高數(shù)課件同濟(jì)版上下冊(cè)冪級(jí)數(shù)運(yùn)用

第六節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用一、近似計(jì)算二、計(jì)算定積分三、歐拉公式一、近似計(jì)算

A

a1

a2

an

,

A

a1

a2

an

,誤差

rn

an1

an2

.兩類問題:給定項(xiàng)數(shù),求近似值并估計(jì)精度;給出精度,確定項(xiàng)數(shù).關(guān)健:通過估計(jì)余項(xiàng),確定精度或項(xiàng)數(shù).2/12常用方法:若余項(xiàng)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),則可用余和的首項(xiàng)來解決;若不是交錯(cuò)級(jí)數(shù),則放大余和中的各項(xiàng),使之成為等比級(jí)數(shù)或其它易求和的級(jí)數(shù),從而求出其和.例1

計(jì)算e的近似值,使其誤差不超過105.解ex

1

x

1

x2

1

xn

,2!

n!令x

1,得

e

1

1

1

1

,2!

n!3/12余和:1

11(n

1)!

(n

2)!

(n

3)!r

n111

)(1

n

2

(n

3)(n

2)(n

1)!1(1

(n

1)21

1(n

1)!

n

11)11)mn

n!n

1(1

1n

11

lim((n

1)!

)

m,5n欲使

r

10

10

5

,1n

n!只要即n

n!

10

5

,而

8

8!

322560

10

5

,e

1

1

1

1

12!

3!

8!

2.71828

2!

n!

e

1

1

1

1

,4/12例20并估計(jì)誤差.x

3利用sin

x

x

3!

計(jì)算sin

9

的近似值,解sin

90

sin

1

(

)3

,20

20

6

202r

1

(

)5

5!

20

120

3000001

1(0.2)5

10

5

,

sin

90

0.157079

0.000646

0.156433其誤差不超過105

.5/12二、計(jì)算定積分x難以計(jì)算其定積分.例如函數(shù)

e

x2

,

sin

x

,

原函數(shù)不能用初等函數(shù)

表示,解法逐項(xiàng)積分展開成冪級(jí)數(shù)定積分的近似值被積函數(shù)6/12第四項(xiàng)117

7!

3000

104

,取前三項(xiàng)作為積分的近似值,得101

13

3!

5

5!dx

1

xsin

x

0.9461例3104精確到10

.計(jì)算dx

的近似值,xsin

x

1

x4

1

x6

sin

x

1

1

x

2解x

(,)15!

7!13

3!

5

5!

7

7!3!110xdx

1

xsin

x

收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)7/12

jvn

)

三、歐拉公式復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):

(u1

jv1

)

(u2

jv2

)

(un其中un

,vn

(n

1,2,3,)為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù).若u

un

,n1則稱級(jí)數(shù)(unn1v

vn

,n1

ivn

)收斂,且其和為u

iv

.8/12若1

1

2

2

n

nu2u2

u2

v

2

v

2

v

2

收斂,復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的概念

則un,vn

絕對(duì)收斂,稱復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.n1

n1三個(gè)基本展開式2!

n!

1

x

x2

xnex(2n

1)!x5x3sin

x

x

x2

n12!

4!(2n)!3!

5!x2

x4x2

ncos

x

1

(1)n

,

(1)n1

,(

x

)(

x

)

,

(

x

)9/12由e

x的冪級(jí)數(shù)展開式e

jx

1

jx

1

(

jx)2

1

(

jx)n

2!

n!11

(1

x3

j(

x

x2x2n1x2n

(1)n

)

(1)n

)

cos

x

j

sin

x

2!

(2n)!

cos

x

3!

(2n

1)!

sin

x10/12

e

jx

cos

x

j

sin

xe

jx

e

jx2

jsin

x

2e

jx

e

jxcos

x

又

e

jx

cos

x

j

sin

x歐拉公式e

x

jy

e

x

(cos

y

j

sin

y)揭示了三角函數(shù)和復(fù)變數(shù)指數(shù)函數(shù)之間的一種關(guān)系.11/12五、小結(jié)12/12１、近似計(jì)算,求不可積類函數(shù)的定積分，求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，歐拉公式的證明；

２、微分方程的冪級(jí)數(shù)的解法．(第十二節(jié)介紹)思考題sin3

x13/12利用冪級(jí)數(shù)展開式,求極限lim

x

arcsin

x

.x0思考題解答1

1

32

3 2

4

5

,x5x3arcsin

x

x

354

3!

5!

31

33

3

,x5x3sin3

x

(

x

1)(

x

)sin3

x14/12x0將上兩式代入lim

x

arcsin

x

,

1

1

32

3 2

4

5x5x3x

x

535!35

33!4

1

33

3x

x

原式=limx06x3

o(

x3

)

1

x3

o(

x3

)

limx0615/12

1

.一、利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值:1、ln

32、cos

2(精確到0.0001)；(精確到0.0001).二、利用被積函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式求定積分16/120.50xarctan

xdx

(精確到0.001)的近似值.三、將函數(shù)e

x

cos

x

展開成x

的冪級(jí)數(shù).練習(xí)題練習(xí)題答案2、