偏微分方程數(shù)值解(第二章)

偏微分方程數(shù)值解第二章有限差分的基本概念本章主要參考書1、《偏微分方程數(shù)值解》，陸金甫、關(guān)治，清華大學(xué)出版社。2、《橢圓型方程差分法》，Samarski,科學(xué)出版社。第二章：有限差分方法的基本概念一、差分格式的構(gòu)造Step1:（區(qū)間剖分）引言將區(qū)間[a,b]N等分，節(jié)點(diǎn)為：h

為步長微分算子考慮二階常微分方程邊值問題·第二章：有限差分方法的基本概念Step2:（離散化）第二章：有限差分方法的基本概念于是方程2.1.1可化為即如果第二章：有限差分方法的基本概念于是得方程2.1.1的差分方程（差分格式）差分算子截?cái)嗾`差邊值問題的差分格式第二章：有限差分方法的基本概念例1解析解差分格式參照第二章：有限差分方法的基本概念進(jìn)而其中則有參照第二章：有限差分方法的基本概念解析解近似解h1=(b-a)/10近似解h2=(b-a)/20誤差h1=(b-a)/10誤差h2=(b-a)/20u11.45521.49741.47690.04220.0217u21.90331.98251.94410.07920.0408u32.33842.44762.39460.10920.0562u42.75552.88612.82270.13060.0672u53.15103.29293.22400.14190.0730u63.52293.66473.59590.14180.0730u73.87154.00023.93770.12870.0662u84.19884.30034.25100.10150.0522u94.50944.56844.53980.05900.0304第二章：有限差分方法的基本概念N=10時(shí)第二章：有限差分方法的基本概念N=20時(shí)第二章：有限差分方法的基本概念N=10;h=(b-a)/10;k=1:1:9x1=a+k*h;i=0:1:10;x0=a+i*h;x2=[0,pi/2];y2=[1,exp(pi/2)];x=0:0.01:pi/2;A=[h*h-2,1,0,0,0,0,0,0,0;1,h*h-2,1,0,0,0,0,0,0;0,1,h*h-2,1,0,0,0,0,0;0,0,1,h*h-2,1,0,0,0,0;0,0,0,1,h*h-2,1,0,0,0;0,0,0,0,1,h*h-2,1,0,0;0,0,0,0,0,1,h*h-2,1,0;0,0,0,0,0,0,1,h*h-2,1;0,0,0,0,0,0,0,1,h*h-2];第二章：有限差分方法的基本概念·b=[h*h*exp(x0(1))-1;h*h*exp(x0(2));h*h*exp(x0(3));h*h*exp(x0(4));h*h*exp(x0(5));h*h*exp(x0(6));h*h*exp(x0(7));h*h*exp(x0(8));h*h*exp(x0(9))-exp(pi/2)]y0=A\b;y=(cos(x)+exp(pi/2)*sin(x)+exp(x))/2;plot(x,y,'b');holdonplot(x1,y0,'or');holdonplot(x2,y2,'or');第二章：有限差分方法的基本概念解析解近似解h1=(b-a)/10近似解h2=(b-a)/20誤差h1=(b-a)/10誤差h2=(b-a)/20u11.45521.49741.47690.04220.0217u21.90331.98251.94410.07920.0408u32.33842.44762.39460.10920.0562u42.75552.88612.82270.13060.0672u53.15103.29293.22400.14190.0730u63.52293.66473.59590.14180.0730u73.87154.00023.93770.12870.0662u84.19884.30034.25100.10150.0522u94.50944.56844.53980.05900.0304解讀精度問題：誤差二應(yīng)為誤差一的第二章：有限差分方法的基本概念2.22551.82211.49181.22140.00190.00150.00130.00100.00750.00610.00500.00412.22741.82361.49311.22242.23301.82821.49681.2255

0.80.60.40.2令第二章：有限差分方法的基本概念§2.1有限差分格式見13頁1、網(wǎng)格剖分求解區(qū)域：網(wǎng)格線時(shí)間步長空間步長網(wǎng)格點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)（1）雙曲型方程、拋物型方程初值問題第二章：有限差分方法的基本概念見13頁（2）雙曲型方程、拋物型方程初邊值問題求解區(qū)域：網(wǎng)格線時(shí)間步長空間步長網(wǎng)格點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)第二章：有限差分方法的基本概念見14頁（3）橢圓方程邊值問題網(wǎng)格線求解區(qū)域：xoy面上的有界區(qū)域D，為區(qū)域D的邊界，滿足分段光滑；如果兩節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）滿足或第二章：有限差分方法的基本概念內(nèi)點(diǎn)邊界點(diǎn)稱節(jié)點(diǎn)相鄰見14頁相鄰節(jié)點(diǎn)均屬于的點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)；至少有一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)不屬于的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)；第二章：有限差分方法的基本概念2、用Taylor級(jí)數(shù)構(gòu)造差分格式（1）對(duì)流方程初值問題其中第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念關(guān)于二元Taylor公式其中第二章：有限差分方法的基本概念記第二章：有限差分方法的基本概念記見15頁第二章：有限差分方法的基本概念見15頁見15頁對(duì)流方程初值問題第二章：有限差分方法的基本概念見15頁第二章：有限差分方法的基本概念如果是對(duì)流方程的解則稱為對(duì)流方程的差分方程，一般記為見15頁第二章：有限差分方法的基本概念或記為稱為對(duì)流方程的差分格式稱為網(wǎng)格比如果兩層顯示格式見16頁第二章：有限差分方法的基本概念中心差分格式（2）擴(kuò)散方程初值問題差分方程見18頁第二章：有限差分方法的基本概念隱式格式如果將擴(kuò)散方程替換為整理得見19頁第二章：有限差分方法的基本概念如果擴(kuò)散方程初邊值問題為：的差分格式為則有見19頁第二章：有限差分方法的基本概念其中見19頁第二章：有限差分方法的基本概念例：差分格式為見19頁第二章：有限差分方法的基本概念令第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念a=1/2;t=0.2;N=10;h=pi/N;c=t/h^2A=[1+2*a*c,-a*c,0,0,0,0,0,0,0;-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0,0,0,0,0;0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0,0,0,0;0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0,0,0;0,0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0,0;0,0,0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0,0;0,0,0,0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c,0;0,0,0,0,0,0,-a*c,1+2*a*c,-a*c;0,0,0,0,0,0,0,-a*c,1+2*a*c];x=0:h:pi;t=0:0.2:1.8;x1=h:h:pi-h;u0=sin(x1)';y=zeros(10,11);第二章：有限差分方法的基本概念fork=1:10u0=A\u0;u1=[0,u0',0];y(k,:)=u1;endsurf(x,t,y);第二章：有限差分方法的基本概念§2.2差分格式的相容性、收斂性、穩(wěn)定性（1）差分格式的截?cái)嗾`差前差算子后差算子中心差分算子第二章：有限差分方法的基本概念二階中心差分(很有用的）見20頁兩個(gè)區(qū)間上的中心差第二章：有限差分方法的基本概念見20頁截?cái)嗾`差的定義考慮擴(kuò)散方程（1.3）的顯示格式（1.11），用微分方程的解替換（1.11）中全部近似解，這樣得到的方程兩邊的差就是截?cái)嗾`差。第二章：有限差分方法的基本概念將1.3的解替換1.11中的近似解得例即則方程兩端的差即為截?cái)嗾`差第二章：有限差分方法的基本概念因?yàn)榈诙拢河邢薏罘址椒ǖ幕靖拍钏越財(cái)嗾`差事實(shí)上截?cái)嗾`差微分方程的解=0第二章：有限差分方法的基本概念截?cái)嗾`差的例第二章：有限差分方法的基本概念如果差分格式的截?cái)嗾`差則稱差分格式對(duì)是階精度，對(duì)是階精度。（2）差分格式的相容性設(shè)是微分算子如果則對(duì)流方程初值問題可表示為第二章：有限差分方法的基本概念如果則擴(kuò)散方程初邊值問題可表示為第二章：有限差分方法的基本概念設(shè)表示差分算子如對(duì)流方程的差分格式可表示為其中一般見22頁差分算子將n第層的函數(shù)值作用為第n+1層的函數(shù)其中稱為移位算子見15頁考慮對(duì)流方程初值問題第二章：有限差分方法的基本概念見23頁第二章：有限差分方法的基本概念如果差分方程與微分方程的截?cái)嗾`差是步長變量的無窮小量則稱差分格式相容。差分方程微分方程第二章：有限差分方法的基本概念（3）差分格式的收斂性令是偏微分方程的解是偏微分方程對(duì)應(yīng)的差分格式的解如果則稱差分格式收斂。分析對(duì)流方程的差分格式于是第二章：有限差分方法的基本概念見24頁第二章：有限差分方法的基本概念則關(guān)于特征方程作變換逆變換為考慮二階線性方程（1）第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念將代入方程（1）整理得其中（2）第二章：有限差分方法的基本概念令為方程的兩個(gè)特解，則有則方程（2）可簡化為第二章：有限差分方法的基本概念由令常數(shù)，表示是的函數(shù)。則有得（3）方程（4）稱為方程（1）的特征方程，方程（4）的解從而有（4）稱為方程（1）的特征曲線。第二章：有限差分方法的基本概念如果將常數(shù)則特征方程為參數(shù)表示為可化為即見6頁第二章：有限差分方法的基本概念由特征方程得當(dāng)稱方程（1）為雙曲型稱方程（1）為拋物型稱方程（1）為橢圓型第二章：有限差分方法的基本概念例作變換則有則原方程為波動(dòng)方程為雙曲型第二章：有限差分方法的基本概念積分方程第二章：有限差分方法的基本概念整理得再積分得第二章：有限差分方法的基本概念整理得第二章：有限差分方法的基本概念整理得其中第二章：有限差分方法的基本概念由初值條件得第二章：有限差分方法的基本概念當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)再由邊值條件則第二章：有限差分方法的基本概念原方程的解分析原方程特征方程的解為為任意常數(shù)由第二章：有限差分方法的基本概念方程的解在任意點(diǎn)僅依賴于區(qū)間的值內(nèi)的初值，與該區(qū)間外的值無關(guān)。區(qū)間稱為方程的解的依賴區(qū)間。在點(diǎn)第二章：有限差分方法的基本概念如積分得記為記為積分得其中關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)的積分第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念如，對(duì)于一元函數(shù)關(guān)于不定積分與定積分第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念特征方程為見7頁考慮一般波動(dòng)方程波動(dòng)方程為雙曲型波動(dòng)方程的特征曲線I:參照特征方程其中第二章：有限差分方法的基本概念關(guān)于方程的解結(jié)構(gòu)問題I問題II問題III第二章：有限差分方法的基本概念疊加原理定解問題（I）的解是定解問題（II）的解與定解問題（III）的解之和。先求定解問題（II）的解作變換則有第二章：有限差分方法的基本概念得代入方程第二章：有限差分方法的基本概念記為由初值條件得從而參照變換第二章：有限差分方法的基本概念進(jìn)而由第二章：有限差分方法的基本概念得因此d’Alembert(達(dá)朗貝爾）公式由第二章：有限差分方法的基本概念例1解：由達(dá)朗貝爾公式第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念clccleara=1;[x,t]=meshgrid(0:0.1:pi,0:0.1:1);u=cos(x).*cos(a*t)+x.*t;surf(x,t,u);第二章：有限差分方法的基本概念例2積分得由得所以第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念clcclear[x,y]=meshgrid(-1:0.1:1,-1:0.1:1);u=(x.^3.*y.^2)/6+x.^2+cos(y)-y.^2/6-1;surf(x,y,u);第二章：有限差分方法的基本概念討論定解問題III齊次化原理（Duhamel原理）設(shè)是方程是方程則的解,（1）的解。（2）第二章：有限差分方法的基本概念令方程（1）化為由d’Alembert公式于是第二章：有限差分方法的基本概念因此，方程I:的解為見8頁d’Alembert(達(dá)朗貝爾）公式第二章：有限差分方法的基本概念考慮特征曲線區(qū)間稱為解的依賴區(qū)間。在點(diǎn)見8頁關(guān)于一階方程組第二章：有限差分方法的基本概念（1）設(shè)（1）考慮二維一階方程組其中方程組（1）為擬線性第二章：有限差分方法的基本概念將如果方程組（1）為線性表示為第二章：有限差分方法的基本概念記為其中（2）方程組（2）為擬線性方程組（2）為線性第二章：有限差分方法的基本概念對(duì)于方程組（2）記則方程組（2）可表示為第二章：有限差分方法的基本概念（2）多維一階方程組方程組（3）見8頁可表示為（4）其中同理第二章：有限差分方法的基本概念其中沒有實(shí)特征向量，方程組（3）稱為橢圓型；有p個(gè)線性無關(guān)的實(shí)特征向量，方程組（3）稱為雙曲型；有p個(gè)相異實(shí)特征值，方程組（3）稱為嚴(yán)格雙曲型；見8頁第二章：有限差分方法的基本概念如果見9頁滿足關(guān)系（任意常數(shù)）表示是的函數(shù)。則有代入方程得其中為矩陣的特征值；方程為方程組（4）的特征方程；為方程組（4）解的特征曲線；第二章：有限差分方法的基本概念如果將見9頁為參數(shù)表示為則特征方程化為第二章：有限差分方法的基本概念設(shè)例一維對(duì)流方程為一維對(duì)流方程為嚴(yán)格雙曲型特征方程為特征曲線為（任意常數(shù)）設(shè)方程沿特征曲線的解則由第二章：有限差分方法的基本概念對(duì)于定解問題得方程的解為由定解條件得見10頁第二章：有限差分方法的基本概念過點(diǎn)作斜率為的直線則它們與區(qū)間一起圍成的三角形區(qū)域中的任意一點(diǎn)該三角區(qū)域稱為決定區(qū)域。定義初始時(shí)刻的依賴區(qū)間都落在區(qū)間內(nèi)，的區(qū)間過點(diǎn)作斜率為的直線即解在該三角區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)的值被區(qū)間內(nèi)的初值決定。第二章：有限差分方法的基本概念波動(dòng)是以一定的速度a向兩個(gè)方向傳播。則經(jīng)過時(shí)間t后，擾動(dòng)傳到的范圍為如果在初始時(shí)刻t＝0，擾動(dòng)僅僅在有限區(qū)間上存在稱區(qū)域的影響區(qū)域。為區(qū)間第二章：有限差分方法的基本概念見24頁分析對(duì)流方程的差分格式的解1、計(jì)算依賴于初始時(shí)刻在點(diǎn)集上的值；2、對(duì)流方程的解在點(diǎn)上的值僅依賴于初始值3、當(dāng)時(shí)第二章：有限差分方法的基本概念見24頁因此改變?cè)邳c(diǎn)上的值將改變解在點(diǎn)上的值上的值，但不影響差分方程在點(diǎn)所以，差分格式：相容但不收斂。第二章：有限差分方法的基本概念分析擴(kuò)散方程初值問題顯式顯示差分格式為第二章：有限差分方法的基本概念令為差分格式的截?cái)嗾`差事實(shí)上其中第二章：有限差分方法的基本概念進(jìn)而第二章：有限差分方法的基本概念由得又差分格式為于是其中如果則第二章：有限差分方法的基本概念令又則即推得所以見25頁第二章：有限差分方法的基本概念因此如果則即見25頁第二章：有限差分方法的基本概念以對(duì)流方程的差分格式為例見25頁（4）差分格式的穩(wěn)定性問題見25頁論述第二章：有限差分方法的基本概念如果假設(shè)初值的絕對(duì)誤差見26頁則當(dāng)時(shí)差分格式不穩(wěn)定。例網(wǎng)格比影響差分方程的解第二章：有限差分方法的基本概念得方程的解為化簡為差分格式為第二章：有限差分方法的基本概念精確解第二章：有限差分方法的基本概念x=0:0.1:2;t=0:0.1:1.2;u=[0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1;0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1];surf(x,t,u);第二章：有限差分方法的基本概念差分解第二章：有限差分方法的基本概念差分解第二章：有限差分方法的基本概念差分解第二章：有限差分方法的基本概念h=0.1;lamda=1.1;t=lamda*h;x=0:h:2;t=0:0.1:1.2;u0=[1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];y=zeros(13,21);fork=1:13

forj=2:length(x)u1(j)=u0(j)-lamda*(u0(j)-u0(j-1));

endfori=2:length(x)u0(i)=u1(i);endy(k,:)=u0;endsurf(x,t,y);第二章：有限差分方法的基本概念第二章：有限差分方法的基本概念差分解第二章：有限差分方法的基本概念差分解第二章：有限差分方法的基本概念差分解第二章：有限差分方法的基本概念將差分方程表示為為差分算子于是引入范數(shù)如果有一個(gè)誤差記的誤差為當(dāng)如果存在常數(shù)時(shí)，一致有成立，則稱差分格式穩(wěn)定。見27頁第二章：有限差分方法的基本概念如對(duì)流方程的差分格式見27頁P(yáng)15,(1.7)’P24第二章：有限差分方法的基本概念因?yàn)橐?7頁再如擴(kuò)散方程的差分格式P24記則所以第二章：有限差分方法的基本概念見28頁（5）Lax等價(jià)定理見28頁第二章：有限差分方法的基本概念一、關(guān)于Fourier變換已知§2.3

Fourier方法求因?yàn)閯t對(duì)數(shù)變換第二章：有限差分方法的基本概念又已知二次曲面線性變換令得積分變換變換核象函數(shù)原象函數(shù)第二章：有限差分方法的基本概念Fourier積分如果函數(shù)上連續(xù)或僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；且（1）在區(qū)間則有（2）僅有有限個(gè)極值點(diǎn)。其中Dirichlet條件第二章：有限差分方法的基本概念Fourier積分定理如果函數(shù)的任意有限區(qū)間上滿足在區(qū)間在斷點(diǎn)處的值為Euler公式Dirichlet條件，且在上收斂。則有第二章：有限差分方法的基本概念Fourier變換如果函數(shù)滿足Fourier積分定理?xiàng)l件，則在連續(xù)點(diǎn)處有記為的Fourier逆變換記為的Fourier變換其中第二章：有限差分方法的基本概念例1記為第二章：有限差分方法的基本概念另一方面第二章：有限差分方法的基本概念因?yàn)樗缘诙拢河邢薏罘址椒ǖ幕靖拍畹诙拢河邢薏罘址椒ǖ幕靖拍钜?9頁§2.3

Fourier方法1、考慮對(duì)流方程初值問題其差分格式為令第二章：有限差分方法的基本概念見29頁將差分方程改寫為Fourier積分得第二章：有限差分方法的基本概念其中為的Fourier變換為的Fourier逆變換第二章：有限差分方法的基本概念由稱為差分格式的增長因子。見29頁得其中第二章：有限差分方法的基本概念由見30頁得Parserval（帕塞瓦爾）等式-能量積分設(shè)則如果對(duì)Parserval第二章：有限差分方法的基本概念由見30頁得因此對(duì)流方程的差分格式穩(wěn)定第二章：有限差分方法的基本概念見30頁如果函數(shù)建立差分格式滿足方程2、關(guān)于方程組第二章：有限差分方法的基本概念見31頁整理得（1）即令則有（2）第二章：有限差分方法的基本概念見31頁進(jìn)而方程組的差分格式可記為令一般，如果記第二章：有限差分方法的基本概念見31頁則有差分格式稱為差分算子.稱為常系數(shù)差分格式。無關(guān)，差分格式如果差分算子與如（2）中第二章：有限差分方法的基本概念見31頁由設(shè)為常系數(shù)差分方程組得其中由Fourier積分得增長矩陣第二章：有限差分方法的基本概念見31頁差分格式穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)當(dāng)有第二章：有限差分方法的基本概念見31頁如考慮第一個(gè)方程第二章：有限差分方法的基本概念同理得因此有即為差分方程組的增長矩陣第二章：有限差分方法的基本概念見32頁差分格式穩(wěn)定的必要條件是：3、判別準(zhǔn)則證明：（1）VonNeumann條件當(dāng)存在常數(shù)時(shí)對(duì)有成立其中的特征值。是因?yàn)椴罘指袷椒€(wěn)定所以當(dāng)存在常數(shù)時(shí)對(duì)第二章：有限差分方法的基本概念見32頁又1、已知矩陣2、