八年級數(shù)學培優(yōu)專題講解《勾股定理》

PAGEPAGE4八年級數(shù)學培優(yōu)專題講解《勾股定理》【培優(yōu)圖解】【技法透析】勾股定理是幾何中重要的定理之一，它是把直角三角形的“形”與三邊關系這一“數(shù)”結合起來，是數(shù)形結合思想方法的典范．1．勾股定理反逆定理的應用主要用于計算和證明等．2．勾股數(shù)的推算公式①若任取兩個正整數(shù)m、n(m>n)，那么m2－n2，2mn，m2＋n2是一組勾股數(shù)．②如果k是大于1的奇數(shù)，那么k，，是一組勾股數(shù)．③如果k是大于2的偶數(shù)，那么k，，是一組勾股數(shù)，④如果a，b，c是勾股數(shù)，那么na，nb，nc(n是正整數(shù))也是勾股數(shù)．3．創(chuàng)設勾股定理運用條件當勾股定理不能直接運用時，常需要通過等線段代換、作輔助線段等途徑，為勾股定理的運用創(chuàng)造必要的條件，有時又需要由線段的數(shù)量關系去判斷線段的位置關系．在有等邊三角形、正方形的條件下，可將圖形旋轉60°或90°，旋轉過程中角度、線段的長度保持不變，在新的位置上分散條件相對集中，以便挖掘隱含條件，探求解題思路．【名題精講】考點1運用勾股定理解有關＂折疊＂問題例1如圖，折疊長方形ABCD一邊，點D落在BC邊的點F處，若AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的長．【切題技巧】由圖形易知△ADF≌△AFE，從而AD＝AF，DE＝EF．先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF，再在Rt△EFC中由勾骰定理列方程可求EC的長．【規(guī)范解答】【借題發(fā)揮】圖形折疊問題一般是“全等形”，或“等腰三角形”等對稱圖形問題，勾股定理是常常用到的計算方法，體現(xiàn)了勾股定理作為主要計算工具在解決與直角三角形相關圖形變換的綜合題中的具體應用．【同類拓展】1．把一張長方形紙片(長方形ABCD)按如圖17－2所示的方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，則重疊部分△DEF的面積是_______cm2．考點2運用勾股定理的逆定理求角度例2如圖，在正方形ABCD中，PA＝1，PB＝2，PC＝3，P在正方形內部，試求∠APB的度數(shù)． 【切題技巧】 【規(guī)范解答】考點5勾股定理在實際問題中應用例5如圖(1)，護城河在CC'處直角轉彎，寬度保持4米，從A處往B處，經(jīng)過兩座橋：DD'、EE'．設護城河是東西——南北方向的，A、B在東西向相距64米，南北方向相距84米，恰當?shù)丶芎涌墒笰D、D'E'、EB的路程最短，這個最短距離是_______米．【切題技巧】要判斷最短路程，需先確定兩座橋的位置，確定橋的位置后，再根據(jù)護城河的直角轉彎形成的直角三角形利用勾股定理求解．【規(guī)范解答】如圖(2)，作AA'⊥CD，AA'＝DD'，BB'⊥CE，BB'＝EE'，則折線ADD'E'EB的長度等于折線AA，D'E'B'B的長度，即等于折線A'D'E'B'的長度＋AA'＋BB'．而折線A'D'E'B'以線段A'B'最短，故題目所求最短路程S＝A'B'＋8，而A'、B'在東西方向上相距為64－4＝60（米），在南北方向上相距84－8＝80（米）由勾股定理可知，A'B'＝＝100(米)，S＝108（米）【借題發(fā)揮】實際問題中，最短路程問題等常常在構造直角三角形后，利用勾股定理計算求解．5．如圖所示的長方體是某種飲料的紙質包裝盒，規(guī)格為5×6×10(單位：cm)，在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為13cm，小孔到圖中邊AB距離為1cm，到上蓋中與AB相鄰的的兩邊距離相等，設插入吸管后露在盒外面的長為hcm，則h的最小值大約為_______cm．（精確到個位，參考數(shù)據(jù)：＝1.4，＝1.7，＝2.2）．考點6勾股定理與函數(shù)的綜合問題例6如圖①，在平面直角坐標系中，雙曲線y＝與直線y＝交于點A、B．(1)求AB的長．(2)若點P是第一象限雙曲線上一動點，如圖②所示，BC⊥AP于點C，交x軸于點F，AP交y軸于點E，試判斷的值是否為定值？并加以證明．【切題技巧】(1)因為A、B為雙曲線與直線的交點，所以只需將兩個已知函數(shù)的解析式成方程組，它們的解即交點A、B的坐標．(2)從結論入手，聯(lián)想勾股定理，通過作輔助線將AE、BF、EF這三條線段轉移到同一直角三角形中．【規(guī)范解答】【借題發(fā)揮】(1)當題目中涉及線段平方時應聯(lián)想到勾股定理，若這些線段不在直角三角形中則應添加輔助線，將分散的線段集中在同一直角三角形中，本題還可以過點B作BN∥AE交y軸于點N，將三條線段收集在Rt△BNF中，如圖17－11③所示．(2)利用“中點”能構成多種輔助線，要根據(jù)題目的需要進行構造．【同類拓展】6．已知△OMN中，OM＝ON，∠MON＝90°，點B為MN的延長線上一點，OC⊥OB．且OC＝OB，OG⊥BC于G，交MN于點A．(1)如圖①所示，①求證：∠CMB＝90°；②求證：AM2＋BN2＝AB2；(2)如圖②，在條件(1)上，過A作AE⊥OM于E，過B作BF⊥ON于F，EA、BF的延長線交于點P，則PA、AE、BF之間的數(shù)量關系為_______；△AME、△PAB、△BFN的面積之間的關系為_______．(3)如圖③，在條件(2)下，分別以OM