第3章-矩陣及其運算

第3章矩陣及其運算3.1基本要求、重點難點基本要求：1．掌握矩陣的定義.2．掌握矩陣的運算法則.3．掌握伴隨矩陣的概念及利用伴隨矩陣求逆矩陣的方法.4．掌握矩陣秩的概念及求矩陣秩的方法.5．

掌握初等變換和初等矩陣的概念，能夠利用初等變換計算矩陣的秩，求可逆矩陣的逆矩陣.6．掌握線形方程組有解得判定定理及其初等變換解線形方程組的方法.

重點難點：重點是矩陣定義，矩陣乘法運算，逆矩陣的求法，矩陣的秩，初等變換及線性方程組的解.難點是矩陣乘法，求逆矩陣的伴隨矩陣方法.

3.2基本內容

3.2.1

重要定義定義3.1由個數(shù)組成的行列的數(shù)表成為一個行列矩陣，記為簡記為，或,,注意行列式與矩陣的區(qū)別：（1）

行列式是一個數(shù)，而矩陣是一個數(shù)表.（2）

行列式的行數(shù)、列數(shù)一定相同，但矩陣的行數(shù)、列數(shù)不一定相同.（3）

一個數(shù)乘以行列式，等于這個數(shù)乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一個數(shù)乘以矩陣等于這個數(shù)乘以矩陣的所有元素.（4）

兩個行列式相等只要它們表示的數(shù)值相等即可，而兩個矩陣相等則要求兩個矩陣對應元素相等.（5）

當時，有意義，而無意義.的矩陣叫做階方陣或階方陣.一階方陣在書寫時不寫括號，它在運算中可看做一個數(shù).對角線以下（上）元素都是0的矩陣叫上（下）三角矩陣，既是上三角陣，又是下三角的矩陣，也就是除對角線以外的元素全是0的矩陣叫對角矩陣.在對角矩陣中，對角線上元素全一樣的矩陣叫數(shù)量矩陣；數(shù)量矩陣中，對角線元素全是1的階矩陣叫階單位矩陣，常記為（或），簡記為（或），元素都是0的矩陣叫零矩陣，記為，或簡記為.行和列分別相等的兩個矩陣叫做同型矩陣，兩個同型矩陣的且對應位置上的元素分別相等的矩陣叫做相等矩陣.設有矩陣=，則稱為的負矩陣.若是方陣，則保持相對元素不變而得到的行列式稱為方針的行列式，記為或.將矩陣的行列式互換所得到的矩陣為的轉置矩陣，記為或.若方陣滿足，則稱為對稱矩陣，若方陣滿足，則稱為反對稱矩陣.若矩陣的元素都是實數(shù)，則矩陣稱為實矩陣.若矩陣的元素含有復數(shù)，則稱矩陣為復矩陣，若=是復矩陣，則稱矩陣（其中為的共軛矩陣，記為.定義3.2對于階矩陣，如果存在階矩陣，使得，則稱方陣可逆，稱為的逆矩陣，記做.對于方陣，設的代數(shù)余子式為，則矩陣稱為的伴隨矩陣，要注意伴隨矩陣中元素的位置.定義3.3設有矩陣，如果：（1）

在中有一個階子式不為零.（1）

非奇次線形方程組有解的充要條件是=，當=時，方程組有無窮多解；當是=時，方程組有惟一解；當時，方程組無解.（為系數(shù)矩陣，為增廣矩陣.）（2）

齊次線形方程組一定有零解；如果，則只有零解，它有非零解的充分必要條件是.3.2.3

主要運算1．矩陣的運算法則：（1）

加法法則：（加法滿足交換律）；（加法滿足結合律）；；；若，則（移項法則）.以上運算法則說明了矩陣相加、減的運算有類似于初等代數(shù)中相加、減的運算法則，矩陣相加、減是不難掌握的，只有注意矩陣間是否可以相加、減就可以了.（2）

數(shù)乘矩陣的運算法則：，其中表示數(shù)，、表示同型矩陣.注意：，則或；或且，換句話說：若是零矩陣，則數(shù)是0，矩陣是零矩陣至少有一個成立.（3）

矩陣相乘的運算法則：（矩陣乘法對加法滿足分配律）；（矩陣乘法滿足結合律）；，（乘法滿足數(shù)因子的結合律）.說明：1）

左邊矩陣的列數(shù)必須與右邊矩陣的行數(shù)相等才能相乘.矩陣乘法不滿足交換律，也就是說不一定成立，若成立的話，則稱，可交換.2）

顯然有，當是方陣時，有.這就是說單位矩陣在矩陣乘法中的作用相當于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用.要注意：是錯誤的，正確的寫法應是，同樣可知.3）

按矩陣乘法的定義，只有方陣才能自乘，故若是階方陣，定義：是整數(shù)）當為整數(shù)時有由于矩陣乘法一般不滿足交換律，所以對于兩個階矩陣與，一般來說.4）

伴隨矩陣的運算法則：5）

方陣行列式的運算法則：其中、市同階矩陣，是任一數(shù)，是的階數(shù).6）

轉置矩陣的運算法則：是任一數(shù)），.7）

逆矩陣的運算法則：；若可逆，則.8）

共軛矩陣的運算法則：是任一數(shù)），.2．分塊矩陣的運算:(1)將一個矩陣用橫線和縱線分成若干小塊，以這些小塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.(2)分塊矩陣有類似于普通矩陣的運算法則，只是進行運算的矩陣的分塊要恰當.(3)分塊對角方陣.若方陣的分塊矩陣只有在主對角線上有非零方陣子快，而其他子快都是零，即則稱為分塊對角方陣，分塊對角方陣的行列式.3.2.4

重要方法本章研討的是矩陣運算，因此凡矩陣定義、矩陣運算的定義、矩陣運算法則等等，都是重要的，應很好地掌握，只是有些較容易掌握，可少花時間和精力；有些較困難，應認真對待，多做練習，多思考，仔細鉆研范例，注意每一個特殊點.1．

矩陣的運算方法：（1）

以矩陣乘法為綱.矩陣運算有些是較簡單的，如矩陣的線性運算、轉置等，而矩陣相乘就較困難了，可以這樣說，有關矩陣乘法的運算掌握好了，其他的矩陣運算也就不在話下.因此對初學者來說，遇到矩陣乘法，就應該多留心.（2）

邊學習，邊積累，逐步提高.這一章有很多定義（要重視定義?。?、很多運算，每種運算又有若干條運算法則，一開始掌握不了那么多，應該學一點積累一點，直到全部掌握.例如：已知，計算行列式.如果先算出，再算出及，算出矩陣乘積，最后計算行列式；這樣比較麻煩，而且易錯，如果利用方陣則行列式的性質就簡單多了.因，所以.2．

化矩陣為行階梯矩陣、行最簡矩陣以及標準行的方法：一定要能熟練地用初等行變換化一個矩陣成為階梯矩陣（或行最簡行）矩陣，因為求逆矩陣、矩陣的秩、解線性方程組等都要用到這樣的方法.3．

求逆矩陣的方法：（1）

用定義求.用存在方陣，使，則.此法要求對矩陣乘法比較熟練，對于元素比較特殊的矩陣，可直觀看出滿足條件的（只要驗證或一個即可）.（2）

用，其中是的伴隨矩陣.要注意2階矩陣求伴隨矩陣的口訣：“主換位，副變號.”例如，設，則.（3）

初等變換法.因為,所以把同時做初等行變換，當處變?yōu)闀r，處得，即，同理.（4）

分塊矩陣求逆.對于分塊對角陣，若的逆都存在，則也存在，且有.若方陣且的逆都存在，則的逆也存在，且有4．

求矩陣秩的方法：（1）

初等變換法：因矩陣經初等變換后，其秩不變，故可用初等變換求其秩.用初等變換求矩陣的秩，即可以用初等行變換，也可以用初等列變換，也可以交替進行，把化成一個容易求秩甚至一看就知道其秩的矩陣，一般化為行階矩陣.若階梯矩陣行矩陣有個非零行，用這種方法求矩陣的秩，不需要計算行列式.（2）

計算子式法：根據(jù)矩陣的秩的定義，要求的秩，只需求出的不等于零的子式的最高階數(shù)即可.常由低階到高階計算不為零的子式的最高階數(shù).（3）

關于矩陣秩的幾個公式;1)

設為矩陣為矩陣，則+-2)

設均為矩陣，則.3)

設、，且，且.5．

關于解矩陣方程的方法：形如（3.1）（3.2）（3.3）的等式（其中為未知矩陣，、可逆）稱為矩陣方程.