數(shù)學模型概論

數(shù)學模型概論第一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學模型概論1、什么是數(shù)學建模3、數(shù)學建模的方法和步驟2、建模示例椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎第二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期三玩具、照片…~實物模型風洞中的飛機…~物理模型地圖、電路圖…~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見的模型什么是數(shù)學模型第三頁，共十四頁，編輯于2023年，星期三你碰到過的數(shù)學模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小時20公里第四頁，共十四頁，編輯于2023年，星期三航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟

作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20公里）。第五頁，共十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學模型

(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)數(shù)學模型:對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。數(shù)學建模：建立數(shù)學模型的全過程（包括建立、求解、分析、檢驗）。第六頁，共十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學建模的重要意義

電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展

數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。數(shù)學建模計算機技術如虎添翼知識經(jīng)濟第七頁，共十四頁，編輯于2023年，星期三椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;

地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。建模示例1第八頁，共十四頁，編輯于2023年，星期三模型構成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性第九頁，共十四頁，編輯于2023年，星期三用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意,f(),g()至少一個為0數(shù)學問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);

對任意，f()?g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構成地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地第十頁，共十四頁，編輯于2023年，星期三模型求解給出一種簡單、粗造的證明方法將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關鍵~假設條件的本質與非本質考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定第十一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用第十二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學建模方法1）建模的基本概念和方法（數(shù)學建模課程的主要內容）2）建模過程中常用的數(shù)學方法(微積分、代數(shù)、概率外)，主要有：計算方法(如數(shù)值微分和積分、微分方程數(shù)值解、代數(shù)方程組解法)，優(yōu)化方法(如線性、非線性規(guī)劃)，數(shù)理統(tǒng)計(如假設檢驗、回歸分析)，圖論(如最短路)等。只要求知道實際問題與這些數(shù)學知識之間的對應關系（如哪些問題可用線性規(guī)劃求解，或線性規(guī)