圓的切線切線的性質(zhì)

圓本章內(nèi)容第2章

直線與圓的位置關(guān)系本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.5子目內(nèi)容2.5.2圓的切線——切線的性質(zhì)如圖，直線l是⊙O

的切線，A為切點，切線l與半徑OA垂直嗎？動腦筋我用量角器量得切線l

與半徑OA

所成的角90°，即切線l與半徑OA

垂直.說一說假設(shè)直線l與半徑OA不垂直.過圓心O作OB⊥直線l于點B.由于垂線段最短，可得OB

＜OA，那么圓心O

到直線l

的距離小于半徑，即直線l

與⊙O相交.這與已知直線l是⊙O的切線相矛盾.因此直線l⊥OA.結(jié)論圓的切線垂直于過切點的半徑．∵l是⊙O的切線，切點為A，∴l(xiāng)⊥OA.①過半徑外端;②垂直于這條半徑.切線①圓的切線;②過切點的半徑.切線垂直于半徑切線判定定理：切線性質(zhì)定理：OAl說一說舉例例1如圖，AB

是⊙O的直徑，

C為⊙O上一點，BD

和過點C

的切線CD垂直，垂足為D.求證：

BC平分∠ABD．知切線，連半徑，得垂直舉例證明連接OC.∵CD

是⊙O的切線，∴OC⊥CD.又∵BD⊥CD

，∴BD∥OC.∴∠1=∠2.又OC=OB

，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3，即BC

平分∠ABD.平行+等腰=平分舉例例2證明：經(jīng)過直徑兩端點的切線互相平行．已知：如圖，AB

是⊙O的直徑，l1

,

l2分別是經(jīng)過點A，B

的切線．求證：l1∥l2．證明∵OA

是⊙O的半徑，

l1是過點A的切線，∴l(xiāng)1⊥OA．同理l2⊥OB．∴l(xiāng)1⊥AB且l2⊥AB．∴l(xiāng)1∥l2．練習解:連接OB.PB為切線,則PB垂直O(jiān)B.設(shè)OA=OB=R,則OP=PA+OB=2+R.

PB2+OB2=OP2,即42+R2=(2+R)2,R=3.

故圓O的半徑為3.如圖，⊙O切PB于點B，PB=4，PA=2，則⊙O的半徑是多少？小結(jié)與復(fù)習1、知識：切線的性質(zhì)：

(1)切線和圓有唯一公共點；

(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；

(3)切線垂直于過切點的半徑；

(4)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；

(5)經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心.2、能力和方法：凡是題目中給出切線的切點，往往“連結(jié)”過切點的半徑．從而運用切線的性質(zhì)定理，產(chǎn)生垂直的位置關(guān)系．中考試題例1（2013年廣東珠海）如圖，⊙O經(jīng)過菱形ABCD的三個頂點A、C、D，且與AB相切于點A.（1）求證：BC為⊙O的切線；（2）求∠B的度數(shù)．

中考試題（1）證明：如圖，連結(jié)OA、OB、OC、BD.∵AB與⊙O切于A點，∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，∵四邊形ABCD為菱形，∴BA=BC，∴△ABO≌△CBO，∴∠BCO=∠BAO=90°，∴OC⊥BC，∴BC為⊙O的切線.中考試題（2）解：∵△ABO≌△CBO，∴∠ABO=∠CBO，∵四邊形ABCD為菱形，∴BD平分∠ABC，∴點O在BD上.∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，而OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠BOC=2∠ODC，而CB=CD，∴∠OBC=∠ODC，∴∠BOC=2∠OBC，∵∠BOC+∠OBC=90°，∴∠OBC=30°，∴∠ABC=2∠OBC=60°．中考試題例2（2013年山東德州）如圖，已知⊙O的半徑為1，DE是⊙O的直徑，過點D作⊙O的切線AD，C是AD的中點，AE交⊙O于B點，四邊形BCOE是平行四邊形．（1）求AD的長；（2）BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由．中考試題解：（1）連接BD，則∠DBE=90°.∵四邊形BCOE為平行四邊形，∴BC∥OE，BC=OE=1，在Rt△ABD中，C為AD的中點，∴BC=CD=1，∴AD=2CD=2.中考試題（2）連接OB，∵BC∥OD，BC=OD