2022高考數(shù)學(xué)大二輪 專題限時(shí)訓(xùn)練 第1講 多面體與球 文

PAGEPAGE7第1講多面體與球【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)多面體(或球)的結(jié)構(gòu)特征1、7、12多面體與球的表面積2、3、11幾何體的體積5、6、8、10綜合問(wèn)題4、9、13一、選擇題1.下列結(jié)論正確的是(D)(A)各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐(B)以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐(C)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)都相等,則該棱錐可能是六棱錐(D)圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線解析:選項(xiàng)A錯(cuò)誤,如圖(1)是由兩個(gè)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,它的各個(gè)面都是三角形,但它不是三棱錐;選項(xiàng)B錯(cuò)誤,如圖(2),若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐;選項(xiàng)C錯(cuò)誤,若該棱錐是六棱錐,由題設(shè)知,它是正六棱錐.易證正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)必大于底面邊長(zhǎng),這與題設(shè)矛盾.故選D.2.設(shè)一個(gè)球的表面積為S1,它的內(nèi)接正方體的表面積為S2,則S1(A)2π (B)6π (C)π解析:設(shè)球的半徑為R,其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a,則易知R2=34a2即a=23則S1S2=43.已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長(zhǎng)都為32,則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為(B)(A)12π (B)36π (C)72π (D)108π解析:依題意得,該正四棱錐的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為32×2=6,高為(32)2-(124.已知一個(gè)四棱錐的高為3,其底面用斜二測(cè)畫(huà)法所畫(huà)出的水平放置的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,則此四棱錐的體積為(D)(A)2 (B)62 (C)1 (D)22解析:由斜二測(cè)畫(huà)法可知,原圖形是一個(gè)平行四邊形,且平行四邊形的一組對(duì)邊長(zhǎng)為1,在斜二測(cè)圖形中如圖(1),O′B′=2,且∠B′O′A′=45°,那么在原圖形中如圖(2),∠BOA=90°,且OB=22,所以原平面圖形的面積為1×22=22,故此四棱錐的體積為V=13×22×3=225.將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起,使BD等于a,則三棱錐ABCD的體積為(D)(A)a36(C)3a3解析:如圖所示,折起后,形成的三棱錐BACD中,BC=BD=CD=AD=AB=a,AC=2a.取BD的中點(diǎn)E,AC的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,則BD⊥平面ACE.又EF⊥AC,且CE2=34a2,FC2=12a∴EF=EC2-∴VABCD=VBACE+VDACE=13×12×2a×12a×a=26.如圖所示,正方體ABCDA′B′C′D′的棱長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)E、F在棱AB上,且EF=2,動(dòng)點(diǎn)Q在棱D′C′上,則三棱錐A′EFQ的體積(D)(A)與點(diǎn)E、F位置有關(guān)(B)與點(diǎn)Q位置有關(guān)(C)與點(diǎn)E、F、Q位置都有關(guān)(D)與點(diǎn)E、F、Q位置均無(wú)關(guān),是定值解析:因?yàn)閂A'EFQ=VQA'EF=13×12×2×47.已知點(diǎn)A、B同位于以點(diǎn)O為球心、1為半徑的一個(gè)球面上,且O到過(guò)點(diǎn)A、B的截面的距離的最大值是22于(D)(A)π6 (B)π4 (C)π解析:設(shè)O到過(guò)點(diǎn)A、B的截面的距離為d,截面半徑為r,則有d=1-當(dāng)r最小,即截面以AB為直徑時(shí),d取得最大值.因此依題意得22=1-(又AB2=OA2+OB2,得∠AOB=π2故點(diǎn)A、B間的球面距離等于π2×1=π故選D.8.如圖所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D為棱AA1的中點(diǎn),若截面三角形BC1D是面積為6的直角三角形,則此三棱柱的體積為(B)(A)163 (B)83(C)43 (D)8解析:設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,高為2h,則BD=C1D=a2BC1=a2由△BC1D是面積為6的直角三角形,得2解得a故此三棱柱的體積為V=12×8×sin60°×4=839.高為24的四棱錐SABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上,則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為(C)(A)24 (B)22解析:設(shè)球心為O,正方形的中心為O1,則OB=1,O1B=12BD=2所以點(diǎn)O到平面ABCD的距離OO1=OB2-因?yàn)樗睦忮FSABCD的高為24,故四棱錐SABCD的頂點(diǎn)S在與平面ABCD平行且距離為24的一個(gè)小圓的圓周上,此小圓的圓心O2在OO1的中點(diǎn)上,易知SO2為線段OO1的垂直平分線,所以SO1=SO=1.故選C.二、填空題10.(2012年高考上海卷)若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2π的半圓面,則該圓錐的體積為.

解析:設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,高為h,則π∴l(xiāng)=2,r=1∴V圓錐=13π×12×3=33答案:3311.若正方體的棱長(zhǎng)為2,則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為.

解析:由題意知,以正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體為正八面體(即兩個(gè)同底等高等棱長(zhǎng)的正四棱錐),所有棱長(zhǎng)均為1,其中每個(gè)正四棱錐的高均為22,故正八面體的體積為V=2V正四棱錐=2×13×12×22答案:212.(2012年高考遼寧卷)已知正三棱錐PABC,點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為3的球面上,若PA,PB,PC兩兩相互垂直,則球心到截面ABC的距離為.

解析:由正三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,將其補(bǔ)成一個(gè)正方體,此正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)恰等于外接球的直徑,而球心到截面ABC的距離等于體對(duì)角線長(zhǎng)的三等分的一半,即d=16×23=33答案:313.如圖所示,在三棱錐PABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.若M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn),定義f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分別是三棱錐MPAB,三棱錐MPBC,三棱錐MPCA的體積.若f(M)=（12,x,y）,且1x+ay≥8恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為.

解析:由已知條件可得m+n+p=16×3×2×則f(M)=12,x,y中x+y+12=