角的平分線的性質(zhì)

11.3角平分線的性質(zhì)

（1）

復(fù)習提問1、角平分線的概念一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。oBCA122.下圖中能表示點P到直線l的距離的是線段PC的長

如圖,是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?經(jīng)過上面的探索，你能得到作已知角的平分線的方法嗎？小組內(nèi)互相交流一下吧！探究1---想一想AＢＭＮＣ作法:⑴以O(shè)為圓心,任意長為半徑作弧,交OA于M,交OB于N.⑵分別以M,N為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點C.⑶作射線OC,射線OC即為所求.0溫馨提示:

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握噢!試一試

由上面的探究可以得出作已知角的平分線的方法

已知:∠AOB.

求作:∠AOB的平分線.1〉平分平角∠AOB2〉通過上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長得到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？

3〉結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法。ABOCD實踐應(yīng)用(1)角平分線有什么性質(zhì)呢？OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的任意一點，

1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：____________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等題設(shè)：一個點在一個角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E.求證：PD=PE.AOBPED結(jié)論：C已知：∠AOC=∠BOC

，點P在OC上，PD⊥OA于D，

PE⊥OB于E求證:PD=PEAOBEDPC∵

PD⊥OA，PE⊥OB證明：∴∠PDO=∠PEO=90°在△POD和△PEO中

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∠PDO＝∠PEO∠AOC＝∠BOCOP=OP∴PD＝PE角平分線上的點到角的兩邊的距離相等你能用文字語言敘述一下發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？說一說AOBPEDPD⊥OA，PE⊥OB∵OP平分∠AOB∴PD=PE.用符號表示為：角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。BADOPEC定理應(yīng)用所具備的條件：

（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；

（3）垂直距離。定理的作用：

證明線段相等。

1、如圖,OC是∠AOB的平分線,點P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=__________cm.ADOBEPC4例1:如圖，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于點D，若BC＝8,BD＝5，則點D到AB的距離為？ACDBE例題講解E例2：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：點P到三角形三邊的距離均相等。ABCPEFGMN例題講解例3：在△OAB中，OE是∠

AOB的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D，求證：AC=BD。OABECD例題講解豐收樂園A0BMNPC1、如圖，OC平分∠AOB，PM⊥OB于點M，PN⊥OA于點N，△POM的面積為6，OM=6，則PN=_______。2練習2、如圖:△ABC中,∠C=900，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF，求證：CF=EB

ACDBEF練習回味無窮定理（文字語言）:角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.符號語言：∵∠1＝∠2PD⊥OA,PE⊥OB(已知）∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).用尺規(guī)作角的平分線.OCB1A2PDE3、如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E。求證：△DBE的周長等于AB。ABCDE練習知