三角函數(shù)公式 及 推導(dǎo)(祥盡版)

三角函數(shù)公式及推導(dǎo)（祥盡解釋）

1-----誘導(dǎo)公式（之一）：常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα2021/5/91

1-----誘導(dǎo)公式（之二）：公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六之一：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

公式六之二sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈z)※規(guī)律總結(jié)※

上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：

對(duì)于k·π/2±α(k∈z)的個(gè)三角函數(shù)值，

①當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到α的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；

②當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到α相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（奇變偶不變）

然后在前面加上把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。

（符號(hào)看象限）2021/5/92

上述的記憶口訣是：

奇變偶不變，符號(hào)看象限。

公式右邊的符號(hào)為把α視為銳角時(shí)，角k·360°+α（k∈z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶

水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。

各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余弦”．

這十二字口訣的意思就是說(shuō)：

第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“＋”；

第二象限內(nèi)只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

第三象限內(nèi)切函數(shù)是“＋”，弦函數(shù)是“－”；

第四象限內(nèi)只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

口訣總結(jié)公式七：額外的定義（也是重要的呀）2021/5/93

2---同角三角函數(shù)基本關(guān)系⒈同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

倒數(shù)關(guān)系:

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·secα＝1商的關(guān)系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方關(guān)系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)證明：同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）

構(gòu)造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。

（1）倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；

（2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰

的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的

三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。

（3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上

的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的

平方。2021/5/94

3---兩角和差公式兩角和與差的三角函數(shù)公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————--

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ

2021/5/95

（和差公式的證明）兩角差的余弦令A(yù)O=BO=r點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)A縱坐標(biāo)為點(diǎn)B的坐標(biāo)為兩式相等，化簡(jiǎn)（或?qū)φ盏茫簓AB

（O）Cxβ(α-β）α由余弦定理得：2021/5/96

兩角和的余弦兩角和的正弦

兩角差的正弦兩角和的正切兩角差的正切由兩角差的余弦得2021/5/97

4---二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（也稱為：升冪縮角公式）正弦的二倍角公式：表示一：sin2α＝2sinαcosα證明：因?yàn)閟in(+)=sincos+cossin，令==

，所以，可得：sin2=2sincos

表示二：（以正切表示二倍角）sin2=2tan1+tn2

證明：sin2=2sincos=2(sin/cos).cos2=2tan/(sec2)=2tan/(1+tan2)

余弦二倍角公式：表示一：

cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2證明：因?yàn)橛珊徒枪剑篶os(+)=coscossinsin，令==

所以，可得：cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2表示二：

cos2=1-tan21+tan2

證明：cos2=2cos21=(2/sec2)1=2/(1+tan2)

1=(1-tan2)/(1+tan2)

2021/5/98

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α證明：因?yàn)橛珊徒枪剑簍an(+)=(tan+tan)/(1-tanα.tan)，

令==

，所以，可得：2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α

正切的二倍角公式結(jié)論：利用tan可以將sin2，cos2，tan2表示出來(lái)，整理如下：

(a)sin2=2tan/(1+tan2)(b)cos2=(1-tan2)/(1+tan2)

(c)tan2=2tan/(1-tan2)

用三角形直觀表示如下：（圖）2021/5/99

6---半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式（也稱：降冪擴(kuò)角公式）或也可表示為：

1－cosαsin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα2021/5/910

7---萬(wàn)能公式萬(wàn)能公式推導(dǎo)

附推導(dǎo)：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

（因?yàn)閏os^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。2021/5/911

8---三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

(a)sin3=3sin

4sin3

證明：

sin3=sin(+2)=sincos2+cossin2

=sin(12sin2)+cos(2sincos)

=sin(12sin2)+2sincos2

=sin(12sin2)+2sin(1sin2)

=3sin

4sin3(b)cos3=4cos3

3cos證明：cos3=cos(+2)=coscos2sinsin2

=cos(2cos21)sin(2sincos)

=cos(2cos21)2sin2cos

=cos(2cos21)2(1cos2)cos

=4cos3

3cos三倍角的正切公式因?yàn)椋簊in3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan3α

所以：tan3α＝——————

1－3tan2α2021/5/912

三倍角公式推導(dǎo)正切三倍角公式推導(dǎo)：（證明）tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))正弦三倍角公式推導(dǎo)（證明）sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)

＝3sinα－4sin^3(α)余弦三倍角公式推導(dǎo)：（證明）cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

＝4cos^3(α)－3cosα三倍角公式聯(lián)想記憶

記憶方法：諧音、聯(lián)想

正弦三倍角：3元減

4元3角（欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢(qián)”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角減

3元（減完之后還有“余”）

注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。2021/5/9139---積化和差公式積化和差公式推導(dǎo)（之一）

附推導(dǎo)：

首先,我們知道

sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同樣的,我們還知道

cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把兩式相加,我們就可以得到

cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

2021/5/914

積化和差推導(dǎo)（證明之二）：2021/5/915

10---和差化積公式和差化積的公式推導(dǎo)：

好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式.我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)2021/5/916

11---輔助角公式其中的象限由的符號(hào)確定。12---任意三角形面積公式：CabhdBcA2021/5/91713---余弦定理：任意三角形一角的余弦等于兩鄰邊的平方和減對(duì)邊的平方之差與兩鄰邊積的兩倍之比。證明：（證完）14---正弦定理