線性代數(shù)方程組的高斯消元法

線性代數(shù)方程組的高斯消元法第一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三其中未知量第i個(gè)方程第j個(gè)未知量xj的系數(shù)常數(shù)項(xiàng)全為0齊次線性方程組否則為非齊次線性方程組第二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三上述線性方程組表示成矩陣形式為系數(shù)矩陣未知量列向量常數(shù)項(xiàng)列向量問題：(1)方程組是否有解?(2)如果有解,它有多少解?如何求出它的所有解?為增廣矩陣高斯消元法就是對(duì)方程組作初等變換,將其化成同解的階梯形方程組.也就是對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換化成行階梯形矩陣,再化為最簡(jiǎn)形,然后寫出對(duì)應(yīng)的解.第三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三例1解線性方程組解初等行變換第四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三原方程組與矩陣A對(duì)應(yīng)的方程組同解,于是可得例2解線性方程組第五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三解初等行變換以A1的非零行為增廣矩陣的線性方程組為可以看出,每給定x2一個(gè)值,唯一的求出x1,x3的一組值,而x2可取任意實(shí)數(shù),所以方程組有無數(shù)解.自由未知量第六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三方程組的所有解可表示為:自由未知量例3解線性方程組第七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三解初等行變換以為增廣矩陣的線性方程組的最后一個(gè)方程為0=1這是一個(gè)矛盾方程,因此原方程組無解.綜上所述,線性方程組的解有三種可能的情況:唯一解,無解,無窮多解.第八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三一般地，給出線性方程組Ax=b，用初等行變換把其增廣矩陣化為階梯形矩陣.第九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三其中與之對(duì)應(yīng)的階梯形方程組為（3-21）第十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三方程組（3-21）和原方程組Ax=b

同解.對(duì)于方程組（3-21）的解分幾種情況進(jìn)行討論.第一種：若dr+1=0且r=n時(shí)，去掉“0=0”形式的多余方程，方程組（3-21）具有形式（3-22）第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三由可萊姆法則，方程組（3-22）有唯一解.即原方程組Ax=b有唯一解.欲求此唯一解，可繼續(xù)用初等行變換把階梯形方程組（3-22）的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣.則Ax=b的唯一解為第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三

在這種情況下，方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣都有n個(gè)非零行.矩陣A與矩陣A有相同的秩n.

總之，當(dāng)R(A)=R(A)=n時(shí)，方程組Ax=b有唯一解，反之亦然.第二種情況:若dr+1=0,且r＜n時(shí),由(3-20),對(duì)應(yīng)的階梯形方程組為(3-23)第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三把方程組(2-23)的增廣矩陣進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣之后,可以得到(3-24)其中是自由未知量,共有(n-r)個(gè),當(dāng)這(n-r)個(gè)自由未知量取不同的值時(shí),就得到方程組Ax=b不同的解.若令第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三其中為任意實(shí)數(shù),則方程組Ax=b有無窮多解.并稱(3-24)為原方程組的通解.此種情況,對(duì)于方程組(3-22)顯然有＜n于是我們得出結(jié)論:＜n,若方程組Ax=b有無窮多解.第三種情況:若dr+1≠0,方程組(3-21)中出現(xiàn)矛盾方程0=dr+1,此時(shí)方程組(3-21)無解.對(duì)于方程組(3-21),這時(shí)有第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三所以,有結(jié)論:若方程組Ax=b無解,反之亦然.總上,可得如下定理定理(線性方程組有解的判定定理)線性方程組Ax=b有解的充要條件是當(dāng)＜n時(shí),方程組有無窮多解;當(dāng)＝n時(shí),方程組有唯一解;當(dāng)無解.第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三推論1齊次線性方程組Ax=0一定有零解;如果R(A)=n,則只有零解;它有非零解的充分必要條件是R(A)＜n.

推論2若齊次線性方程組Ax=0中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù),即m＜n

,則它必有非零解;若m=n,則它有非零解的充要條件是|A|=0.例4解齊次線性方程組第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三解對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換化為最簡(jiǎn)形:r2-2r1r3-r1r3-r2r2÷

(-3)

r1-2r2第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三由最簡(jiǎn)形矩陣得原方程組的同解方程組為由此可得x3,x4為自由未知量,可取任意實(shí)數(shù).第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三令x3=c1,,x4=c2,寫成向量形式為第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三例5解齊次線性方程組解對(duì)增廣矩陣A施行初等行變換r2-3r1r3-2r1第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三r3-r2R(A)=2,R(B)=3,故方程組無解.例6設(shè)有線性方程組問λ取何值時(shí),此方程組(1)有唯一解;(2)無解;第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三(3)有無窮多解?并在有無窮多解時(shí)求其通解.解第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三(1)當(dāng)λ≠0且λ≠3時(shí),R(A)=R(B)=3,有唯一解.(2)當(dāng)λ=0時(shí),R(A)=1,R(B)=2,方程組無解.(3)當(dāng)λ=-3時(shí),R(A)=R(B)=2＜3,有無窮多解.當(dāng)λ=-3時(shí)第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三由此可得通解(x3為自由未知量)第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三注本例中矩陣A是一個(gè)含參數(shù)的矩陣,由于λ+1,λ+3等因子可以等于0,故不宜做諸如這樣的變換.如果作了這種變換,則需對(duì)λ+1=0(或λ+3=0)的情形另作討論.令x3=c(c為任意實(shí)數(shù)),得通解的向量形式為第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三小結(jié)高斯消元法對(duì)線性方程組的增廣矩陣作初等行變換，化為階梯形矩陣，然后判斷：（1）若方程組有唯一解，繼續(xù)把階梯形矩陣化為最簡(jiǎn)形求出其解；（2）若＜n方程組有無窮多解，把階梯形化為最簡(jiǎn)形，(有n-r個(gè)自由未知量）求出其通解；1、非齊次線性方程組第二十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（3）若方程組無解.2、齊次線性方程組（1）一定有零解；若R(A)=n,只有零解;（2）有非零解的充要條件是R(A)＜n;（3）方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，必有非零解；若方程個(gè)數(shù)等于未