2022年湖南省湘南聯(lián)盟數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過何種變換可以得到y(tǒng)=sin2x的圖象（）

A.向左平移;個單位B.向右平移￡個單位

33

C.向左平移?個單位D.向右平移丁個單位

66

2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長棱長為（）

A.372B.275C.2瓜D.277

3.函數(shù)/（x）=sin（a）x+。）的部分圖象如圖所示，則“X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

-----卜2k兀,-----卜2k兀,keZ

44

C.卜k,------Fk、kwZD.卜2k,-----卜2k,keZ

4444

4.正項等比數(shù)列{q}中的4、g039是函數(shù)/（"=；%3-4/+6%—3的極值點，貝！Jlog?%020=（）

A.-1C.V2D.2

5.若函數(shù)/（九）=o?+3/+o在x=］處取得極值2,則。一力=（）

A.-3B.3C.-2D.2

6.（1-』+1）5展開項中的常數(shù)項為

X

A.1B.11C.-19D.51

7.已知函數(shù)/（x）=6sin?yx+3cos的（0>0）,對任意的王，x2,當(dāng)/（%）/（%2）=-12時，歸一即,疝,，

則下列判斷正確的是（）

A./（￡）=1B.函數(shù)〃x）在停？上遞增

C.函數(shù)“X）的一條對稱軸是x=?D.函數(shù)“X）的一個對稱中心是［0,（）］

8.設(shè)全集U=R,集合M={x|fwx},N={x|2'Vl},則MngN=（）

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-oo,l]

9.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積等于（）cn?

11.已知函數(shù)/（X）的定義域為（0,+力），且2?）.2"，，）=4翠’當(dāng)0<x<l時’〃力<°.若/（4）=2,則函數(shù)/（x）

在［1,16］上的最大值為（）

A.4B.6C.3D.8

12.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨特，神獸人們喜愛.下

圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部

分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形.若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方

形內(nèi)的概率是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在平面四邊形—二-中，|—1=4I二一I

AC

B

14.利用等面積法可以推導(dǎo)出在邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點到三邊的距離之和為定值工竺，類比上述結(jié)論，利用

2

等體積法進行推導(dǎo)，在棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和也為定值，則這個定值是

15.正方形ABCD的邊長為2,圓。內(nèi)切于正方形ABC。，MN為圓。的一條動直徑，點P為正方形ABCD邊界上

任一點，則麗?麗的取值范圍是.

16.設(shè)P為有公共焦點E，K的橢圓G與雙曲線的一個交點，且尸鳥，橢圓G的離心率為G，雙曲線G的

離心率為e2,若02=3q,則q=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知數(shù)列｛4｝中，q=l,前〃項和為S“，若對任意的〃wN*,均有S,=a*k-k是常數(shù)，且左eN*）

成立，則稱數(shù)列｛叫為“"（攵）數(shù)列”.

（1）若數(shù)列｛《,｝為""（1）數(shù)列“，求數(shù)列｛%｝的前〃項和s“；

（2）若數(shù)列｛《,｝為“”（2）數(shù)列”，且生為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列｛4｝,使得冏2-%/,+1尼40對任意“22,

成立？如果存在，求出這樣數(shù)列｛4｝的的的所有可能值，如果不存在，請說明理由.

22

18.（12分）已知點B（0,—2）和橢圓M：3+]=1.直線/:y=依+1與橢圓”交于不同的兩點p,Q.

（1）當(dāng)人=’時，求△PBQ的面積；

2

（2）設(shè)直線必與橢圓"的另一個交點為C,當(dāng)C為心中點時，求攵的值.

221

19.（12分）已知橢圓C:j+^=l（a>b>0）的離心率為不，直線氐-y-G=0過橢圓C的右焦點尸,過戶的

直線〃?交橢圓。于M,N兩點（均異于左、右頂點）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線/:x=4,A為橢圓C的右頂點.若直線AM交/于點P，直線4V交/于點Q，試判斷（麗+而）?麗

是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=2sin?x+ZA/^sinxcosx-LxeR.

（1）求/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

A

（2）AABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若/（,）=1且A為銳角，a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面積.

21.（12分）從拋物線C：x2=2py（p>0）外一點作該拋物線的兩條切線叢、PB（切點分別為A、B）,分別與x

軸相交于C、D,若A8與y軸相交于點。，點”（小，2）在拋物線C上，且尸|=3（尸為拋物線的焦點）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）①求證：四邊形PC。。是平行四邊形.

②四邊形PCQ。能否為矩形？若能，求出點。的坐標；若不能，請說明理由.

22.（10分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，

有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該

村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質(zhì)量關(guān)，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關(guān)，

質(zhì)量把關(guān)程序如下：（D若一件手工藝品3位行家都認為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ii）若僅有1位行家

認為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認為質(zhì)量過關(guān)，則該手工

藝品質(zhì)量為B級，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（iii）

若有2位或3位行家認為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認為

質(zhì)量不過關(guān)的概率為:，且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨立.

（1）求一件手工藝品質(zhì)量為5級的概率；

（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為O級不能外銷，

利潤記為100元.

①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；

②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個解析式為/（x）=sin2x+。，再根據(jù)平移法則得到答案.

【詳解】

設(shè)函數(shù)解析式為/(x)=Asin?x+0)+》，

T7T7T7T

根據(jù)圖像：A=l,b=O,-=------=—,故丁=乃，即<y=2,

43124

/(3=$巾仁+，=1，(p-^+2k7r,k&Z,取左=0,得到/(x)=sin(2x+?

函數(shù)向右平移個單位得到丁=sin2x.

6

故選：D.

【點睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.

2、C

【解析】

根據(jù)三視圖，可得該幾何體是一個三棱錐S-ABC,并且平面SAC_L平面ABC,ACA.BC,過S作連

接30,AD=2,AC=2,BC=2,SD=2,再求得其它的棱長比較下結(jié)論.

【詳解】

如圖所示：

由三視圖得：該幾何體是一個三棱錐S—ABC,且平面SACJ.平面48C,ACVBC,

過S作SD_LAC,連接8Q,則業(yè)？=2,AC=2,BC=2,SD=2,

所以即=\lDC2+BC2=而，SB=J即2+BD'2=2遙，SA=yJSD2+AD2=272>

SC=\ISD2+AC2=2>/5，

該幾何體中的最長棱長為2".

故選：C

【點睛】

本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.

3、D

【解析】

3

由圖象可以求出周期，得到“，根據(jù)圖象過點可求。，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.

【詳解】

由圖象知T_=15__1=1,

244

r*r-■27C

所以7=2，(o=—=7r,

2

3

又圖象過點(1-1),

37r

所以-l=sin(丁+9),

4

371

故/可取一，

4

34

所以/(x)=sin(萬x+二)

4

4,^kjr--<7ix+—<2k7r+—,kEZ,

242

^2k--<x<2k--,k^Z

44

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為一3+2%,-!+2%,k&Z

44

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用“五點法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.

4、B

【解析】

根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0,得出4a4039=6,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.

【詳解】

解：依題意為、039是函數(shù)〃力=；/-4/+6%—3的極值點，也就是r(x)=f-8x+6=0的兩個根

404039=6

又｛%｝是正項等比數(shù)列，所以％020=.%039=R

???log而a202（）=log#指=L

故選：B

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列下標和性質(zhì)以應(yīng)用，屬于中檔題.

5、A

【解析】

對函數(shù)/（X）求導(dǎo)，可得c，即可求出。力，進而可求出答案.

J⑴=2

【詳解】

因為/（x）=o?+3x2+b,所以:（幻=362+6口則＜[小.，解得。=-2/=1,則。-匕=-3.

[/⑴="+3+8=2

故選:A.

【點睛】

本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值，考查了學(xué)生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的，所以可分成三種情況.

【詳解】

展開式中的項為常數(shù)項，有3種情況：

（1）5個括號都出1,即7=1；

（2）兩個括號出x,兩個括號出（一工），一個括號出1,即T=Cjx2.*.（__L）2.1=30；

XX

（3）一個括號出x,一個括號出（—,），三個括號出1,即T=C；?x-C：?（—'）」=—20；

XX

所以展開項中的常數(shù)項為7=1+30-20=11,故選B.

【點睛】

本題考查二項式定理知識的生成過程，考查定理的本質(zhì)，即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.

7、D

【解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡，然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期T,從而得到①，即可求出解析式，然后利

用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】

,//(x)=\/3sin+3coscox=2^/3sins+2,

3

又一Ksin<1,即—2G42GsinCOX+§)<2V3,

二有且僅有-x2百=-12滿足條件；

又房一到.=—,則工=工=>丁=乃，

I121mm222

：.0)=^~=2,/.函數(shù)/(x)=2石sin(2x+?

對于A,7])=2氐山笄=3

故A錯誤;

對于B,由-%+2ki<2x+。<g+2々］(％eZ),

5jr-rr

^--+k7V<X<—+k7V(k&Z},故B錯誤；

1212'"

對于C,當(dāng)》=得時，/(V)=26sin(￡+?)=2j5sin與，故C錯誤;

對于D,由/(§)=2Gsin1-^-+§]=°,故D正確.

故選：D

【點睛】

本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集補集的定義進行計算即可.

【詳解】

A/={x|JC2<x}=1x|0<x<l},N={x|2"<l}={x|x<0},

^,N={x|x>0},

則〃nQ/N={x|0VxWl}=[0,l],

故選：A.

【點睛】

本題考查集合的交集和補集的運算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為：

V=V=?a+Vx2x2xl+—?rt?l2xl=(6+1.5TT)cm1.

22

故答案為6+1.5n.

點睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計算它的體積即可.

10、B

【解析】

由(1+0X)(1+x)5=(l+x)5+0X(1+x)5,進而分別求出展開式中X2的系數(shù)及展開式中X3的系數(shù)，令二者之和等于

-10,可求出實數(shù)”的值.

【詳解】

由（1+ax）（y+x）5=（1+x）5+ax［\+x）5,

22

則展開式中x的系數(shù)為《+?C5'=10+5?,展開式中1的系數(shù)為C^+?C5=10+l0?,

二者的系數(shù)之和為(10+5。)+(10。+10)=15。+20=-10,得。=一2.

故選：B.

【點睛】

本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)幕運算，可得/(?1+/(〃)=〃加)；利用定義可證明函數(shù)/(x)的單調(diào)

性，由賦值法即可求得函數(shù)/(x)在［1,16］上的最大值.

【詳解】

函數(shù)/（X）的定義域為（0,+“），且2巾"（"）=4零，

則/（：）+/（〃）=/（〃）；

任取玉,％2W（0,+oo）,且也＜々，貝!）°＜上＜1，

“2

/\

故/工＜0,

\X2）

（x\

令〃2=%，n=x2,則/」+/（x2）=/（^）,

\X2j

（、

即/&）—/（&）=/-＜0，

\X2J

故函數(shù)/（X）在（（）,+力）上單調(diào)遞增，

故"X）3="16），

令加=16,〃=4,

故/（4）+〃4）=/（16）=4,

故函數(shù)/（x）在［1,16］上的最大值為4.

故選：A.

【點睛】

本題考查了指數(shù)幕的運算及化簡，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.

12、D

【解析】

由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比，即可求解.

【詳解】

由題,窗花的面積為122-4xl=140,其中小正方形的面積為5x4=20,

所以所求概率P=*4a20=1,

故選:D

【點睛】

本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、

【解析】

由題意得=+===_==+===*=，然后根據(jù)數(shù)量積的運算律求解即可.

【詳解】

由題意得三+三=(2Z+ZZ)+(ZZ+IZ)=ZZ--ZI.

三+三=［三+三)+｛三+三)=三+三，

’(三+三"(ZZ+ZZ)=(=z-ZZI.(ZZ+ZI)=三：一三：=9-6=:

【點睛】

突破本題的關(guān)鍵是抓住題中所給圖形的特點，利用平面向量基本定理和向量的加減運算，將所給向量統(tǒng)一用三三表

示，然后再根據(jù)數(shù)量積的運算律求解，這樣解題方便快捷.

14瓜

14、—a

3

【解析】

計算正四面體的高，并計算該正四面體的體積，利用等體積法，可得結(jié)果.

【詳解】

作平面A8C,。為AABC的重心

如圖

則AO=—AD=^-a?

33

所以PO=《AP2-A02=旦a

3

設(shè)正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為x

故答案為：旦a

3

【點睛】

本題考查類比推理的應(yīng)用，還考查等體積法，考驗理解能力以及計算能力，屬基礎(chǔ)題.

15、[0,1]

【解析】

根據(jù)向量關(guān)系表示同乙麗=（M+加）?（萬一臉）=所2-麗2=]所（一1,只需求出|可|的取值范圍即可

得解.

【詳解】

由題可得：6M+dN=6,|P6>|e[l,V2]

碗.麗=（而+加）.附+兩）=（而+*）.（所-麗）

-?2----.2I---?|2

=PO-OM=|p。]-le[0,l]

故答案為：[（）」]

【點睛】

此題考查求平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及基本運算，關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)貙ο蛄窟M行轉(zhuǎn)換，便于計算解題.

16亞

1O-.----

3

【解析】

設(shè)=2。

根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得S&PFtF2=憂tan3=b；

、

22

a1=—,:.bf=-c=c[-]

4414J

*

根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，S、PF\F,=-^=R

“tang

(i、

22

沃=c—az=c1—T-

ke2)

即「r+」7=2,???3q=e2/.%==

，e23

故答案為逝

3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

n

17、(1)S?=2-1(2)存在，a2=0,+1,+2,+3,+4,+5,-6

【解析】

(1)由數(shù)列他“｝為“"(1)數(shù)列”可得,S“=an+i-\,%=a?-l(n>2),兩式相減得an+l=2%,(n22),又的=2=2q,

利用等比數(shù)列通項公式即可求出明，進而求出S“；

(2)由題意得，Sn=an+2-2,S,-=alt+i-2(n>2),兩式相減得，all+2=%+an,(n>2),

據(jù)此可得，當(dāng)〃23時,a,%-%%+2=4川(%+i一%)一a：=4川%t一4：，進而可得

|。"+；一4"M-4,+Mi|，(n23)，即數(shù)列一%%|｝為常數(shù)列，進而可得一凡+臼」=仁一生磯⑴?3),

2

結(jié)合%=%+%，得到關(guān)于?2的不等式，再由〃=2時|?2-=|%2-目44(),且生為整數(shù)即可求出符合題意的生

的所有值.

【詳解】

(1)因為數(shù)列｛《,｝為“H⑴數(shù)列”，

所以S.=4+IT,故S,T=a“-l(nN2),

兩式相減得41=2a”,(nN2),

在S“=?！?|-1中令”=1,則可得生=2，故。2=26

所嘮=2,(〃GN,n>1),

所以數(shù)列僅“｝是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

所以％=2"，因為S“=a”+「1,

所以S“=2"-1.

(2)由題意得S?=?！?2-2,故S,-=all+l-2(n>2),

兩式相減得?！?2+%，(n22)

所以，當(dāng)"22時，al+l-anan+2=-an(an+t+%)=(。田一4)一a：

又因為an+l-a?=a?,,,(n>3)

所以當(dāng)〃上3時,-44+2=%+|(%+「%)一=%+1%-an

所以|%+i—44+2I=一“"+4-1］，(n—3)成立，

所以當(dāng)〃23時，數(shù)列｛,：-4,+0i|｝是常數(shù)列，

所以-%+￡/=■-a2aJ，(n23)

因為當(dāng)〃=2時,+2=4用+an成立，

所以2=%+%，

2

所以|??-an+lan_t卜K-a2a3-生斗,(n之3)

在S”=a,.一2中令〃=1,

因為4=1,所以可得4=3,

所以|9一3/一。22|440,

由〃=2時一3|W40,且生為整數(shù),

可得。2=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6,

2

把生=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6分別代入不等式|9-3a2-a2|<40

可得,％=0,±L±2,±3,±4,±5,-6,

所以存在數(shù)列｛an｝符合題意,％的所有值為4=°，±L±2,±3,±4,±5,-6.

【點睛】

本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列遞推公式的運用;考查運算求解能力、邏輯推理能力和對新定義的

理解能力;通過反復(fù)利用遞推公式，得到數(shù)列為常數(shù)列是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.

4小,3714^,3V14

18、(1)S/BQ=4；(2)k=------或Z=-----

1414

【解析】

（1）聯(lián)立直線/的方程和橢圓方程，求得交點的橫坐標，由此求得三角形P3Q的面積.

（2）法一：根據(jù)P,8的坐標求得C的坐標，將P,C的坐標都代入橢圓方程，化簡后求得P的坐標，進而求得攵的值.

法二：設(shè)出直線心的方程，聯(lián)立直線必的方程和橢圓的方程，化簡后寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合七=；玉求得P點

的坐標，進而求得我的值.

【詳解】

（1）設(shè)P（%，x）,。（%2，%），

若％=；,則直線/的方程為y=gx+l,

（22

工+匕=1

49

由]，得3/+4%-4=0，

V=—X+1

[2

2

解得玉=-2,x2=-,

一3

設(shè)直線/與y軸交于點A（o,l）,貝!J|AB|=3且

=；|4卸*（卜]|+岡）=3*3*（：+2）=4.

（2）法一：設(shè)點。（毛，％）

x-五

因為P&J）,B（0,-2）,所以/

又點P（4y）,C（f,%）都在橢圓上，

22

玉4K

-------1-------1

42

所以/、22

土-2+x

￡+

2

1

42

叵

X,=----------

F

解得或＜2

_]_1

~22

所以人一處或人血.

1414

法二：設(shè)。（七,％）

顯然直線必有斜率，設(shè)直線心的方程為y=4%-2

22

土+匕=1

由＜42一，得（2好+1*一8匕％+4=0

y^ktx-2

A=16（2^2-l）＞0

8K

所以%十'二叼

4

玷二叼

r1

又w=5%

VuV14

三王虧

解得《或，

3V143V14

取

1414

V14

xX,=-------

\〒或1

所以《2

1

弘

22

所以心血或心一型

1414

【點睛】

本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中三角形面積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

22

19、(1)—+^-=1(2)定值為0.

43

【解析】

(1)根據(jù)直線方程求焦點坐標，即得c,再根據(jù)離心率得a,b,(2)先設(shè)直線方程以及各點坐標,化簡(麗+質(zhì))?麗,

再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡得結(jié)果.

【詳解】

(1)因為直線瓜-y-6=0過橢圓C的右焦點尸，所以E(l,O)，c=l,

I122

因為離心率為一，所以￡=,。=2/=G..?二+2=1，

2a243

(2)A(2,0),設(shè)直線機：x=(y+l,"(XQJNH，%)

貝2力力(一)/(4,言)

AN:y=(x-2)0(4,

因此(而+豆)?麗=(3+3,3；+2M

)-(x2-xl,y2-yl)

玉一2x2-2

=6(々-%)+(y「y)(己+急)

》為-

(%一乂)16f+(,2，%+2)\)]=(y2-%)[6f+42()，2+)[)]

產(chǎn)%%一%+%)+

第-1ty2-l?1

22

由1=ty+L，+1得(3/+4)y2+6zy-9=0,

所以"％=苦’"2=六，

—36/I2t-2今

因此骸3及+43『+4_3『+4

=-6,

-9產(chǎn)6。4

3r2+4+3/2+4+3f2+4

即(而+或)?麗=0.

【點睛】

本題考查橢圓方程以及直線與橢圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

20、(1)[―,+)萬,—+ATT](kGZ)(2)

【解析】

(D利用降次公式、輔助角公式化簡/(X)解析式，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)先由=1求得A，利用正弦定理得到c=?,結(jié)合余弦定理列方程，求得瓦C,由此求得三角形ABC的

面積.

【詳解】

(1)函數(shù)/(x)=2sin2x+26sinxcosx-l,xGR,

f(x)=>/3sin2x-cos2x=2sin(2x-—),

6

由---F2k冗<2x<—F2k7i、keZ,

262

TTTT

得--+k/r<x<—+k兀,keZ.

TTTT

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一二+&肛=+&加(AeZ).

63

(2)因為/(令=2sin(Aq)=l且A為銳角，所以A=g.

71

由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2。，又。=3,A=-,

由余弦定理可得a?=。2+02-20ccosA=〃+c2-be=3b2，

解得。=G,c=2-73>S^ABC=g/jesinA=gx百x2百x=3f.

【點睛】

本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面

積公式，屬于中檔題.

21、(1)x2=4y；(2)①證明見解析；②能，(0,1).

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義，求出P,即可求拋物線C的方程；

(2)①設(shè)A司，3-]，B龍2，(-)，寫出切線「APB的方程，解方程組求出點尸的坐標.設(shè)點Q(0"),直線A5

的方程y=Ax+r,代入拋物線方程，利用韋達定理得到點P的坐標，寫出點C,。的坐標,，可得線段CD,PQ相互平

分，即證四邊形PCQ。是平行四邊形：②若四邊形PCQ。為矩形，貝！j|PQ|=|CD|,求出/,即得點。的坐標.

【詳解】

（1）因為目=2+^=3,所以p=2,即拋物線C的方程是V=4y.

（2）①證明：由/=4），得、=亍，y=方設(shè)A,B,

則直線帖的方程為y—去=5（x—xj（i）,

則直線尸8的方程為y——々）（近），

由（i）和（ii）解得：》=巧芳，y=竽，所以與三,竽）.

設(shè)點。（01）,則直線AB的方程為了=依+上

x=4y,,

由，，.得￡_46-4/=0,貝!）再+工2=4&,玉％2=一今,

y=kx+t

所以尸（2A,T）,所以線段PQ被x軸平分，即被線段C。平分.

在①中，令y=0解得％追，所以。住,0）,同理得所以線段C。的中點坐標為（七生■,（）｝即（火,0）,

又因為直線尸。的方程為丁=-:無+/,所以線段CZ）的中點（左,0）在直線尸。上，即線段C。被線段尸。平分.