江西省萍鄉(xiāng)市東源中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

江西省萍鄉(xiāng)市東源中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，且是第四象限角，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D2.在正三棱錐(底面是正三角形,頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心的三棱錐)O-ABC中，OA，OB，OC三條側(cè)棱兩兩垂直，正三菱錐O-ABC的內(nèi)切球與三個(gè)側(cè)面切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，與底面ABC切于點(diǎn)G,則三棱錐G-DEF與O-ABC的體積之比為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B法一:設(shè)正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為,內(nèi)切球半徑為,內(nèi)切球的球心為,則,，，解得.如下圖，把面單獨(dú)拿出來分析:為的中心，，，，，過作于，則,，，，顯然為等邊三角形，..故選.法二:設(shè)正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為,內(nèi)切球半徑為,內(nèi)切球的球心為,則，解得.如下圖，由,,,得平面，又由平面得,同理，，因?yàn)閮蓛纱怪?所以兩兩垂直,故，.點(diǎn)到平面的距離..故到平面的距離為，所以..故選.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為(

)A.20

B.30

C.40

D.50參考答案：B略4.已知a＞b＞0，ab=ba，有如下四個(gè)結(jié)論：①b＜e；②b＞e；③?a，b滿足a?b＜e2；④a?b＞e2．則正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④參考答案：C【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值．【分析】根據(jù)題意，得出=，f（x）=，x＞0，利用導(dǎo)數(shù)判斷0＜x＜e時(shí)f（x）增，x＞e時(shí)f（x）減；x=e時(shí)f（x）取得最大值；根據(jù)f（a）=f（b）得出a＞e＞b，判斷①正確②錯(cuò)誤；由＞e＞b得出f（b）＜f（）且f（a）＜f（），即ab＞e2，判斷④正確③錯(cuò)誤．【解答】解：∵a＞b＞0，ab=ba，∴blna=alnb，∴=，設(shè)f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x=e時(shí)，f（x）max=f（e）=；∵f（a）=f（b），∴a＞e＞b＞0，∴①正確，②錯(cuò)誤；∴＞e＞b，∴f（b）＜f（），∴f（a）＜f（），∴a＞＞e，∴ab＞e2，④正確，③錯(cuò)誤；綜上，正確的命題是①④．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用構(gòu)造函數(shù)的方法判斷數(shù)值大小的應(yīng)用問題，是綜合性題目．5.若在區(qū)間[0，e]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則代表數(shù)x的點(diǎn)到區(qū)間兩端點(diǎn)距離均大于的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)幾何概型計(jì)算公式，用區(qū)間[e，e]的長(zhǎng)度除以區(qū)間[0，e]的長(zhǎng)度，即可得到本題的概率．【解答】解：解：∵區(qū)間[0，e]的長(zhǎng)度為e﹣0=e，x的點(diǎn)到區(qū)間兩端點(diǎn)距離均大于，長(zhǎng)度為，∴在區(qū)間[0，e]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則代表數(shù)x的點(diǎn)到區(qū)間兩端點(diǎn)距離均大于的概率為P=故選：C6.已知直線l：ax﹣y+2=0與圓M：x2+y2﹣4y+3=0的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)C是圓M上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（0，﹣1），的最大值為（）A．12 B．10 C．9 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律；J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由題意，圓M：x2+y2﹣4y+3=0可化為x2+（y﹣2）2=1，利用=|2+|≤|2|+||，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，圓M：x2+y2﹣4y+3=0可化為x2+（y﹣2）2=1．=|2+|≤|2|+||=2×3+4=10，故選：B．7.已知分別是兩條不重合的直線，分別垂直于兩不重合平面，有以下四個(gè)命題：①若，且，則；②若，且，則；③若且，則；④若且，則．其中真命題的序號(hào)是（

）A．①②

B．③④

C．①④

D．②③ 參考答案：D8.設(shè)偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=x3﹣8（x≥0），則{x|f（x﹣2）＞0}=(

)A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞5}參考答案：B【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】依題意，通過對(duì)x﹣2≥0與x﹣2＜0的討論，解不等式f（x﹣2）＞0即可求得答案．解：當(dāng)x﹣2≥0，即x≥2時(shí)，聯(lián)立f（x﹣2）=（x﹣2）3﹣8＞0得：x＞4；∵y=f（x）為偶函數(shù)，∴當(dāng)x﹣2＜0，即x＜2時(shí)，f（x﹣2）=f（2﹣x）=（2﹣x）3﹣8，由（2﹣x）3﹣8＞0得：x＜0；綜上所述，原不等式的解集為：{x|x＜0或x＞4}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)不等式的解法，著重考查偶函數(shù)性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．9.設(shè)函數(shù)，記為函數(shù)在上的最大值，為的最大值.（

）A．若，則

B．若，則

C.若，則

D．若，則參考答案：C10.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)是偶函數(shù)“的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性充分條件與必要條件【試題解析】若，，當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，

所以

所以函數(shù)為偶函數(shù)成立；

反過來，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，

即不一定。

故答案為：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義運(yùn)算符號(hào)“”：表示若干個(gè)數(shù)相乘，例如：．記，其中為數(shù)列中的第項(xiàng)．（1）若，則

；

(2)若，則

．參考答案：(1)105

(2)

略12.在下列給出的命題中，所有正確命題的序號(hào)為．①函數(shù)y=2x3+3x﹣1的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對(duì)稱；②對(duì)?x，y∈R．若x+y≠0，則x≠1或y≠﹣1；③若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則的最大值為；④若△ABC為銳角三角形，則sinA＜cosB．⑤在△ABC中，BC=5，G，O分別為△ABC的重心和外心，且?=5，則△ABC的形狀是直角三角形．參考答案：①②③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】①根據(jù)對(duì)稱性等函數(shù)的性質(zhì)判斷②由對(duì)全稱量詞的否定來判斷命題真假，③利用函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合，可以得到正確的結(jié)論．④結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可⑤在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心，取BC的中點(diǎn)為D，連接AD、OD、GD，運(yùn)用重心和外心的性質(zhì)，運(yùn)用向量的三角形法則和中點(diǎn)的向量形式，以及向量的平方即為模的平方，【解答】解：對(duì)于①函數(shù)y=2x3﹣3x+1=的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對(duì)稱，假設(shè)點(diǎn)（x0，y0）在函數(shù)圖象上，則其關(guān)于①點(diǎn)（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣x0，2﹣y0）也滿足函數(shù)的解析式，則①正確；對(duì)于②對(duì)?x，y∈R，若x+y≠0，對(duì)應(yīng)的是直線y=﹣x以外的點(diǎn)，則x≠1，或y≠﹣1，②正確；對(duì)于③若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則=，可以看作是圓x2+y2=1上的點(diǎn)與點(diǎn)（﹣2，0）連線的斜率，其最大值為，③正確；對(duì)于④若△ABC為銳角三角形，則A，B，π﹣A﹣B都是銳角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，則cosB＜cos（﹣A），即cosB＜sinA，故④不正確．對(duì)于⑤在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心，取BC的中點(diǎn)為D，連接AD、OD、GD，如圖：則OD⊥BC，GD=AD，∵=|，由則，即則又BC=5則有由余弦定理可得cosC＜0，即有C為鈍角．則三角形ABC為鈍角三角形；⑤不正確．故答案為：①②③【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)用、三角函數(shù)的性質(zhì)、命題真假的判斷等，使用了數(shù)形結(jié)合的思想，是數(shù)學(xué)中的常見思想，要加深體會(huì)．難度較大13.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x∈（﹣∞，0]時(shí)，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），則滿足F（3）＞F（2x﹣1）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是．參考答案：（﹣1，2）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和條件，通過導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴不等式xf′（x）＜f（﹣x），等價(jià)為xf′（x）＜﹣f（x），即xf′（x）+f（x）＜0，∵F（x）=xf（x），∴F′（x）=xf′（x）+f（x），即當(dāng)x∈（﹣∞，0]時(shí)，F(xiàn)′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函數(shù)F（x）為減函數(shù)，∵f（x）是奇函數(shù)，∴F（x）=xf（x）為偶數(shù)，且當(dāng)x＞0為增函數(shù)．即不等式F（3）＞F（2x﹣1）等價(jià)為F（3）＞F（|2x﹣1|），∴|2x﹣1|＜3，∴﹣3＜2x﹣1＜3，即﹣2＜2x＜4，∴﹣1＜x＜2，即實(shí)數(shù)x的取值范圍是（﹣1，2），故答案為：（﹣1，2）．14.已知F1，F(xiàn)2是橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓短軸的端點(diǎn)，且∠F1PF2＝90°，則該橢圓的離心率為___________．參考答案：略15.己知a，b為正數(shù)，且直線與直線互相平行，則2a+3b的最小值為________.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．H125

解析：∵直線與直線互相平行，∴且，∴，即，又a，b均為正數(shù)，則．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立．故答案為：25．【思路點(diǎn)撥】由兩直線平行的條件得到，由展開后利用基本不等式求得最值．16.已知,則的最小值為

．參考答案：17.化簡(jiǎn)的結(jié)果是

。參考答案：sinα略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合{－3,1,3}中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．參考答案：（1）；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）由題意得到關(guān)于a的方程，解方程即可確定a的值；（2）由題意首先確定a,b,c的值從而確定函數(shù)的解析式，然后求解其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)即可確定函數(shù)的極小值.（3）由題意首先確定函數(shù)的極大值M的表達(dá)式，然后可用如下方法證明題中的不等式：解法一：由函數(shù)的解析式結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮即可證得題中的不等式；解法二：由題意構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值，因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，．令，則．令，得．列表如下：+0–↗極大值↘

所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故．所以當(dāng)時(shí)，，因此．【詳解】（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，解得．?）因?yàn)?，所以，從而．令，得x=b或．因?yàn)?，都在集合中，且，所以．此時(shí)，．令，得或．列表如下：(－∞,－3)－3(－3,1)1(1,+∞)+0–0+↗極大值↘極小值↗

所以的極小值為．（3）因?yàn)?，所以，．因?yàn)椋?，則有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為．由，得．列表如下：+0–0+↗極大值↘極小值↗

所以的極大值．解法一：．因此．解法二：因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，．令，則．令，得．列表如下：+0–↗極大值↘

所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故．所以當(dāng)時(shí)，，因此．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力．

19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值；（3）若對(duì)所有都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）.【分析】（1）求出函數(shù)得導(dǎo)數(shù)，分別計(jì)算，求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)得導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)得不等式，分別求出單調(diào)區(qū)間即可；（3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)得最小值問題，求出a得范圍即可.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為:.（2）令令在單調(diào)遞增；令在單調(diào)遞減.（i）當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，因此；（ii）當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因此；（iii）當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，因此；（3）對(duì)所有都有，即；（i）當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，因此；，綜上：；（ii）當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因此，即，綜上：因此：.【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題，考查了導(dǎo)數(shù)在切線，單調(diào)性，不等式恒成立問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題.20.（13分）（2016?江西模擬）已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+lnx（a∈R），x∈（1，+∞）．（1）若函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）對(duì)于函數(shù)f（x）、f1（x）、f2（x），若對(duì)于區(qū)間D上的任意一個(gè)x，都有f1（x）＜f（x）＜f2（x），則稱函數(shù)f（x）是函數(shù)f1（x）、f2（x）在區(qū)間D上的一個(gè)“分界函數(shù)”．已知f1（x）=（1﹣a2）lnx，f2（x）=（1﹣a）x2，問是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）是函數(shù)f1（x）、f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上的一個(gè)“分界函數(shù)”？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，得到x2﹣2ax+1＜0恒成立，求出a的范圍即可；（2）根據(jù)“分界函數(shù)”的定義，只需x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍即可．【解答】解：（1）f′（x）=，x∈（1，+∞），令g（x）=x2﹣2ax+1，由題意得：g（x）在[1，+∞）有且只有1個(gè)零點(diǎn)，∴g（1）＜0，解得：a＞1；（2）若f（x）是函數(shù)f1（x）、f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上的一個(gè)“分界函數(shù)”，則x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，令h（x）=f（x）﹣（1﹣a）x2=（a﹣）x2﹣2ax+lnx，則h′（x）=，①2a﹣1≤0即a≤時(shí)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，且h（1）=﹣﹣a，∴h（1）≤0，解得：﹣≤a≤；②2a﹣1＞0即a＞時(shí)，y=（a﹣）x2﹣2ax的圖象開口向上，存在x0＞1，使得（a﹣）﹣2ax0＞0，從而h（x0）＞0，h（x）＜0在（1，+∞）不恒成立，令m（x）=f（x）﹣（1﹣a2）lnx=x2﹣2ax+a2lnx，則m′（x）=≥0，m（x）在（1，+∞）遞增，由f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，得：m（1）≥0，解得：a≤，綜上，a∈[﹣，]時(shí)，f（x）是函數(shù)f1（x）、f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上的一個(gè)“分界函數(shù)”．【點(diǎn)評(píng)