中考數(shù)學二輪復習重難點復習題型08 函數(shù)的實際應用 類型四 拋物線型問題（專題訓練）（解析版）

題型八函數(shù)的實際應用類型四拋物線型問題（專題訓練）1.現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段SKIPIF1<0表示水平的路面，以O為坐標原點，以SKIPIF1<0所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據(jù)設計要求：SKIPIF1<0，該拋物線的頂點P到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．(1)求滿足設計要求的拋物線的函數(shù)表達式；(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到SKIPIF1<0的距離均為SKIPIF1<0，求點A、B的坐標．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)題意，設拋物線的函數(shù)表達式為SKIPIF1<0，再代入（0，0），求出a的值即可；（2）根據(jù)題意知，A，B兩點的縱坐標為6，代入函數(shù)解析式可求出兩點的橫坐標，從而可解決問題．(1)依題意，頂點SKIPIF1<0，設拋物線的函數(shù)表達式為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0．解之，得SKIPIF1<0．∴拋物線的函數(shù)表達式為SKIPIF1<0．(2)令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．解之，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運用，由函數(shù)值求自變量的值的運用，解答時求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．2.甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面SKIPIF1<0可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬SKIPIF1<0，橋拱頂點SKIPIF1<0到水面的距離是SKIPIF1<0．

（1）按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達式；（2）一只寬為SKIPIF1<0的打撈船徑直向橋駛來，當船駛到橋拱下方且距SKIPIF1<0點SKIPIF1<0時，橋下水位剛好在SKIPIF1<0處．有一名身高SKIPIF1<0的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設船底與水面齊平）；（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線SKIPIF1<0，該拋物線在SKIPIF1<0軸下方部分與橋拱SKIPIF1<0在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移SKIPIF1<0個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的值隨SKIPIF1<0值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）y=SKIPIF1<0x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的頭頂不會觸碰到橋拱，理由見詳解；（3）5≤m≤8【分析】（1）設二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)x，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=SKIPIF1<0x2+2x，得到對應的y值，進而即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意得到新函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖像，進而即可得到m的范圍．【詳解】（1）根據(jù)題意得：A(8，0)，B(4，4)，設二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：SKIPIF1<0，∴二次函數(shù)的解析式為：y=SKIPIF1<0(x-8)x=SKIPIF1<0x2+2x（0≤x≤8）；（2）由題意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=SKIPIF1<0x2+2x，得y=SKIPIF1<0×12+2×1=SKIPIF1<0＞1.68，答：他的頭頂不會觸碰到橋拱；（3）由題意得：當0≤x≤8時，新函數(shù)表達式為：y=SKIPIF1<0x2-2x，當x＜0或x＞8時，新函數(shù)表達式為：y=-SKIPIF1<0x2+2x，∴新函數(shù)表達式為：SKIPIF1<0，∵將新函數(shù)圖象向右平移SKIPIF1<0個單位長度，∴SKIPIF1<0（m，0），SKIPIF1<0（m+8，0），SKIPIF1<0（m+4，-4），如圖所示，根據(jù)圖像可知：當m+4≥9且m≤8時，即：5≤m≤8時，平移后的函數(shù)圖象在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的值隨SKIPIF1<0值的增大而減小．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，掌握二次函數(shù)的待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)圖像平移和軸對稱變換規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．3.2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運動的極大熱情．如圖是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為SKIPIF1<0軸，過跳臺終點SKIPIF1<0作水平線的垂線為SKIPIF1<0軸，建立平面直角坐標系．圖中的拋物線SKIPIF1<0近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點SKIPIF1<0正上方SKIPIF1<0米處的SKIPIF1<0點滑出，滑出后沿一段拋物線SKIPIF1<0運動．

（1）當運動員運動到離SKIPIF1<0處的水平距離為SKIPIF1<0米時，離水平線的高度為SKIPIF1<0米，求拋物線SKIPIF1<0的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量SKIPIF1<0的取值范圍）；（2）在（1）的條件下，當運動員運動水平線的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為SKIPIF1<0米？（3）當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過SKIPIF1<0米時，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）12米；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）根據(jù)題意可知：點A（0，4）點B（4，8），利用待定系數(shù)法代入拋物線SKIPIF1<0即可求解；（2）高度差為1米可得SKIPIF1<0可得方程，由此即可求解；（3）由拋物線SKIPIF1<0可知坡頂坐標為SKIPIF1<0，此時即當SKIPIF1<0時，運動員運動到坡頂正上方，若與坡頂距離超過SKIPIF1<0米，即SKIPIF1<0，由此即可求出b的取值范圍．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可知：點A（0，4），點B（4，8）代入拋物線SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴拋物線SKIPIF1<0的函數(shù)解析式SKIPIF1<0；（2）∵運動員與小山坡的豎直距離為SKIPIF1<0米，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（不合題意，舍去），SKIPIF1<0，故當運動員運動水平線的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為SKIPIF1<0米；（3）∵點A（0，4），∴拋物線SKIPIF1<0，∵拋物線SKIPIF1<0，∴坡頂坐標為SKIPIF1<0，∵當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過SKIPIF1<0米時，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．【點睛】本題屬二次函數(shù)應用中的難題.解決函數(shù)應用問題的一般步驟為：（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；（3）求模：求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結(jié)論；(4)還原：將用數(shù)學方法得到的結(jié)論還原為實際問題．4.如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標系中，底部邊緣SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，且SKIPIF1<0dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為SKIPIF1<0軸，高度SKIPIF1<0dm．現(xiàn)計劃將此余料進行切割：(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣SKIPIF1<0上且面積最大，求此正方形的面積；(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣SKIPIF1<0上且周長最大，求此矩形的周長；(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為SKIPIF1<0dm的圓，請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)20dm；(3)能切得半徑為3dm的圓．【分析】（1）先把二次函數(shù)解析式求出來，設正方形的邊長為2m，表示在二次函數(shù)上點的坐標，代入即可得到關(guān)于m的方程進行求解；（2）如詳解2中圖所示，設矩形落在AB上的邊DE=2n，利用函數(shù)解析式求解F點坐標，進而表示出矩形的周長求最大值即可；（3）為了保證盡可能截取圓，應保證圓心H坐標為（0，3），表示出圓心H到二次函數(shù)上個點之間的距離與半徑3進行比較即可．(1)由題目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）設二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，∵對稱軸為y軸，∴b=0，將A、C代入得，a=SKIPIF1<0，c=8則二次函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，如下圖所示,正方形MNPQ即為符合題意得正方形，設其邊長為2m，則P點坐標可以表示為（m，2m）代入二次函數(shù)解析式得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去），∴2m=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則正方形的面積為SKIPIF1<0；(2)如下如所示矩形DEFG，設DE=2n，則E（n，0）將x=n代入二次函數(shù)解析式，得SKIPIF1<0，則EF=SKIPIF1<0，矩形DEFG的周長為：2（DE+EF）=2（2n+SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0，當n=2時，矩形的周長最大，最大周長為20dm；(3)如下圖所示，為了保證盡可能截取圓，應保證圓心H坐標為（0，3），則圓心H到二次函數(shù)上個點之間的距離為SKIPIF1<0，∴能切得半徑為3dm的圓．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何結(jié)合，熟練掌握各圖形的性質(zhì)，能靈活運用坐標與線段長度之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．5.跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，基準點K到起跳臺的水平距離為SKIPIF1<0，高度為SKIPIF1<0（h為定值）．設運動員從起跳點A起跳后的高度SKIPIF1<0與水平距離SKIPIF1<0之間的函數(shù)關(guān)系為SKIPIF1<0．(1)c的值為__________；(2)①若運動員落地點恰好到達K點，且此時SKIPIF1<0，求基準點K的高度h；②若SKIPIF1<0時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為__________；(3)若運動員飛行的水平距離為SKIPIF1<0時，恰好達到最大高度SKIPIF1<0，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．【答案】(1)66(2)①基準點K的高度h為21m；②b＞SKIPIF1<0；(3)他的落地點能超過K點，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)起跳臺的高度OA為66m，即可得c＝66；（2）①由a＝﹣SKIPIF1<0，b＝SKIPIF1<0，知y＝﹣SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x+66，根據(jù)基準點K到起跳臺的水平距離為75m，即得基準點K的高度h為21m；②運動員落地點要超過K點，即是x＝75時，y＞21，故﹣SKIPIF1<0×752+75b+66＞21，即可解得答案；（3）運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，即是拋物線的頂點為（25，76），設拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，可得拋物線解析式為y＝﹣SKIPIF1<0（x﹣25）2+76，當x＝75時，y＝36，從而可知他的落地點能超過K點．(1)解：∵起跳臺的高度OA為66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案為：66；(2)解：①∵a＝﹣SKIPIF1<0，b＝SKIPIF1<0，∴y＝﹣SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x+66，∵基準點K到起跳臺的水平距離為75m，∴y＝﹣SKIPIF1<0×752+SKIPIF1<0×75+66＝21，∴基準點K的高度h為21m；②∵a＝﹣SKIPIF1<0，∴y＝﹣SKIPIF1<0x2+bx+66，∵運動員落地點要超過K點，∴當x＝75時，y＞21，即﹣SKIPIF1<0×752+75b+66＞21，解得b＞SKIPIF1<0，故答案為：b＞SKIPIF1<0；(3)解：他的落地點能超過K點，理由如下：∵運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，∴拋物線的頂點為（25，76），設拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣SKIPIF1<0，∴拋物線解析式為y＝﹣SKIPIF1<0（x﹣25）2+76，當x＝75時，y＝﹣SKIPIF1<0×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地點能超過K點．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能根據(jù)題意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．6.根據(jù)以下素材，探索完成任務．如何設計拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬SKIPIF1<0，拱頂離水面SKIPIF1<0．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲SKIPIF1<0達到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛SKIPIF1<0長的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于SKIPIF1<0；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為SKIPIF1<0；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．問題解決任務1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式．任務2探究懸掛范圍在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的最小值和橫坐標的取值范圍．任務3擬定設計方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標．【答案】任務一：見解析，SKIPIF1<0；任務二：懸掛點的縱坐標的最小值是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；任務三：兩種方案，見解析【分析】任務一：根據(jù)題意，以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標系，待定系數(shù)法求解析式即可求解；任務二：根據(jù)題意，求得懸掛點的縱坐標SKIPIF1<0，進而代入函數(shù)解析式即可求得橫坐標的范圍；任務三：有兩種設計方案，分情況討論，方案一：如圖2（坐標系的橫軸，圖3同），從頂點處開始懸掛燈籠；方案二：如圖3，從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為SKIPIF1<0，根據(jù)題意求得任意一種方案即可求解．【詳解】任務一：以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標系，則頂點為SKIPIF1<0，且經(jīng)過點SKIPIF1<0．設該拋物線函數(shù)表達式為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴該拋物線的函數(shù)表達式是SKIPIF1<0．任務二：∵水位再上漲SKIPIF1<0達到最高，燈籠底部距離水面至少SKIPIF1<0，燈籠長SKIPIF1<0，∴懸掛點的縱坐標SKIPIF1<0，∴懸掛點的縱坐標的最小值是SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴懸掛點的橫坐標的取值范圍是SKIPIF1<0．任務三：有兩種設計方案方案一：如圖2（坐標系的橫軸，圖3同），從頂點處開始懸掛燈籠．∵SKIPIF1<0，相鄰兩燈籠懸掛點的水平間距均為SKIPIF1<0，∴若頂點一側(cè)掛4盞燈籠，則SKIPIF1<0，若頂點一側(cè)掛3盞燈籠，則SKIPIF1<0，∴頂點一側(cè)最多可掛3盞燈籠．∵掛滿燈籠后成軸對稱分布，∴共可掛7盞燈籠．∴最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是SKIPIF1<0．方案二：如圖3，從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為SKIPIF1<0，∵若頂點一側(cè)掛5盞燈籠，則SKIPIF1<0，若頂點一側(cè)掛4盞燈籠，則SKIPIF1<0，∴頂點一側(cè)最多可掛4盞燈籠．∵掛滿燈籠后成軸對稱分布，∴共可掛8盞燈籠．∴最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意建立坐標系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.公路上正在行駛的甲車，發(fā)現(xiàn)前方20m處沿同一方向行駛的乙車后，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的關(guān)系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示，其圖象如圖所示．（1）當甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是多少？（2）若乙車以10m/s的速度勻速行駛，兩車何時相距最近，最近距離是多少？【答案】（1）87.5m；（2）6秒時兩車相距最近，最近距離是2米【分析】（1）根據(jù)圖像分別求出一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；（2）分析得出當v=10m/s時，兩車之間距離最小，代入計算即可．【詳解】解：（1）由圖可知：二次函數(shù)圖像經(jīng)過原點，設二次函數(shù)表達式為SKIPIF1<0，一次函數(shù)表達式為SKIPIF1<0，∵一次函數(shù)經(jīng)過（0，16），（8，8），則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴一次函數(shù)表達式為SKIPIF1<0，令v=9，則t=7，∴當t=7時，速度為9m/s，∵二次函數(shù)經(jīng)過（2，30），（4，56），則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴二次函數(shù)表達式為SKIPIF1<0，令t=7，則s=SKIPIF1<0=87.5，∴當甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是87.5m；（2）∵當t=0時，甲車的速度為16m/s，∴當10＜v＜16時，兩車之間的距離逐漸變小，當0＜v＜10時，兩車之間的距離逐漸變大，∴當v=10m/s時，兩車之間距離最小，將v=10代入SKIPIF1<0中，得t=6，將t=6代入SKIPIF1<0中，得SKIPIF1<0，此時兩車之間的距離為：10×6+20-78=2m，∴6秒時兩車相距最近，最近距離是2米．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的實際應用，理解題意，讀懂函數(shù)圖像，求出表達式是解題的基本前提．8.如今我國的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分成熟．小明家的菜地上有一個長為16米的蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體SKIPIF1<0處，另一端固定在離地面高2米的墻體SKIPIF1<0處，現(xiàn)對其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標系．已知大棚上某處離地面的高度SKIPIF1<0（米）與其離墻體SKIPIF1<0的水平距離SKIPIF1<0（米）之間的關(guān)系滿足SKIPIF1<0，現(xiàn)測得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩墻體之間的水平距離為6米．圖2（1）直接寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）求大棚的最高處到地面的距離；（3）小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為SKIPIF1<0米的竹竿支架若干，已知大棚內(nèi)可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準備多少根竹竿？【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0米；（3）352【分析】（1）根據(jù)題意，可直接寫出點A點B坐標，代入SKIPIF1<0，求出b、c即可；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式直接求頂點坐標即可；（3根據(jù)SKIPIF1<0，先求得大棚內(nèi)可以搭建支架的土地的寬，再求得需搭建支架的面積，最后根據(jù)每平方米需要4根竹竿計算即可．【詳解】解：（1）由題意知點A坐標為SKIPIF1<0，點B坐標為SKIPIF1<0，將A、B坐標代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，可得當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，即大棚最高處到地面的距離為SKIPIF1<0米；（3）由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，可知大棚內(nèi)可以搭建支架的土地的寬為SKIPIF1<0（米），又大棚的長為16米，故需要搭建支架部分的土