第八章第一章復(fù)變函數(shù)2講

§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)1．乘積與商：z1

=

r1

(cosq1

+

i

sinq1

),

z2

=

r2

(cosq2

+

i

sinq2

)z1

z2

=

r1r2

[cosq1

cosq2

-

sin

q1

sin

q2

+i

cosq1

sin

q2

+

i

sin

q1

cosq2

]=

r1r2

[cos(q1

+q2

)

+

i

sin(q1

+q2

)]則12211

2

1

22[cos(rrrrz1

=

r1

(cosq1

+

i

sinq1

)z2

r2(cosq2

+

i

sinq2

)=(cosq1

+

i

sinq1

)(cosq2-

i

sinq

)=q

-q

)

+

i

sin(q

-q

)]結(jié)論：兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于各自模的乘積，乘積的幅角等于各自幅角之和；兩個(gè)復(fù)數(shù)商的模等于各自模的商，商的幅角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差。Arg(z1z2)=Argz1+Argz2，Arg(z1/z2)=

Argz1-Argz2，12iqiqz1

=

r1e

,

z2

=

r2e1

222z1z

ri

(q

+q

)z1

z2

=

r1r2e

,=

r1

ei

(q1

-q2

)若記則有集合等式xyO1zz2z1

z2乘法的幾何解釋判斷下列說(shuō)法是否正確？Argz

+

Argz

=

Argz2

(T)Argz2

=

2

Argz

(F)2.冪與根n個(gè)nz

=

z

z

z定義z的n次冪：定義z的負(fù)整數(shù)次冪1-nz

=zn則有z

n=

r

n

(cos

nq

+

i

sin

nq)—棣美弗公式：(cosq

+i

sinq)n

=

(cos

nq

+

i

sin

nq)定義z的n次根：若有w

n=z,則稱w為z的n次根，記為如何求出z的n次根？n

zw

=

r(cosj

+

i

sin

j

)wn

=

rn

(cosnj

+isinnj)

=

z

=r(cosq

+isinq)nnr

n=

r

,

r

=

r

;nj

=

q

+

2

kp

,

j

=

q

+

2kp比較，得由此得到方根公式w

=

n

z

=

n

r

(cos

q

+

2kp

+i

sin

q

+

2kp

),n

n(k

=

0,

1,

2,

,

n

-1)令則注：1．任一非零復(fù)數(shù)開(kāi)n次方，有且僅有n個(gè)不同的根；

2．它們均勻分布在以原點(diǎn)為中心，r1/n為半徑的圓周上。例題：5)]3p3(1

+

3i)5

=

[2(cos

p

+

i

sin2.(k=0,1)=

25

(cos

5p

+

i

sin

5p

)3

3-1

=

cosp

+

i

sin

p=

cos

p

+

2kp

+

i

sin

p

+

2kp2

2i,

k

=

0=

-i,

k

=11.3

13.求33(

k

=

0,1,2).3

1

=

cos

0

+

2kp

+

i

sin

0

+

2kp解:

1

=

(cos

0

+

i

sin

0)012= -

1

+2

22

23

i

,

w= -

1

-

3

i

.即

w

=

1

,

w練習(xí)：求下列根式的值.(1) 1

+

i

;

(2)3

-2

+

2i

.§4

復(fù)平面上的點(diǎn)集本節(jié)內(nèi)容：介紹復(fù)平面上的幾個(gè)常見(jiàn)概念與術(shù)語(yǔ)1.鄰域：平面上以z0為中心，半徑為δ的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合稱為z0的一個(gè)鄰域,記為z-z0U(z0

,d)

=

{z

|

<

d}去心鄰域：由不等式0<|z-z0|<δ所確定的點(diǎn)集。U

0

(z

,d)

=

{z

|0

<|

z

-

z |<

δ}0

02.內(nèi)點(diǎn)：設(shè)G為一平面點(diǎn)集，z0為G中一點(diǎn)，若存在z0

的某個(gè)

鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G，則稱z0為G的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)。注：離散的點(diǎn)集沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)

d

z03.

開(kāi)集：如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，那么稱G為開(kāi)集。連通集:如果點(diǎn)集D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一 條折線連接起來(lái)。區(qū)域:連通的開(kāi)集稱為區(qū)域。邊界點(diǎn)與邊界：設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域，如果點(diǎn)p不屬于D，但p的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)p稱為D的邊界點(diǎn)。D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界。區(qū)域的邊界可能是有幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)組成。閉區(qū)域:

區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域，記作

D

。8.有界域：如果區(qū)域D可以包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面，則稱D為有界的。否則稱為無(wú)界的。有界性的數(shù)學(xué)描述:若存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個(gè)點(diǎn)z都滿足|z|<M,則稱D為有界的。9.連續(xù)曲線:

如果實(shí)函數(shù)x=x(t).y=y(t), (a≤t

≤b)連續(xù)，

則稱曲線c:z(t)=x(t)+iy(t)為復(fù)平面上的一條連續(xù)曲線。

z(a)與z(b)分別稱為c的起點(diǎn)和終點(diǎn)。在平面直角坐標(biāo)系中表示一條曲線，自然地，復(fù)數(shù)方程就表示復(fù)平面上的一條曲線。我們知道，實(shí)變量參數(shù)方程(a

￡

t

￡

b)

y

=

y(t

)

x

=

x(t

),z

=

z(t)

=

x(t)

+

iy(t)10.光滑曲線：若x(t)和y(t)的導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的，且滿足[x'(t)]2

+[y'(t)]2

?0

，稱此曲線為是光滑的。簡(jiǎn)單曲線與簡(jiǎn)單閉曲線：連續(xù)但自身不相交的曲線稱 為簡(jiǎn)單曲線或若當(dāng)（Jardan)曲線。如果簡(jiǎn)單曲線的 起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，即z(a)＝z(b)，則稱此曲線為簡(jiǎn)單 閉曲線。簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部與外部：復(fù)平面中的任一條簡(jiǎn)單閉

曲線c把整個(gè)平面唯一地分成三個(gè)部分，一個(gè)是有界區(qū)域，稱為c的內(nèi)部，另一個(gè)是無(wú)界區(qū)域，稱為c的外部，

c為它們的公共邊界。單連通、多連通區(qū)域：復(fù)平面上的