數(shù)學建模競賽講課

數(shù)學建模競賽講課第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三歡迎參加全國高校規(guī)模最大的基礎性學科競賽--一次參賽，終生受益！

/全國大學生數(shù)學建模競賽創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，目前已成為全國高校規(guī)模最大的基礎性學科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學建模競賽。第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三2011年，來自全國33個省/市/自治區(qū)(包括香港和澳門特區(qū))及新加坡、美國的1251所院校、19490個隊（其中本科組16008隊、?？平M3482隊）、58000多名大學生報名參加本項競賽。第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三我校參加數(shù)學建模競賽成績2005：1個省級三等獎。2006：2個省級三等獎。2007：2個省二等獎，3個省三等獎。2008：1個省三等獎。2009：1個省二等獎，1個省三等獎。2010：1個省一等獎，1個省二等獎，2個省三等獎。2011：1個省三等獎。第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三“一次參賽，終生受益”。許多參加過競賽的學生反映：“一次參賽，終生受益”，他們在后繼專業(yè)課學習和課題研究中的綜合能力明顯提高，畢業(yè)后受到用人單位的歡迎和重用，不少人被免試推薦讀研究生。第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三全國大學生數(shù)學建模競賽競賽內(nèi)容：題目由現(xiàn)實社會中各個領域的實際問題簡化而成，沒有事先設定的標準答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三競賽形式：三名大學生組成一隊，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計算機、互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件，在三天時間內(nèi)分工合作完成一篇論文。第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三評獎標準：假設的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性、文字表述的清晰程度。競賽宗旨：創(chuàng)新意識，團隊精神，重在參與，公平競爭。第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三我校的數(shù)學建模競賽的培訓4月14日上午孫中舉數(shù)學建模的簡單介紹4月14日下午付輝運籌與優(yōu)化模型4月15日上午劉曉勇智能優(yōu)化算法4月15日下午陳月紅圖論與網(wǎng)絡模型4月21日上午彭國俊微分方程模型4月21日下午蔣經(jīng)華隨機數(shù)學模型4月22日上午馬震遠Matlab軟件初步與計算機模擬4月22日下午陳潮填數(shù)學建模考試方法和論文寫作4月28、29日2012年我校數(shù)學建模競賽

第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三請加入廣東技術師范學院數(shù)學建模新群，新群號是206414654.以后有些通知和資料都會在這個群里發(fā)布。歡迎大家積極參加全國數(shù)學數(shù)學建模競賽！第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三◆按研究方法和對象的數(shù)學特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴散模型等。數(shù)學模型的分類：◆按研究對象的實際領域（或所屬學科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟模型、社會模型等。

模型

第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學建模的一般步驟模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’模型準備模型假設模型構成模型驗證模型分析模型求解模型應用第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三現(xiàn)實對象與數(shù)學模型的關系現(xiàn)實對象信息數(shù)學模型數(shù)模的解答現(xiàn)實對象的解答用數(shù)學語言表述歸納求解演繹解釋驗證表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐理論實踐第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三簡單實例分析第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三例一、棋子顏色的變化1、問題：任意拿出黑白兩種顏色的棋子共8個，排成如下圖所示的圓圈，然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來所放的棋子。再重復以上的過程，問這樣重復進行下去各棋子的顏色會怎樣變化呢?第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三2、最終結(jié)論是什么？可完全用數(shù)學的推理方法說明最多經(jīng)過8次變換，各棋子的顏色都會變黑。第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三3、分析注意：規(guī)則是兩同色的棋子中間加黑色棋子，兩異色的棋子中間加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，與有理數(shù)符號規(guī)則類似。方法：用+1表爾黑色，用－l表示白色，開始擺的八顆棋子記為a1，a2，...，a8，并且ak＝+1或-1，

k＝1，2，…，8，下一次在al與a2中間擺的棋子的顏色由a1和a2是同色還是異色而定。類似的akak+1正好給出了所放棋子的顏色。第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三4、符號運算規(guī)則規(guī)則：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白引入記號⊙，黑為+1，白為-1，則：

(＋1)⊙(＋1)＝(＋１)^２=＋１

(－1)⊙(－1)＝(－１)^２=＋１

(＋1)⊙(－1)＝－１可以看作一種乘法，而且具有交換性和結(jié)合性第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三5、各次顏色的確定可見：最多經(jīng)過8次變換以后，各個數(shù)都變成丁+1，這意味著所有棋子都是黑色，且以后重復上述過程，顏色也就不再變化了。第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三規(guī)則：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白引入記號⊙，黑為0，白為1，則：

1+1=0，0+0=0，

1+0=1，0+1=1這種二進制的加法具有交換性和結(jié)合性。第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長例二、如何預報人口的增長第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三模型1今年人口x0,年增長率rk年后人口模型2模型假設1）時刻t人口增長的速率與當時人口數(shù)成正比，增長率為常數(shù)r。2）以x(t)表示時刻t某地區(qū)（或國家）的人口數(shù)，設人口數(shù)x(t)足夠大，可以視做連續(xù)函數(shù)處理，且x(t)關于t連續(xù)可微

人口指數(shù)增長模型（馬爾薩斯Malthus，1766--1834）第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三模型建立及求解據(jù)模型假設，在t到t+t

時間內(nèi)人口數(shù)的增長量為第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三如果設t=t0時刻的人口數(shù)為，則x(t)滿足初值問題：tx(t)第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三19世紀以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以很好的吻合。19世紀以后的許多國家，模型遇到了很大的挑戰(zhàn)。注意到，我們的地球是有限的，故指數(shù)增長模型（Malthus模型）對未來人口總數(shù)預測非?；闹?，不合常理，應該予以修正。

模型檢驗第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三我們把人口數(shù)僅僅看成是時間的函數(shù)，忽略了個體間的差異（如年齡、性別、大小等）對人口增長的影響。2.假定是連續(xù)可微的。這對于人口數(shù)量足夠大，而生育和死亡現(xiàn)象的發(fā)生在整個時間段內(nèi)是隨機的，可認為是近似成立的。3.人口增長率是常數(shù)，意味著人處于一種不隨時間改變的定常的環(huán)境當中。4.模型所描述的人群應該是在一定的空間范圍內(nèi)封閉的，即在所研究的時間范圍內(nèi)不存在有遷移（遷入或遷出）現(xiàn)象的發(fā)生。

模型討論

不難看出，這些假設是苛刻的、不現(xiàn)實的，所以模型2只符合人口的過去結(jié)果而不能用于預測未來人口。第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)模型3阻滯增長模型(Logistic模型)第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）

186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4r=0.2557,xm=392.1第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三復雜的人口模型可見數(shù)學模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實際情況的變化?？紤]人口年齡分布的偏微分方程模型。考慮女性人口比例和人口遷移等因素有宋健-于景元人口模型。第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)例三、商人們怎樣安全渡河第三十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三模型構成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)v