2022-2023學年湖南省岳陽市中心校高二數(shù)學理期末試題含解析

2022-2023學年湖南省岳陽市中心校高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列命題中正確的有

（

）①函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是②函數(shù)的值域是③集合

A、0個

B、1個

C、2個

D、3個參考答案：B2.函數(shù)f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4為奇函數(shù)的充要條件是(

)A．a(chǎn)=4 B．a(chǎn)=﹣1 C．a(chǎn)=4或a=﹣1 D．a(chǎn)∈R參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】方程思想；定義法；簡易邏輯．【分析】根據(jù)充要條件的定義結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進行求解即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4為奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），即（a+1）tan2x﹣3sinx+a2﹣3a﹣4=﹣，即（a+1）tan2x+a2﹣3a﹣4=﹣（a+1）tan2x﹣（a2﹣3a﹣4），則，即，即，則a=﹣1，當a=﹣1時，f（x）=3sinx為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4為奇函數(shù)的充要條件是a=﹣1，故選：B【點評】本題主要考查充要條件的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．3.已知數(shù)列，則其前是A．

B．C．

D．參考答案：B略4.過點P（4，－1）且與直線3x－4y＋6＝0垂直的直線方程是（

）A．4x＋3y－13＝0

B．4x－3y－19＝0C．3x－4y－16＝0

D．3x＋4y－8＝0參考答案：A略5.中心在坐標原點，離心率為的雙曲線的焦點在軸上，則它的漸近線方程為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B6.已知集合，則“”是“”的（

）條件A．充要

B．充分不必要

C．必要不充分

D．既不充分也不必要參考答案：B7.平面向量，，且，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.復數(shù)（1+i）2的虛部是A．0

B．2

C．一2

D．2i參考答案：B9.命題是命題的

條件（）

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要參考答案：B10.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（

）A．（1，2）

B．（e，3）

C．（2，e）

D．(e,

+)參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果直線與直線平行，那么系數(shù)為_________.參考答案：-6略12.已知方程

,

m為何值時

方程表示焦點在y軸的橢圓。

參考答案：13.若z是復數(shù)，|z＋2－2i|=2,則|z＋1－i|＋|z|的最大值是

．參考答案：3＋414.不等式≤的解集為

▲

．參考答案：略15.命題“若x＝3且y＝5，則x＋y＝8”的逆否命題是___________________．參考答案：逆否命題：x＋y≠8，則x≠3或y≠5.16.空間四邊形，，，則的值為

．參考答案：

∵OB=OC，∴∴。答案：017.在△ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，則=．參考答案：【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律．【分析】根據(jù)題意，以AB、AC為鄰邊的平行四邊形ABDC是矩形，由勾股定理求出BC=2．過A作AE⊥BC于E，算出BE=，最后結(jié)合數(shù)量積的公式和直角三角形余弦的定義，即可算出的值．【解答】解：以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，則=+∵=∴四邊形ABDC是矩形過A作AE⊥BC于E∵Rt△ABC中，，∴BC==2，可得斜邊上的高AE==因此，BE==∵=，cos∠ABC=∴==1，可得=故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x+1（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求曲線在點（0，f（0））處的切線方程．參考答案：【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）由求導公式和法則求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）由導數(shù)的幾何意義求出f′（0）：切線的斜率，由解析式求出f（0）的值，根據(jù)點斜式求出曲線在點（0，f（0））處的切線方程，再化為一般式方程．【解答】解：（Ⅰ）由題意得，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0得x=±1，當x∈（﹣1，1）時，f′（x）＜0，當x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上遞減，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上遞增，當x=﹣1時取到極大值是f（﹣1）=3，當x=1取到極小值f（1）=﹣1．…（Ⅱ）由f′（x）=3x2﹣3得，f′（0）=﹣3，∵f（0）=1，∴曲線在點（0，f（0））處的切線方程是y﹣1=﹣3x即3x+y﹣1=0．…19.（本小題滿分14分）

如圖，在五面體ABC—DEF中，四邊形BCFE是矩形，DE?平面BCFE．

求證：（1）BC?平面ABED；

（2）CF//AD．參考答案：（1）因為DE?平面BCFE，BC?平面BCFE，

所以BC??DE．…2分因為四邊形BCFE是矩形，

所以BC??BE．…4分因為DE?平面ABED，BE?平面ABED，且DEIBE??E，所以BC?平面ABED．………7分（2）因為四邊形BCFE是矩形，所以CF//BE，…………………9分因為CF?平面ABED，BE?平面ABED，所以CF//平面ABED．………11分因為CF?平面ACFD，平面ACFDI平面ABED??AD，所以CF//AD．………………14分20.已知拋物線的焦點為F，準線為，點，A在上的射影為B，且是邊長為4的正三角形.（1）求p；（2）過點F作兩條相互垂直的直線與C交于P，Q兩點，與C交于M，N兩點，設(shè)的面積為的面積為（O為坐標原點），求的最小值.參考答案：（1）2；（2）16.【分析】（1）設(shè)準線與軸的交點為點，利用解直角三角形可得.（2）直線，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達定理可用關(guān)于的關(guān)系式表示，同理可用關(guān)于的關(guān)系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.【詳解】（1）解：設(shè)準線與軸交點為點，連結(jié)，因為是正三角形，且，在中，，所以.（2）設(shè)，直線，由知，聯(lián)立方程：，消得.因為，所以，所以，又原點到直線的距離為，所以，同理，所以，當且僅當時取等號.故的最小值為.【點睛】圓錐曲線中的最值問題，往往需要利用韋達定理構(gòu)建目標的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以為斜率或點的橫、縱坐標等.而目標函數(shù)的最值可以通過基本不等式或?qū)?shù)等求得.21.已知函數(shù)，，.（1）當，時，求函數(shù)的最小值；（2）當，時，求證方程在區(qū)間(0,2)上有唯一實數(shù)根；（3）當時，設(shè)，是函數(shù)兩個不同的極值點，證明：.參考答案：（1）（2）見解析（3）見解析【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)y=，求導判斷單調(diào)性，得出最小值e.（2）變量分離a=-=h（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)h（x）的最小值，利用a的范圍證明在區(qū)間(0，2)上有唯一實數(shù)根；（3）求出，問題轉(zhuǎn)化為證，令x1﹣x2=t，得到t＜0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】(1)當＝0，時，=，求導y’==0的根x=1所以y在（-），（0,1）遞減，在（1，+）遞增，所以y=e(2)+=0,所以a=-=h（x）H’(x)=-=0的根x=2則h（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，所以h（2）是y=h（x）的極大值即最大值，即所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上有唯一實數(shù)根；

(3)=-F’(x)-2ax-a=0的兩根是，∵x1，x2是函數(shù)F（x）的兩個不同極值點（不妨設(shè)x1＜x2），∴a＞0（若a≤0時，f'（x）＞0，即F（x）是R上的增函數(shù)，與已知矛盾），且F'（x1）=0，F(xiàn)'（x2）=0．∴，…兩式相減得：，…于是要證明，即證明，兩邊同除以，即證，即證，即證，令x1﹣x2=t，t＜0．即證不等式，當t＜0時恒成立．

設(shè)，∴=設(shè)，∴，當t＜0，h'（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減，所以h（t）＞h（0）=0，即，∴φ'（t）＜0，∴φ（t）在t＜0時是減函數(shù)．∴φ（t）在t=0處取得極小值φ（0）=0．∴φ（t）＞0，得證．∴．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查換元思想，是一道綜合題．22.2014年11月12日，科幻巨片《星際穿越》上映，上映至今，全球累計票房高達6億美金．為了解綿陽觀眾的滿意度，某影院隨機調(diào)查了本市觀看此影片的觀眾，并用“10分制”對滿意度進行評分，分數(shù)越高滿意度越高，若分數(shù)不低于9分，則稱該觀眾為“滿意觀眾”．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取12名．如圖所示的莖葉圖記錄了他們的滿意度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）．（1）求從這12人中隨機選取1人，該人不是“滿意觀眾”的概率；（2）從本次所記錄的滿意度評分大于9.1的“滿意觀眾”中隨機抽取2人，求這2人得分不同的概率．參考答案：【考點】莖葉圖；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（1）由莖葉圖可知從12人中任抽一人，其中低于9的有4人，由古典概型概率公式可求；（2）利用列舉法分別列出從中任意選取兩人的可能有以及分數(shù)不同的人數(shù)，由古典概型的公式可求．【解答】解：（1）由莖葉圖可知，所抽取12人中有4人低于9分，即有4人不是“滿意觀眾”，∴P=，即從這12人中隨機選取1人，該人不是“滿意觀眾”的概率為．（2）設(shè)本次符合條件的滿意觀眾分別為A1（9.2），A2（9.2），A3（9.2），A4（9.2），B1（9.3），B2（9.