師說數(shù)學(xué)必修第一冊bsd版

2.2

函數(shù)的表示法本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854

專注收集同步資源期待你的加入與分享聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，一勞永逸最新課標(biāo)在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用．通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.數(shù)學(xué)表達(dá)式圖象表格狀元隨筆1.解析法是表示函數(shù)的一種重要方法，這種表示方法從“數(shù)”的方面簡明、全面地概括了變量之間的數(shù)量關(guān)系．2．由列表法和圖象法的概念可知：函數(shù)也可以說就是一張表或一張圖，根據(jù)這張表或這張圖，由自變量x

的值可查找到和它對應(yīng)的唯一的函數(shù)值y.要點(diǎn)二 分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù)．狀元隨筆1.分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)．2．分段函數(shù)的“段”可以是等長的，也可以是不等長的．如y＝1，－2≤x≤0，x，0<x≤3，其“段”是不等長的．[教材答疑][教材P55

思考交流]圖(1)和圖(3)不是函數(shù)圖象，因?yàn)閷τ趚在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y

不能保證都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以y

不是x的函數(shù)．圖(2)是函數(shù)圖象，因?yàn)閷τ趚

在某一范圍內(nèi)的每一確定的值，y

能保證都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以y

是x

的函數(shù)．[基礎(chǔ)自測]1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)解析法可以表示任意的函數(shù)．(

×

)列表法表示

y＝f(x)，y對應(yīng)的那一行數(shù)字可能出現(xiàn)相同的情況．(

√

)分段函數(shù)各段上的自變量的取值范圍的并集為

R.(

×

)(4)在坐標(biāo)平面上，一個圖形就是一個函數(shù)圖象．(

×

)解析：與y軸平行或重合的直線與圖形有兩個或兩個以上的交點(diǎn)時，圖形就不是函數(shù)的圖象，如圓．任何一個函數(shù)都可以用列表法表示．(

×

)函數(shù)的圖象一定是一條連續(xù)不斷的曲線．(

×

)解析：汽車啟動，瞬時速度在變大，所以曲線上升得越來越快；加速行駛過程中，曲線上升得更快；勻速行駛過程中，速度不變，路程均勻增加；減速行駛過程中，瞬時速度在變小，所以曲線上升得越來越慢，故選A.答案：A3．已知函數(shù)f(x)＝x＋1

1

，x<－1，x－1，x>1，則f(2)等于()A．0C．11B.3D．2解析：f(2)＝

2－1＝1.答案：C4．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出．x123f(x)211x123g(x)321則

f(g(1))的值為

．當(dāng)

g(f(x))＝2

時，x＝

.解析：由于函數(shù)關(guān)系是用表格形式給出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：1

1解析：由題意可知，一開始速度較快，后來速度變慢，所以開始曲線比較陡峭，后來曲線比較平緩，又縱軸表示離校的距離，所以開始時距離最大，最后距離為0.答案：D2．已知函數(shù)

f(x)按下表給出，滿足

f(f(x))>f(3)的

x

的值為

．x123f(x)231解析：由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即為f(f(x))>1.∴f(x)＝1

或f(x)＝2，∴x＝3

或1.答案：3

或1解析：由題圖可知，f(x)的圖象是由兩條線段組成的，當(dāng)－1≤x<0

時，設(shè)f(x)＝ax＋b，將(－1,0)，(0,1)代入解析式．得即－a＋b＝0，

a＝1，b＝1，

b＝1，所以f(x)＝x＋1.當(dāng)0≤x≤1

時，f(x)＝－x.所以f(x)的解析式為f(x)＝x＋1，－1≤x<0，－x，0≤x≤1.答案：f(x)＝x＋1，－1≤x<0，－x，0≤x≤1.方法歸納理解函數(shù)的表示法應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示方法，無論用哪種方式表示函數(shù)，都必須滿足函數(shù)的概念．判斷所給圖象、表格、解析式是否表示函數(shù)的關(guān)鍵在于是否滿足函數(shù)的定義．函數(shù)的三種表示方法互相兼容或補(bǔ)充，許多函數(shù)是可以用三種方法表示的，但在實(shí)際操作中，仍以解析法為主．題型二 求函數(shù)的解析式——微點(diǎn)探究微點(diǎn)

1

已知函數(shù)類型求函數(shù)解析式例

1

求函數(shù)的解析式：已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)；已知二次函數(shù)

f(x)滿足

f(0)＝f(4)，且

f(x)＝0

的兩根的平方和為

10，圖象過點(diǎn)(0,3)，求

f(x)．待定系數(shù)法解析：(1)因?yàn)閒(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又因?yàn)閒(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.所以a2＝4，ab＋b＝－1，解得a＝2，1b＝－3或a＝－2，b＝1.1所以f(x)＝2x－3或f(x)＝－2x＋1.(2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)由f(0)＝f(4)及f(0)＝c，得4a＋b＝0f(4)＝16a＋4b＋c，①又圖象過點(diǎn)(0,3)，所以

c＝3

②設(shè)f(x)＝0

的兩實(shí)根分別為x1，x2，1則x

＋x2＝－a，1b

cx

x2＝a，所以x

＋2

21

2

122x

＝(x

＋x

)

－1

22x

x

＝

—a

b2ca－2×

＝10.即

b2－2ac＝10a2

③由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.所以f(x)＝x2－4x＋3.狀元隨筆已知函數(shù)的類型求函數(shù)解析式，常采用待定系數(shù)法，由題設(shè)條件求待定系數(shù)．待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟如下：設(shè)出所求函數(shù)含有待定系數(shù)的解析式．把已知條件代入解析式，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組．解方程或方程組，得到待定系數(shù)的值．

(4)將所求待定系數(shù)的值代回所設(shè)解析式．微點(diǎn)

2

已知

f(g(x))的解析式，求

f(x)的解析．例2

1(1)若fx＝

x

1－x，則當(dāng)x≠0，且x≠1

時，函數(shù)的解析式f(x)＝

；x＋1)＝x＋2x，則

f(x)＝

.(2)已知f(換元法解析：(1)設(shè)t1

1＝x(t≠0，且t≠1)，則x＝

t∴f(t)＝1t1＝1t－1，∴f(x)＝1－

t1x－1(x≠0，且x≠1)．(2)令x＋1＝t(t≥1)，則x＝(t－1)2≥0，∴f(t)＝(t－1)2＋2

(t－1)2＝t2－1(t≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．答案：(1)1x－1(x≠0

且x≠1)(2)x2－1(x≥1)微點(diǎn)3的解析式．

1已知式中含f(x)，fx或f(x)，f(－x)形式的式子，求f(x)

1例

3

已知

f(x)＋2fx＝x(x≠0)，則

f(x)＝

.解方程組法

11

1解析：用x替換式子中的x，可得fx＋2f(x)＝x.于是有

1f(x)＋2fx＝x，

11fx＋2f(x)＝x.解得f(x)＝

2

－x(x≠0)．3x

32

x答案：3x－3(x≠0)狀元隨筆若已知函數(shù)f(x)滿足某個等式，這個等式除含有f(x1x外，還出現(xiàn)其他未知量(如

f

，f(－x)等)，求解此類函數(shù)解析式的1x關(guān)鍵是利用相互代換得到方程組，消去

f(－x)或

f

，進(jìn)而得到函數(shù)f(x)的解析式．跟蹤訓(xùn)練

1 (1)已知

f(x＋1)＝x2－3x＋2，則

f(x)＝

.已知函數(shù)

y＝f(x)是一次函數(shù)，且[f(x)]2－3f(x)＝4x2－10x＋4，則

f(x)＝

.已知函數(shù)f(x)對于任意的x

都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，則f(x)＝

.解析：(1)設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6∴f(x)＝x2－5x＋6.(2)設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)則[f(x)]2－3f(x)＝(kx＋b)2－3(kx＋b)＝k2x2＋(2kb－3k)x＋b2－3b＝4x2－10x＋4k2＝4，所以2kb－3k＝－10，b2－3b＝4，解得b＝4或k＝－2

k＝2，b＝－1.∴f(x)＝－2x＋4

或f(x)＝2x－1.(3)用－x

代x

可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，由f(x)－2f(－x)＝1＋2x，f(－x)－2f(x)＝1－2x.2消去f(－x)得f(x)＝3x－1.答案：(1)x2－5x＋6(2)－2x＋4

或2x－1 (3

2x－1)3題型三 分段函數(shù)問題——微點(diǎn)探究微點(diǎn)

1

分段函數(shù)求值例

4

已知

f(x)＝x2，2x，x＋2，x≤－1，－1<x<2，x≥2.

3

2(1)求

f(－π)，ff

；1(2)若f(a)＝2，求a

的值．解析：(1)∵－π<－1，∴f(－π)＝－π＋2，22

23

323

94∵－1<

<2，∴f

＝

＝

>2，

3

9

2

49

94

2∴ff

＝f

＝2×＝

.(2)分三種情況：13①當(dāng)a≤－1

時，則有a＋2＝2，解得a＝－2，滿足；1②當(dāng)－1<a<2

時，則有a2＝2，解得2a＝±2

，滿足；1③當(dāng)a≥2

時，則有2a＝2，解得a＝41<2，不滿足．綜上所述，a

的值為－2或±23

2.方法歸納分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求得．像本題中含有多層“f”的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理．已知函數(shù)值求相應(yīng)的自變量值時，應(yīng)在各段中分別求解．微點(diǎn)

2

解分段函數(shù)不等式例5

已知函數(shù)f(x)＝x－4，x≥2，2x

－4x＋3，x<2，不等式f(x)<0

的解集是

．解析：當(dāng)x≥2

時，x－4<0，解得2≤x<4.當(dāng)x<2

時，x2－4x＋3<0

解得1<x<2.綜上，f(x)<0

的解集為(1,4)．答案：(1,4)方法歸納解決分段函數(shù)與不等式的問題要注意分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)是分段函數(shù)的分段區(qū)間．先假設(shè)自變量的值在分段函數(shù)定義域的各段上，然后求出在相應(yīng)各段定義域上自變量的取值范圍，最后取并集即可．跟蹤訓(xùn)練

2

(1)已知

f(x)＝x2－1，x≤1，若f(x)＝－1，則x－x＋1，x>1，＝

.解析：(1)當(dāng)x>1

時