究對象已由常量進(jìn)入變量，由有限進(jìn)入無限，由確定性進(jìn)入非確定性；數(shù)學(xué)研究的基本方法也由傳統(tǒng)的幾何演繹方法轉(zhuǎn)變?yōu)樗阈g(shù)、代數(shù)的分析方法。馬克思主義奠基人之一的恩格斯，在考察了18世紀(jì)前整個數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史基礎(chǔ)上指出：“數(shù)和形的概念不是從任何地方得來的，而僅僅是從現(xiàn)實世界中得來的”、“純數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系——這是非?，F(xiàn)實的材料——為對象的”，這些論斷揭示了科學(xué)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三4.近現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期(19世紀(jì)以后)

特點：數(shù)學(xué)由研究現(xiàn)實世界的一般抽象形式和關(guān)系，進(jìn)入到研究更抽象、更一般的形式和關(guān)系，數(shù)學(xué)各分支互相滲透融合。隨著計算機(jī)的出現(xiàn)和日益普及，數(shù)學(xué)愈來愈顯示出科學(xué)和技術(shù)的雙重品質(zhì)。19世紀(jì)以來，由于社會發(fā)展的需要，以及數(shù)學(xué)自身的邏輯矛盾不斷產(chǎn)生許多新問題，促使處于數(shù)學(xué)核心部分的幾個主要分支——代數(shù)、幾何、分析學(xué)科的內(nèi)容發(fā)生了深刻變化，并產(chǎn)生了許多新的數(shù)學(xué)分支。抽象代數(shù)學(xué)、n維空間、無窮維空間以至于更抽象的空間、Cantor集合論泛函分析等。

第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三4.近現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期(19世紀(jì)以后)20世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的發(fā)展更是迅猛異常，產(chǎn)生了“優(yōu)選學(xué)”、“規(guī)劃論”、“對策論”、“排隊論”、“計算機(jī)理論’等等，尤其是第二次世界大戰(zhàn)以后，由于科學(xué)技術(shù)和工程技術(shù)上的計算問題的越來越復(fù)雜，需要高速、準(zhǔn)確地計算許多非線性的、多維的，或為方程組形式的數(shù)學(xué)問題，為此電子計算機(jī)應(yīng)運而生。隨著計算機(jī)的出現(xiàn)，與高新科技緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)理論，如控制論、突變論、拓?fù)浞€(wěn)定性和大范圍分析等理論也隨之產(chǎn)生。今日的數(shù)學(xué)不僅是一門獨立的科學(xué)，而且是一種普遍性的技術(shù)，它“兼有科學(xué)和技術(shù)的兩種品質(zhì)”。顯然，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多分支的研究對象，遠(yuǎn)遠(yuǎn)突破了傳統(tǒng)的“空間形式”和“數(shù)量關(guān)系”的范圍。

第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三

二、數(shù)學(xué)是什么科學(xué)？

數(shù)學(xué)本質(zhì)的另一個問題：數(shù)學(xué)究竟是什么科學(xué)？是演繹科學(xué)，還是經(jīng)驗科學(xué)呢？或是實驗歸納科學(xué)呢？由于人們從不同的角度來認(rèn)識，因而對這個問題有著不同的看法．1.數(shù)學(xué)科學(xué)的幾種論述：（1）從數(shù)學(xué)所從屬的工作領(lǐng)域來看：在17世紀(jì)以前，畢達(dá)哥拉斯（Pytnagoras）學(xué)派的數(shù)學(xué)觀占據(jù)了統(tǒng)治地位，他們認(rèn)為“數(shù)是一切事物的本質(zhì)，整個有規(guī)律的宇宙的組織，就是數(shù)以及數(shù)的關(guān)系的和諧系統(tǒng)”，Galieo說得更明白：“大自然乃至整個宇宙這本書都是用數(shù)學(xué)語言寫出的”。依他們看來，科學(xué)的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)，世界是數(shù)學(xué)的描述形式，這一時期數(shù)學(xué)成了科學(xué)的“皇后”；

第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三到了17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家Alembert把數(shù)學(xué)劃歸在自然科學(xué)之內(nèi)，確認(rèn)它是自然科學(xué)的一個門類，數(shù)學(xué)再不被認(rèn)為是科學(xué)的“皇后”，而是科學(xué)的“仆人”，是自然科學(xué)的工具。直到20世紀(jì)80年代末，我國杰出的科學(xué)家錢學(xué)森明確提出，“數(shù)學(xué)應(yīng)該與自然科學(xué)和社會科學(xué)并列”，成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的自然科學(xué)、社會科學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)、思維科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、人體科學(xué)、軍事科學(xué)、文藝?yán)碚摗⒌乩砜茖W(xué)等十大門類的一大門類，他主張“數(shù)學(xué)應(yīng)該稱為‘?dāng)?shù)學(xué)科學(xué)’”。

第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三（2）從研究數(shù)學(xué)的方法來看：

匈牙利數(shù)理邏輯學(xué)家卡爾馬認(rèn)為“數(shù)學(xué)是一門有經(jīng)驗根據(jù)的科學(xué)”；著名的科學(xué)哲學(xué)家Lakatos認(rèn)為“數(shù)學(xué)是既含有經(jīng)驗成分又含有理性成分的一種非封閉的演繹系統(tǒng)—擬經(jīng)驗的體系”；美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G.Polya認(rèn)為“用歐幾里得方法提出來的數(shù)學(xué)看來卻像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實驗性的歸納科學(xué)”?？梢姀臄?shù)學(xué)真理的發(fā)現(xiàn)或發(fā)明的無數(shù)事實來看，它是通過大量實驗、歸納而得以發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而通過演繹推理而證明它的可靠性和真實性。因此，數(shù)學(xué)具有兩重性，它既是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)(從最后被確定的定型的數(shù)學(xué)來看)，又是一門實驗性的歸納科學(xué)(從創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)來看)．第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三（3）從數(shù)學(xué)對象來看．?dāng)?shù)學(xué)家Descarte把數(shù)學(xué)稱作“序的科學(xué)”；物理學(xué)家Weinberg把數(shù)學(xué)看作是“模式與關(guān)系”的科學(xué)，如像生物是有機(jī)體的科學(xué)，物理是物和能的科學(xué)一樣，“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)”；如果把數(shù)學(xué)看作是一種語言，它又可認(rèn)為“是描述模式的語言”。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的創(chuàng)立與發(fā)展，人們對數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識逐步深化，在當(dāng)今數(shù)學(xué)哲學(xué)界流行一些新穎和較成熟的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點.2.數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)《現(xiàn)代漢語詞典》里，對模式的解釋是指“某種事物的標(biāo)準(zhǔn)形式”，這種標(biāo)準(zhǔn)形式是通過抽象、概括而產(chǎn)生的。

第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三按照這種解釋，數(shù)學(xué)的概念、理論、公式、定理和方法都可以看成是一種模式，顯然它們又是一種數(shù)學(xué)抽象思維活動的產(chǎn)物，這種抽象不同于其它科學(xué)中的抽象。首先，在抽象的內(nèi)容上，它僅僅保留了事物的量的特性，而舍去了它的質(zhì)的內(nèi)容；其次，在抽象的度量上，數(shù)學(xué)中的概念，并非都是真實事物或現(xiàn)象的直接抽象的結(jié)果，而是在第一次抽象的基礎(chǔ)上，進(jìn)行多次的再抽象。換句話說，由概念引出概念，如正方形是由長方形引出的概念；再次，在抽象的方法上，它是一種“建構(gòu)”的活動，也就是說，數(shù)學(xué)的對象是借助于明確的定義得到構(gòu)造的，數(shù)學(xué)理論又是建立在邏輯演繹之上來展開的。

第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三例1關(guān)于數(shù)學(xué)概念的模式

我們知道“1”這個數(shù)，是對一個人、一棵樹、一間房等類事物的量的特性的刻畫，是抽象思維的產(chǎn)物。實際上，在現(xiàn)實世界里并不存在作為數(shù)學(xué)研究對象的真正的“1”。又如，現(xiàn)實世界中，我們只看到圓形的十五的月亮，圓形的水池，圓形的車輪，而數(shù)學(xué)概念中的“圓”，則是這類事物的標(biāo)準(zhǔn)形式，反映了這類事物都具有的“到一個定點的距離等于定長”的量的特性。在高等數(shù)學(xué)中，我們知道瞬時速度可以看成是距離對時間的導(dǎo)數(shù)、電流是電量對時間的導(dǎo)數(shù)等，我們?nèi)绻麑⒕嚯x、電量、曲線等一類事物都抽象成關(guān)于x的函數(shù)f(x)，那么刻畫函數(shù)的變化率這一普遍意義的現(xiàn)象，可以用導(dǎo)數(shù)這一標(biāo)準(zhǔn)形式——模式來表示，這樣，我們把數(shù)學(xué)概念都可以看成是量化模式。

第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三例2關(guān)于數(shù)學(xué)問題的模式

問題1下面的兩個問題，我們?nèi)绻麖馁|(zhì)的方面來看，顯然是兩個不同的問題，但若從量的屬性角度來看，卻是同一個標(biāo)準(zhǔn)形式．

(1)某人有兩套不同的西裝和三條不同顏色的領(lǐng)帶，問共有多少種搭配方法？

(2)有兩個軍官和三個士兵，現(xiàn)由一個軍官和一個士兵組成巡邏隊，問共有多少種組成方法？

這類問題，如果我們都舍去各自的質(zhì)的內(nèi)容，它們就可以抽象成下面的形式（圖1-1）

第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三問題2

著名的Euler“七橋問題”

東普魯士哥尼斯堡(原蘇聯(lián)加里寧格勒)有一條布勒爾河，這條河有兩條支流，在城中心匯合成大河，河中有一小島，現(xiàn)有七座橋?qū)⑺c陸地連接（圖1-2）

第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三1735年左右，哥尼斯堡大學(xué)生傍晚散步時，總想一次走過七座橋，要求每座橋只準(zhǔn)走一遍，試來試去總未成功，于是，他們寫信求教瑞士的大數(shù)學(xué)家Euler，他用了幾天時間反復(fù)思考、想象，終于在1736年解決了這個問題（圖1-3）

他解決這個問題的優(yōu)美之處，在于把問題簡單化、理想化，將問題中的陸地和島抽象成四個點，七座橋抽象成七條線，人們一次不重復(fù)地走過四塊陸地和七座橋的問題，就化歸為能否一筆畫成圖1-2的問題了-“線路拓?fù)鋵W(xué)”的先驅(qū)工作．

第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三問題3六人集會問題．試證明六個人集會，總是有三個互相認(rèn)識，或者有三個互相不認(rèn)識。

同樣，我們也可以通過數(shù)學(xué)抽象，將這個實際問題，轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)的問題—建構(gòu)一種模式，并對其進(jìn)行研究。事實上，集會中的六個人，用平面上的六個點A1，A2，A3，A4，A5，A6來表示，每兩人相識則用實線連接，不相識則用虛線連接，這樣

于是，原來的問題就轉(zhuǎn)化為：證明在上述15條線段中，一定有某三條實線段或某三條虛線段構(gòu)成一個三角形，這就成了一個純數(shù)學(xué)問題，運用抽屜原則就得到要求的結(jié)論。

第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三上面三個問題，雖然都來自于現(xiàn)實世界的問題，且有不同的實際背景，但是每個問題經(jīng)過抽象之后，“它們所反映的已不是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的特性”。像這樣超越特殊對象而具有普遍意義的問題就是一種模式，即量化模式。

綜上所述，數(shù)學(xué)的概念、命題(理論)、公式、定理、問題和方法等等，事實上都是一種量化的模式，這樣一來，“數(shù)學(xué)即是關(guān)于量化模式的建構(gòu)與研究。”正如美國數(shù)學(xué)家L.Steen所說：“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)家從數(shù)中、空間中、科學(xué)中和想象中尋找模式，數(shù)學(xué)理論闡明了模式間的關(guān)系?！钡诙?，共三十一頁，編輯于2023年，星期三“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)”與“數(shù)學(xué)是量的科學(xué)”的定義相比，我們認(rèn)為前者的界定比后者更為恰當(dāng)，更為精確。這是因為前者的定義，不僅指出了數(shù)學(xué)的研究對象，而且指明了數(shù)學(xué)研究的思想方法，這就更明確了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三3.數(shù)學(xué)是一種文化體系

“數(shù)學(xué)是一種文化體系”，是美國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)哲學(xué)家Wilder于1981年提出來的，這是長期以來提出的第一個成熟的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。數(shù)學(xué)何以是一種文化？文化，從廣義上講是人類在社會歷史發(fā)展過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)財富和精神財富的總和。簡言之，由人類所創(chuàng)造的事物或?qū)ο?，都可叫做文化?/p>

第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，是現(xiàn)實世界一種量化模式。這種模式是由現(xiàn)實世界中的事物或現(xiàn)象，經(jīng)過人的大腦抽象思維人為創(chuàng)造出的抽象模式，是“人類悟性的自由創(chuàng)造物”。它源于現(xiàn)實世界，又并非是現(xiàn)實世界的真實物。例如，在現(xiàn)實世界中，我們只看到了長方形的黑板，長方形的桌面，而現(xiàn)實世界中并不存在數(shù)學(xué)上所研究的真正“矩形”；同樣，日常生活中我們只見到三張桌子，三棵樹，三個人，又何時看到數(shù)學(xué)研究對象中的“3”呢？更不要說，虛數(shù)、四元數(shù)、超復(fù)數(shù)、向量空間、n維空間等“理想元素”，它們都可以看成是人類思維的自由創(chuàng)造物。正因如此，數(shù)學(xué)同各種藝術(shù)形式一樣，是人類一種創(chuàng)造性活動的結(jié)果，是人類抽象思維的產(chǎn)物，從這個意義來講，數(shù)學(xué)是一種文化，而且是更高層次上的文化．

第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三從現(xiàn)代人類文化學(xué)的角度來講，文化又指的是“各個群體所特有的行為、觀念和態(tài)度等。”換句話說，是各個群體所特有的“生活方式”。中華民族的文化是儒家文化、道家文化、佛教文化逐漸演變而成的，而以儒家文化為主體，其核心是認(rèn)識論和倫理說的統(tǒng)一，即所謂“仁智統(tǒng)一說”，“仁智統(tǒng)一，意味著人道(仁愛)原則和理性原則的統(tǒng)一，倫理學(xué)和認(rèn)識論的統(tǒng)一?！睅浊陙碇腥A民族的生活方式和道德行為都遵循這一準(zhǔn)則，也是中華民族的文化傳統(tǒng)．

第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三在現(xiàn)代社會中，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者已形成了一個群體，稱之為“數(shù)學(xué)共同體”。這個共同體的成員是以從事數(shù)學(xué)研究或數(shù)學(xué)教育，或兩者兼之作為自己的職業(yè)的人。他們組成了自己的社會團(tuán)體——數(shù)學(xué)會或數(shù)學(xué)教育研究會。在這個共同體中的每個成員，有“共同的觀念，共同的標(biāo)準(zhǔn)和行為模式，共同的方法和設(shè)想?！敝挥羞@樣，他們的研究成果和教學(xué)業(yè)績，才能得到數(shù)學(xué)共同體的承認(rèn)，才得以在他們之間廣泛交流和互相促進(jìn)，從而推動數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育深入研究，以及成果的應(yīng)用和普及。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程中，伴隨產(chǎn)生和發(fā)展的數(shù)學(xué)共同體，也逐漸形成了自己特有的生活方式——數(shù)學(xué)傳統(tǒng)。因此，作為數(shù)學(xué)共同體的獨有的生活方式來講，數(shù)學(xué)是一種文化。英國學(xué)者Snow指出文化有兩種：一種是人文文化；另一種是科學(xué)文化。而數(shù)學(xué)文化不同于藝術(shù)、技術(shù)一類的文化，它屬于科學(xué)文化。

第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)文化又為什么能構(gòu)成一種獨特的文化體系呢？

首先，數(shù)學(xué)發(fā)展至今，盡管分支眾多，發(fā)展迅猛，但在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程中，伴隨而生并逐漸形成了一個獨具特色的統(tǒng)一的數(shù)學(xué)思想方法體系。所謂數(shù)學(xué)思想方法，是指人們在認(rèn)識或處理各種數(shù)學(xué)或非數(shù)學(xué)現(xiàn)象的思維過程中，所表現(xiàn)出來的種種數(shù)學(xué)觀念及思維方式。其認(rèn)識的客體，包括數(shù)學(xué)研究的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成果的精神文化價值及對現(xiàn)實世界的實際作用，內(nèi)部各種成果或結(jié)論之間的相互關(guān)聯(lián)和相互支持的關(guān)系等。解析幾何的發(fā)明，不僅僅是創(chuàng)建了一門新的數(shù)學(xué)分支，而更重要的是引起數(shù)學(xué)思想方法的重大變革，使得形與數(shù)、幾何與代數(shù)統(tǒng)一起來，不但如此，還開拓了代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)新的研究領(lǐng)域，加速了微積分形成的歷史進(jìn)程。

第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三一部數(shù)學(xué)思想方法變革史，也是人類思想文化史中極為重要的一部分。數(shù)學(xué)思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶。它不僅影響數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，而且也影響著人類社會的其它的各個領(lǐng)域，尤其是科學(xué)技術(shù)和哲學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法在它產(chǎn)生和形成的過程中，自始至終蘊含著一種理性主義的探索精神，這種精神激勵人們“認(rèn)識宇宙，也認(rèn)識人類自己”。

第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期三其次，“文化是語言(一類的東西)”，文化依賴于語言而傳播、保存。同樣，數(shù)學(xué)文化也可以看成是“描述模式的語言”。數(shù)學(xué)語言如同數(shù)學(xué)對象一樣來源于人類實踐，它源于人類自然語言，隨著數(shù)學(xué)抽象性和嚴(yán)格性發(fā)展，逐步演變成相對獨立的數(shù)學(xué)語言體系。數(shù)學(xué)語言體系是由一些符號和記號組成的語言體系，主要有文字