信息安全數(shù)學基礎(chǔ)(許春香)習題答案

信息安全數(shù)學基礎(chǔ)(許春香)習題答案第一章（1）5,4,1,5.（2）100=22*52,3288=23*3*137.（4）多種解法，其中一種：a,b可以表示成多個素因子的乘積a=p1p2––pr,b=q1q2––qs，又因為(a,b)=1，表明a,b沒有公共(相同)素因子.同樣可以將an,bn表示為多個素因子相乘an=(p1p2––pr)n,bn=(q1q2––qs)n明顯an,bn也沒有公共(相同)素因子.（5）多種解法，其中一種：由算術(shù)基本定理：a,b可分解為有限個素數(shù)的乘積。得：a=p1^r1*p2^r2*……*pn^rn,b=p1^r1’*p2^r2’*……*pn^rn’,若a|b不成立，則存在素數(shù)pi使得pi在a中的冪ri大于pi在b中的冪ri‘，即：ri>ri’a^n=p1^r1n*p2^r2n*…*pi^rin*…*pn^rnn,b^n=p1^r1’n*p2^r2’n*…*pi^ri’n*…*pn^rn’n，則ri*n>ri’*n，所以a^n|b^n不成立。（6）多種解法，其中一種：由于a,b,c互素且非零所以(a,b)=1,(b,c)=1所以存在u,v,r,s使ua+vc=1，rb+sc=1兩式相乘得：(ur)ab+(usa+vrb+vsc)c=1所以(ab,c)=(a,b)(a,c)=1（11）對兩式進行變形有21=0(modm),1001=0(modm)，可以看出要求滿足的m即使求21和1001的公約數(shù),為7和1.（12）多種解法，其中一種：70！=(70*69*68*67*66*65*64*63*62)*61!70*69*68*67*66*65*64*63*62≡(-1)(-2)…(-9)(mod71)≡1mod71所以70！≡61!（13）多種解法，其中一種：當n是奇數(shù)時，不妨設(shè)n=2k+1,k為整數(shù)則2^n+1≡(-1)^(2k+1)+1≡0(mod3)當n是偶數(shù)時，不妨設(shè)n=2k,k為整數(shù)則2^n+1≡(-1)^(2k)+1≡2(mod3)綜上，n是奇數(shù)時，3整除2^n+1，n是偶數(shù)時，3不整除2^n+1（14）第一個問題：因為(c,m)=d.假設(shè)ac=k1m+r,bc=k2m+r，有ac=k1d(m/d)+r,bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(modm/d)，因為(c,m/d)=1，所以兩邊可以同除以一個c,所以結(jié)論成立.第二個問題：因為a=b(modm),所以a-b=ki*mi，a-b是任意mi的倍數(shù)，所以a-b是mi公倍數(shù)，所以[mi]|a-b.（15）將整數(shù)每位數(shù)的值相加,和能被3整除則整數(shù)能被3整除,和能被9整除則整數(shù)能被9整除,(1)能被3整除,不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能常見問題：1.寫出構(gòu)成群和不構(gòu)成群的原因13.證明ab-1∈A∩B即可14.用群的定義證明(題意是證明映射后的集合為一個群)第二章1.判斷方法：分別驗證1.對運算是否封閉,2.對任意的a,b,c是否滿足結(jié)合律,3.對任意a是否存在單位元,4.對任意a是否存在逆元.可以得出在(1)-(10)中(2),(3),(6),(7)(10)構(gòu)成群(1)不滿足結(jié)合律，不存在逆元,(4)不存在單位元(5)不滿足結(jié)合律(8)不構(gòu)成，不存在逆元(9)不構(gòu)成，不存在逆元2.a-b-c≠a-(b-c)，所以不構(gòu)成，不滿足結(jié)合律5．證明：顯然在群中單位元e滿足方程x2=x,假設(shè)存在一個元素a滿足方程x2=x,則有a2=a,兩邊同乘以a-1有a=e.所以在群中只有單位元滿足方程x2=x.6．證明：因為群G中每個元素都滿足方程x2=e,所以對群中任意元素a,b有aa=e,bb=e,(ab)2=abab=e.對abab=e,方程兩邊左乘以a,右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab,有ab=ba,所以G是交換群.7．證明：充分性：因為在群中對任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb,方程兩邊左乘以a的逆元右乘以b的逆元,有a-1ababb-1=a-1aabbb-1,有ab=ba,所以G是交換群.必要性：因為群G是交換群,所以對任意元素a,b有ab=ba,方程兩邊左乘以a右乘以b有abab=aabb,有(ab)2=a2b2.8．證明：方程xaxba=xbc兩邊同時左乘a-1x-1，右乘a-1b-1有a-1x-1xaxbaa-1b-1=a-1x-1xbca-1b-1，化簡得x=a-1bca-1b-1，可知方程有解。設(shè)方程存在兩個不同的解x,y（x≠y）.則a-1bca-1b-1≠a-1bca-1b-1，顯然不成立。綜上，方程有且只有一個解。9．證明：對群中任意元素a,b有ab(ab)-1=e,方程兩邊先左乘以a的逆元有b(ab)-1=a-1,在左乘以b的逆元有(ab)-1=b-1a-1,所以結(jié)論成立.13．證明：設(shè)群G的兩個子群為G1,G2,則對任意a,b∈G1∩G2有ab-1∈G1,ab-1∈G2,所以ab-1∈G1∩G2,所以G1∩G2也是G的子群.14．證明：設(shè)G是一個群,對任意a,b∈G,存在一個G到H的映射f，并且f(ab)=f(a)f(b).對任意f(a),f(b)∈H有f(a)f(b)=f(ab)∈H,所以H