高考全國2卷數(shù)文科試題及答案詳解解析

PAGEPAGE22014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）已知集合，，則AB=(A)（B）（C）(D)考點： 交集及其運算．分析： 先解出集合B，再求兩集合的交集即可得出正確選項．解答： 解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故選：B點評： 本題考查交的運算，理解好交的定義是解答的關(guān)鍵．（2）()（A）（B）（C）(D)考點： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．分析： 分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)1+i化簡即可．解答： 解：化簡可得====﹣1+2i故選：B點評： 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的化簡，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．（3）函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)存在，若是的極值點，則()（A）是的充分必要條件（B）是的充分條件，但不是的必要條件（C）是的必要條件，但不是的充分條件(D)既不是的充分條件，也不是的必要條件考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析： 根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．解答： 函數(shù)f（x）=x3的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，無極值，充分性不成立．根據(jù)極值的定義和性質(zhì)，若x=x0是f（x）的極值點，則f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要條件，但不是q的充分條件，故選：C點評： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．（4）設(shè)向量,滿足，，則a·b=()（A）1（B）2（C）3(D)5考點： 平面向量數(shù)量積的運算．分析： 將等式進行平方，相加即可得到結(jié)論．解答： ∵|+|=，|﹣|=，∴分別平方得，+2?+=10，﹣2?+=6，兩式相減得4??=10﹣6=4，即?=1，故選：A點評： 本題主要考查向量的基本運算，利用平方進行相加是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．（5）等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則的前n項=()（A）（B）（C）(D)考點： 等差數(shù)列的性質(zhì)．分析： 由題意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．解答： 由題意可得a42=a2?a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故選：A點評： 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題．如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()（A）（B）（C）(D)考點： 由三視圖求面積、體積．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析： 由三視圖判斷幾何體的形狀，通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．解答： 幾何體是由兩個圓柱組成，一個是底面半徑為3高為2，一個是底面半徑為2，高為4，組合體體積是：32π?2+22π?4=34π．底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯的體積為：32π×6=54π切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為：=．故選：C．點評： 本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．故答案為：．點評： 本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．（14）函數(shù)的最大值為_________.考點： 三角函數(shù)的最值．分析： 展開兩角和的正弦，合并同類項后再用兩角差的正弦化簡，則答案可求．解答： 解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值為1．故答案為：1．點評： 本題考查兩角和與差的正弦，考查了正弦函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題．（15）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，，則_______.考點： 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)，得到f（x+4）=f（x），即可得到結(jié)論．解答： 解：因為偶函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），則f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，故答案為：3點評： 本題主要考查函數(shù)值的計算，利用函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)得到周期性f（x+4）=f（x）是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．（16）數(shù)列滿足，則=_________.考點： 數(shù)列遞推式．分析： 根據(jù)a8=2，令n=7代入遞推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出a1的值．解答： 由題意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根據(jù)以上結(jié)果發(fā)現(xiàn)，求得結(jié)果按2，，﹣1循環(huán)，∵8÷3=2…2，故a1=故答案為：．點評： 本題考查了數(shù)列遞推公式的簡單應(yīng)用，即給n具體的值代入后求數(shù)列的項，屬于基礎(chǔ)題．解答題：解答應(yīng)寫出文字說明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）四邊形ABCD的內(nèi)角與互補，AB=1，BC=3,CD=DA=2.（Ⅰ）求和;（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積。解：（Ⅰ）由題設(shè)及余弦定理得①②由①，②得，故（Ⅱ）四邊形的面積（18）（本小題滿分12分）如圖，四凌錐中，底面為矩形，面，為的中點。（Ⅰ）證明：平面;（Ⅱ）設(shè)置，，三棱錐的體積，求A到平面PBD的距離。解：（Ⅰ）設(shè)BD與AC的交點為，連接因為ABCD為矩形，所以為BD的中點，又因為E為PD的中點，所以EO//PB平面，平面，所以平面（Ⅱ）由題設(shè)知，可得做交于由題設(shè)知，所以，故，又所以到平面的距離為（19）（本小題滿分12分）某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民。根據(jù)這50位市民甲部門乙部門3594404489751224566777899766533211060112346889887776655555444333210070011344966552008123345632220901145610000（Ⅰ）分別估計該市的市民對甲、乙部門評分的中位數(shù)；（Ⅱ）分別估計該市的市民對甲、乙部門的評分做于90的概率；（Ⅲ）根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價。解：（Ⅰ）由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75.50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故樣本中位數(shù)為，所以該市的市民對乙部門品分的中位數(shù)的估計值是67.（Ⅱ）由所給莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為，故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1，0.16.（Ⅲ）由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差，說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大（注：考生利用其他統(tǒng)計量進行分析，結(jié)論合理的同樣給分。）（20）（本小題滿分12分）設(shè)分別是橢圓：（a>b>0）的左右焦點，M是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為N。（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求的離心率；（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2且|MN|=5|F1N|，求a，b。解：（Ⅰ）根據(jù)及題設(shè)知將代入，解得（舍去）故的離心率為（Ⅱ）由題意，原點為的中點，軸，所以直線與軸的交點是線段的中點，故，即①由得設(shè)，由題意知，則即代入的方程，得②將①及代入②得解得，故（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，曲線在點（0,2）處的切線與軸交點的橫坐標為-2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）證明：當時，曲線與直線只有一個交點。解：（Ⅰ），曲線在點（0，2）處的切線方程為由題設(shè)得，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)由題設(shè)知當時，，單調(diào)遞增，，所以在有唯一實根。當時，令，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以所以在沒有實根綜上在R由唯一實根，即曲線與直線只有一個交點。請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號。（23）（本小題滿分