2021年黑龍江省哈爾濱市阿城第八中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2021年黑龍江省哈爾濱市阿城第八中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（），所以位于第一象限。故選A。

2.命題“若，則”的逆否命題是（

）A．若，則.

B.若，則.C．若，則.

D.若，則.參考答案：C3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．12+4 B．12 C． D．8參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖還原原圖形如圖，然后利用三角形面積公式求解．【解答】解：由三視圖可得原幾何體如圖，AB=BC=BE=DF=2，則△AEC與△AFC邊AC上的高為，∴該幾何體的表面積為S==．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的三視圖，由三視圖還原原圖形是關(guān)鍵，是中檔題．4.某校高二年級(jí)航模興趣小組共有10人，其中有女生3人，現(xiàn)從這10人中任意選派2人去參加一項(xiàng)航模比賽，則有女生參加此項(xiàng)比賽的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A“恰有一名女生當(dāng)選”為事件A，“恰有兩名女生當(dāng)選”為事件B，顯然A、B為互斥事件．從10名同學(xué)中任選2人共有10×9÷2=45種選法（即45個(gè)基本事件），而事件A包括3×7個(gè)基本事件，事件B包括3×2÷2=3個(gè)基本事件，故P=P（A）+P（B）=+==故選：A．

5.設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的斜率是（

）A

B

C．

D

參考答案：C6.已知函數(shù)f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在實(shí)數(shù)x0，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，則ω的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)；兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】由題意可得區(qū)間[x0，x0+2016π]能夠包含函數(shù)的至少一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間，利用兩角和的正弦公式求得f（x）=sin（2ωx+）+，再根據(jù)2016π≥?，求得ω的最小值．【解答】解：由題意可得，f（x0）是函數(shù)f（x）的最小值，f（x0+2016π）是函數(shù)f（x）的最大值．顯然要使結(jié)論成立，只需保證區(qū)間[x0，x0+2016π]能夠包含函數(shù)的至少一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間即可．又f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）=sin2ωx+=sin（2ωx+）+，故2016π≥?，求得ω≥，故則ω的最小值為，故選：D．7.直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線固定在，兩點(diǎn)，D點(diǎn)在直線上移動(dòng)，則B點(diǎn)軌跡所在的方程為

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A9.已知正方體，點(diǎn)，，分別是線段，和上的動(dòng)點(diǎn)，觀察直線與，與．給出下列結(jié)論：

①對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；

②對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；

③對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；

④對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)參考答案：B10.若函數(shù)f（x）=lnx+（a∈N）在（1，3）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得f′（1）f′（3）＜0，進(jìn)而驗(yàn)證a=4與a=時(shí)是否符合題意，即可求答案．【解答】解：f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=﹣，當(dāng)f′（1）f′（3）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，即為（1﹣a）（﹣a）＜0，解得4＜a＜；當(dāng)a=4時(shí)，f′（x）=﹣=0，解得x=1?（1，3），當(dāng)a=時(shí)，f′（x）=﹣=0在（1，3）上無(wú)實(shí)根，則a的取值范圍是4＜a＜，且a∈N，即為a=5．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在一座20m高的觀測(cè)臺(tái)頂測(cè)得地面一水塔塔頂仰角為60°，塔底俯角為45°，那么這座塔的高為

m．參考答案：20（1+）【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】在直角三角形ABD中根據(jù)BD=ADtan60°求得BD，進(jìn)而可得答案．【解答】解析：如圖，AD=DC=20．∴BD=ADtan60°=20．∴塔高為20（1+）m．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．12.已知點(diǎn)P（2，1），若拋物線y2=4x的一條弦AB恰好是以P為中點(diǎn)，則弦AB所在直線方程是．參考答案：2x﹣y﹣3=0【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專題】計(jì)算題．【分析】先設(shè)出直線方程，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程整理可得A，B的橫坐標(biāo)與直線的斜率之間的關(guān)系式，結(jié)合弦AB恰好是以P為中點(diǎn)，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線方程．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB所在直線方程為：y﹣1=k（x﹣2）即y=kx+1﹣2k聯(lián)立整理得k2x2+[2k（1﹣2k）﹣4]x+（1﹣2k）2=0．所以有x1+x2=﹣∵弦AB恰好是以P為中點(diǎn)，∴﹣=4解得k=2．所以直線方程為y=2x﹣3，即2x﹣y﹣3=0．故答案為：2x﹣y﹣3=0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵在于利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及韋達(dá)定理得到關(guān)于直線的斜率的等式．13.對(duì)于回歸方程y=4.75x+2.57,當(dāng)x=28時(shí),y的估計(jì)值是___________.參考答案：135.57∵回歸方程y=4.75x+2.57，∴當(dāng)x=28時(shí)，y的估計(jì)值是4.75×28+2.57=135.57．故答案為：135.57．14.，則

．參考答案：201215.命題“存在，使”是假命題，則m的取值范圍是

.參考答案：m＞由題意得命題“存在，使”的否定為“任意，使”且為真命題，即在R上恒成立，∴，解得．16.復(fù)數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a=_________．參考答案：-3略17.已知橢圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），則此橢圓的焦距為______.參考答案：8【分析】由橢圓的參數(shù)方程可得橢圓的普通方程，可得橢圓的焦距.【詳解】解：由橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），可得橢圓的普通方程為，可得，可得焦距為，故答案：8.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化及橢圓的性質(zhì)，相對(duì)簡(jiǎn)單.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分10分）如圖，正方體中，分別為，中點(diǎn)，（1）求證：平面；[來(lái)源:]（2）求異面直線與所成角的大?。畢⒖即鸢福海?）略;（2）.19.等差數(shù)列{an}中，a7=4，a19=2a9（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）先設(shè)出等差數(shù)列{an}的公差為d，然后由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及題意列出方程，求出首項(xiàng)a1和公差d，進(jìn)而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）將（1）中所求的{an}的通項(xiàng)公式代入，即可求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求出其前n項(xiàng)和Sn即可．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由an=a1+（n﹣1）d得：解得，所以{an}的通項(xiàng)公式為，（2）因?yàn)?，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消法，屬于中檔題．20.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（1）求證：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）在線段BC1上是否存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（1）證明AA1⊥AC．利用平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC，推出結(jié)果．（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面A1BC1的法向量，平面BB1C1的法向量，利用向量的數(shù)量積求解二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值．（3）設(shè)D（x，y，z）是直線BC1上一點(diǎn)，且=．求出=（4λ，3﹣3λ，4λ）．通過(guò)，求出．推出結(jié)果．【解答】解：（1）因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA1⊥AC．因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC，所以AA1⊥平面ABC．…．（2）由（I）知AA1⊥AC，AA1⊥AB．由題知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC．如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4），=（0，3，﹣4），=（4，0，0）設(shè)平面A1BC1的法向量為=（x，y，z），則，即，令z=3，則x=0，y=4，所以=（0，4，3）．同理可得，平面BB1C1的法向量為=（3，4，0），所以cos==．由題知二面角A1﹣BC1﹣B1為銳角，所以二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值為．…（3）設(shè)D（x，y，z）是直線BC1上一點(diǎn)，且=．所以（x，y﹣3，z）=λ（4，﹣3，4）．解得x=4λ，y=3﹣3λ，z=4λ．所以=（4λ，3﹣3λ，4λ）．由，即9﹣25λ=0．解得．因?yàn)椤剩?，1），所以在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B．此時(shí)，=λ=．…21.解關(guān)于x的不等式：ax2－2≥2x－ax

(其中a≥0且為常數(shù)).參考答案：原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0(ax－2)(x＋1)≥0.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x＋1≤0x≤－1.(2)當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式化為(x＋1)≥0x≥或x≤－1；綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為(－∞，－1］；當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式的解集為(－∞，－1］∪22.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）證明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直線A1B和平面A1B1CD所成的角．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）要證BC1⊥面A1B1CD；應(yīng)通過(guò)證明A1B1⊥BC1．BC1⊥B1C兩個(gè)關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)，兩關(guān)系容易證明．（2）因?yàn)锽C1⊥平面A1B1CD，所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，所以∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．在RT△A1BO中求解即可．【解答】解：（1）連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接A1O．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中因?yàn)锳1B