第二章一元二次函數(shù)方程和不等式總結(jié)

章末總結(jié)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群3500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，永不過期網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合題型歸納·素養(yǎng)提升網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合題型歸納·素養(yǎng)提升題型一 數(shù)或式比較大小問題[例1]已知a<b<c,試比較a2b+b2c+c2a與ab2+bc2+ca2的大小.解:a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)=(a2b-ab2)+(b2c-bc2)+(c2a-ca2)=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=ab(a-b)+bc[(b-a)+(a-c)]+ca(c-a)=ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a)=b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a)=(a-b)(a-c)(b-c).因為a<b<c,所以a-b<0,a-c<0,b-c<0,所以(a-b)(a-c)(b-c)<0.所以a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.規(guī)律總結(jié)數(shù)或式比較大小的方法

(1)作差或作商比較法.

(2)找中間量來比較,往往找1或0.(3)特值法,對相關(guān)的式子賦值計算得出結(jié)果.

(4)數(shù)形結(jié)合法,畫出相應(yīng)的圖形,直觀比較大小.????

??????

??跟蹤訓(xùn)練

1:已知

a>0,b>0,且

a≠b,比較

+ 與

a+b

的大小.????

??????

??????????????解:因為(

+ )-(a+b)= -b+ -a=+????-????

????-??????

????

??2

2

2

2=(a

-b

)(

-

)=(a

-b

)=??-??

(??-??)??(??+??)??

??

????

????,因為a>0,b>0,且a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,??

??????

????

????

??????

??所以(

+ )-(a+b)>0,即

+

>a+b.題型二 不等式的性質(zhì)及應(yīng)用)[例2](1)(多選題)(2021·連云港期中)若a>b>0,則((A)ac2≥bc2

(B)a2<ab<b2(C)??????<√????

(D)??>????+??

??

??解析:(1)因為a>b>0,所以ac2-bc2=(a-b)c2≥0,即ac2≥bc2,故選項A正確;

又a2-ab=a(a-b)>0,所以a2>ab,故選項B錯誤;因為a>b>0,所以a+b>2√????,所以??????<

??????

=√????,故選項C

正確;又??-??=??-??

以??<??,故選項D

錯誤,故選AC.<0,所??+??

??√????

??

??

????

??

??解析:(2)由于2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以a2+b2≥??(a+b)2,故A正確;??B中,當(dāng)a=-1時顯然不成立,B錯誤;C中,a=1,b=-1顯然有??>??,但a>b,C錯誤;??

??D中,若a<b<0,c<d<0,則-a>-b>0,-c>-d>0,則根據(jù)不等式的性質(zhì)可知ac>bd>0,故D正確.故選AD.(2)(多選題)已知a,b,c,d是實數(shù),則下列一定正確的有()2

2(A)a

+b

≥(??+??)??

????

??(B)a+

≥2??

??(C)若??>??,則

a<b (D)若

a<b<0,c<d<0,則

ac>bd規(guī)律總結(jié)應(yīng)用時容易出錯的不等式的性質(zhì)

(1)同向不等式可以相加,異向不等式可以相減.若a>b,c>d,則a+c>b+d,若a>b,c<d,則a-c>b-d;但異向不等式不可以相加,同向不等式不可以相減.(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;異向不等式可以相除,但不能相乘.若a>b>0,c>d>0,則ac>bd;若a>b>0,0<c<d,則??>??.??

??(3)左右同正不等式:兩邊可以同時乘方或開方.若a>b>0,則an>bn

或??√??>??√??.(4)若ab>0,a>b,則??<??,若ab<0,a>b,則??>??.??

??

??

??跟蹤訓(xùn)練2:(1)(多選題)如果a,b,c滿足c<b<a且ac<0,那么下列選項中一定)成立的是(

(A)ab>ac(C)cb2<ab2(B)c(b-a)>0(D)ac(a-c)<0解析:(1)因為c<a,且ac<0,所以c<0,a>0.選項A成立,因為c<b,所以ac<ab,即ab>ac.選項B成立,因為b<a,b-a<0,所以c(b-a)>0.選項C不一定成立,當(dāng)b=0時,cb2<ab2不成立.選項D成立,因為c<a,所以a-c>0,所以ac(a-c)<0.故選ABD.答案:(1)ABD??????(2)已知

2<a<3,-2<b<-1,則

t=ab

的取值范圍是

,s=

的取值范圍是

.解析:(2)因為-2<b<-1,所以1<-b<2.又因為2<a<3,所以2<-ab<6,所以-6<ab<-2.因為-2<b<-1,所以1<b2<4.??

??

??

????????

??

??

??

??因為

2<a<3,所以

<

<

,所以

<

<2.??答案:(2){t|-6<t<-2}

{s|??<s<2}題型三 利用基本不等式求最值問題[例3]

(1)(多選題)(2020·蘇州相城區(qū)陸慕高級中學(xué)高二期中)已知a,b均為正實數(shù),且a+b=1,則(

)(A)a2+b2

的最小值為????(B)ab+

??

的最小值為2????(C)√??+√??的最大值為√????

??(D)??+??的最大值為4解析:(1)對于A,因為a>0,b>0,a+b=1,所以a2+b2≥??(a+b)2=??,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=??等號成立,??

??

??故A正確;對于B,由已知得

0<ab≤???+?????=??,??

??所以

ab+

=?? ????????+??

(??-????

????

??????????

????

????

??

??=

)+2≥4(??-)+2=

,故B錯誤;????對于C,由(√??+√??)≤2(a+b)=2得,√??+√??≤√??,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=??等號成立,故C正確;對于D,由已知得??+??=(??+??)(a+b)=2+??+??≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=??等號成立,故??+??的最小??

?? ??

?? ??

??

?? ??

??值為4,故D錯誤.故選AC.答案:(1)AC=當(dāng)且僅當(dāng)??(??-????)??·????????

??-????????,即x=時取等號.故當(dāng)x=??時,f(x)取得最小值????.??

??(2)(2020·蘇州新草橋中學(xué)月考)函數(shù)

f(x)=

??

+

??

(0<x<3)中,當(dāng)

x=

時

f(x)取得??-??

????最小值,為

.解析:(2)因為0<x<3,所以6-2x>0,所以

f(x)=

??

+

??

=??(6-2x+2x)(

??

+

??

)=??[13+??(??-????)+??·????]≥??(13+2√????)=????.??-????

????

??

??-????

????

??

????

??-????

??

??答案:(2)????????

??規(guī)律總結(jié)利用基本不等式求最值的方法??一般用a+b≥2√????(a>0,b>0)解“定積求和,和最小”問題,用ab≤(??+??)2

解“定和求積,積最大”問題.跟蹤訓(xùn)練

3:(1)(多選題)(2020·漣水縣一中高一月考)下列命題中正確的是(

)??(A)當(dāng)x>1時,x+??的最小值為2??(B)當(dāng)x<0時,x+??≤-2√??(C)當(dāng)0<x<1時,√??+

??

的最小值為2√??(D)當(dāng)x≥2時,√??+

??

≥2√??解析:(1)對于A,當(dāng)x>1時,x+??≥2???·

??=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時,等號成立,??

????所以當(dāng)x>1時,x+??>2,故A錯誤;對于B,當(dāng)x<0時,x+??=-[-x+(-??)]≤-2?-??·(-??)=-2,??

??

??當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時,等號成立,故B正確;對于C,當(dāng)0<x<1時,√??+

??

≥2?√??·

??

=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時,等號成立,√??

√??√??所以當(dāng)0<x<1時,√??+

??

>2,故C錯誤;對于D,當(dāng)x≥2時,√??+

??

≥2?√??·

??

=2√??,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時,等號成立,√??

√??故D正確.故選BD.答案:(1)BD??

??當(dāng)且僅當(dāng)??=????,即?????

=

??

,??

=

????時取等號;??

??由??+??=??-??

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????

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=

+

-1=(x+y)(

+

)-1=1+1+

+

-1≥1+2?

·

=3,??

????

??當(dāng)且僅當(dāng)??=??,即?????

=

??

,??

=

????時取等號.(2)(2020·山東高二期末)已知正數(shù)

x,y

滿足

x+y=1,則??+??的最小值等于

;??+??的最小值等??

?? ??

??于

.解析:(2)由??+??=(x+y)(??+??)=1+4+??+????≥5+2???

·

????=9,??

?? ??

??

??

??

??

??答案:(2)9

3題型四 一元二次不等式及其應(yīng)用[例4](1)(2020·全國Ⅰ卷)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},)則A∩B等于(

(A){-4,1}(C){3,5}(B){1,5}(D){1,3}解析:(1)由x2-3x-4<0解得-1<x<4,所以A={x|-1<x<4},又因為B={-4,1,3,5},所以A∩B={1,3}.故選D.答案:(1)D(2)若f(x)=???????-??????+??+??對任意實數(shù)x都成立,則實數(shù)k的取值范圍是

.解析:(2)當(dāng)k=0時,8>0成立.??

≤

??當(dāng)k≠0時,只需???>

??,????

>

??,????????-????(??+

??)

≤

??,則0<k≤1.綜上可知0≤k≤1.答案:(2){k|0≤k≤1}規(guī)律總結(jié)(1)一元二次不等式常與集合運算相結(jié)合.

(2)三個二次之間的關(guān)系是解決一元二次不等式問題的關(guān)鍵.(3)含參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題是常見題型,關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化與合理分類.構(gòu)造函數(shù)法與判別式、根與系數(shù)的關(guān)系是常見思考方向.(4)高次不等式、分式不等式要等價轉(zhuǎn)化.跟蹤訓(xùn)練4:(1)已知不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-1<x<2},則a+b的值為()(A)1(B)-1(C)0(D)-2解析:(1)易知???

<

??,-????=

-??

+

??

=

??,????

=

-??

×

??????

=

-??,??

=

??所以a+b=0.故選C.答案:(1)C??(2)設(shè)

a<-1,則關(guān)于

x

的不等式

a(x-a)(x-??)<0

的解集為

.解析:(2)因為a<-1,所以a(x-a)·(x-??)<0?(x-a)·(x-??)>0.又a<-1,所以??

????>a,所以x>??或x<a.??

????答案:(2){x|x<a或x>??}題型五 一元二次不等式與基本不等式的實際應(yīng)用[例5](2020·湖北武漢二中高一期中)某公司銷售一批新型削筆器,該削筆器原來每個售價15元,年銷售18萬個.

(1)據(jù)市場調(diào)查,若一個削筆器的售價每提高1元,年銷售量將相應(yīng)減少2

000個,要使年銷售總收入不低于原收入,該削筆器每件售價最多為多少元?解:(1)設(shè)每件零售價為x元,由題意可得[18-0.2(x-15)]x≥15×18,即x2-105x+15×90≤0,(x-15)(x-90)≤0,所以15≤x≤90.故要使年銷售總收入不低于原收入,該削筆器每件售價最多為90元.(2)為了提高年銷售量,公司立即對該削筆器進行技術(shù)革新和銷售策略改革,并提高售價到x元.公司計劃投入??x2

萬元作為技改費用,投入30萬元作為固定宣傳??費用.試問:技術(shù)革新后,該削筆器的年銷售量t至少達到多少萬個時,才能使革新后的年銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求此時每個削筆器售價.??解:(2)當(dāng)x>15時,tx≥15×18+30+??x2

有解,??

??當(dāng)x>15時,t≥??????+??有解.??

??

??

??因為??????+??≥2√??????=20,當(dāng)且僅當(dāng)??????=??,即x=30時等號成立,所以t≥20,因此,該削筆器的年銷售量t至少達到20萬個時,才能使革新后的年銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時每個削筆器售價30元.規(guī)律總結(jié)本例主要考查一元二次不等式與基本不等式的實際應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).第(1)問根據(jù)已知條件列出關(guān)于x的一元二次不等式,求出解集即可確定出定價最多時對應(yīng)的數(shù)值;第(2)問,

解答的關(guān)鍵有兩點