統(tǒng)計(jì)學(xué)第六章方差分析

統(tǒng)計(jì)學(xué)第六章方差分析第一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第一節(jié)方差分析的基本概念一、目的：AnalysisofvarianceANOVA用于檢驗(yàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本均數(shù)間差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)意義二、樣本均數(shù)間差別的原因(變異的來(lái)源)：1、總變異：全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)大小不等。用觀察值與總均數(shù)的離均差平方和sumofsquaresofdeviationsfrommean表示，記為SS總，或l總;總的自由度總＝N－1第二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三

2、組間變異：各處理組的樣本均數(shù)大小不一，用各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和表示，記為SS組間或l組間，組間自由度

組間＝k-1。MS組間＝l組間/組間組間變異反映的是處理因素的作用，同時(shí)也包括隨機(jī)誤差均方：meansquare,MS第三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三3、組內(nèi)變異：各處理組內(nèi)部觀察值大小不等，用各處理組內(nèi)部每個(gè)觀察值與組均數(shù)的離均差平方各表示，記為l組內(nèi)。組內(nèi)＝(n1-1)+…+(nk-1)=N-kMS組內(nèi)＝l組內(nèi)/組內(nèi)組內(nèi)變異反映的觀察值的隨機(jī)誤差，如個(gè)體差異和隨機(jī)測(cè)量誤差第四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三4、三種變異的關(guān)系l總＝l組間＋l組內(nèi)總＝N－1＝(k-1)+(N-k)=組間＋組內(nèi)第五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、方差分析的基本思想：總變異可分解為組間變異和組內(nèi)變異兩個(gè)部分，相應(yīng)的總自由度也分解為組間自由度和組內(nèi)自由度。如果各樣本均數(shù)來(lái)自同一總體，即各組之間無(wú)差別，則組間變異和組內(nèi)變異均只反映隨機(jī)誤差，這時(shí)若計(jì)算組間均方與組內(nèi)均方的比值，F(xiàn)＝MS組間/MS組內(nèi)，應(yīng)接近1。反之，若各樣本均數(shù)不是來(lái)自同一總體，組間變異較大，F(xiàn)值將明顯大于1。要大到多大程度才有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義？第六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三這個(gè)程度就是與隨機(jī)誤差而言。即以隨機(jī)誤差進(jìn)行衡量，若處理組間的變異明顯大于組內(nèi)變異，則不能認(rèn)為組間的變異僅反映隨機(jī)誤差，也就是說(shuō)處理因素有作用。R.A.Fisher于20世紀(jì)20年代推導(dǎo)出在無(wú)效假設(shè)成立的情況下，統(tǒng)計(jì)量F的分布規(guī)律。1934年G.W.Snedecor以Fisher的名字命名了這一分布，稱F分布，故ANOVA又稱F檢驗(yàn)。F(組間，組內(nèi))查表第七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三基本思想：根據(jù)資料變異的不同來(lái)源，將全部觀察值總的離均差平方和和自由度分解為兩個(gè)或多個(gè)部分，除隨機(jī)誤差外，其余每個(gè)部分的變異可由某個(gè)因素的作用(或某幾個(gè)因素的交互作用)加以解釋，如各組均數(shù)間的變異SS組間，可由處理因素的作用加以解釋，通過(guò)比較不同變異來(lái)源的均方，用F分布作出統(tǒng)計(jì)推斷，從而了解該因素對(duì)觀察指標(biāo)有無(wú)影響。第八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三注意：1、ANOVA與試驗(yàn)設(shè)計(jì)類(lèi)型聯(lián)系在一起，并非任何變異都有適當(dāng)?shù)姆纸狻?、數(shù)據(jù)要求：①各次觀察獨(dú)立，即任何兩個(gè)觀察值間均不相關(guān)；②每一水平下的觀察值xij分別服從總體均數(shù)為

ij的正態(tài)分布；③各總體的方差相等，即方差齊性homogeneityofvariance.(任何觀察值都是獨(dú)立地來(lái)自具有等方差的正態(tài)總體)第九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第二節(jié)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的單因素ANOVA(one-wayANOVA)按完全隨機(jī)化的原則將受試對(duì)象隨機(jī)分配到一個(gè)研究因素的多個(gè)水平中去，然后觀察試驗(yàn)效應(yīng)。目的：比較不同水平下，各組均值間的差別是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義第十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三基本步驟：P59，例6－1為例1、建立檢驗(yàn)假設(shè)和確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)：Ho：4種衣料吸附硼氫量的總體均數(shù)相等，即

1＝

2＝

3=

4H1：4種衣料吸附硼氫量的總體均數(shù)不全相等＝0.052、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值：如下表第十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三成組設(shè)計(jì)方差分析計(jì)算表第十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三以P59表6－1實(shí)例進(jìn)行計(jì)算：先計(jì)算基本數(shù)據(jù)結(jié)果，再代入上表的公式計(jì)算：C、SS、MS、F等一般將計(jì)算結(jié)果列為表6－2的形式，見(jiàn)P613、確定P值和作出統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)論按計(jì)算所得F值：11.1644，查附表6－2，表中1指分子均方的自由度，2為分母均方的自由度。F=11.164>F0.01(3,16)=5.29，故P<0.01。認(rèn)為四組均數(shù)間差別有高度統(tǒng)計(jì)學(xué)意義第十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三各組樣本含量相等和各組樣本含量不等時(shí)，計(jì)算的基本方法完全一樣，只是在計(jì)算l組間時(shí)有所不同，相等時(shí)將ni直接用n計(jì)算即可。舉例：P61，例6－2第十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三節(jié)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的ANOVA

Two-wayANOVA一、概念：1、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)randomizedblockdesign,亦稱配伍組設(shè)計(jì)：應(yīng)用分層的思想，事先將受試對(duì)象按某種或某些特征分為若干個(gè)區(qū)組block，使每個(gè)區(qū)組內(nèi)的觀察對(duì)象的特征盡可能的相近。每個(gè)區(qū)組內(nèi)的觀察對(duì)象數(shù)與研究因素的水平數(shù)相等，分別使每個(gè)區(qū)組內(nèi)的觀察對(duì)象隨機(jī)地接受研究因素某一水平的處理。第十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、此外，同一受試對(duì)象不同時(shí)間點(diǎn)上的觀察，或同一樣本給予不同處理的比較，亦當(dāng)作隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)進(jìn)行分析。3、由于區(qū)組內(nèi)個(gè)體特征比較一致，減少了個(gè)體間變異對(duì)結(jié)果的影響，統(tǒng)計(jì)效率高，易檢出組間的差別。4、用兩因素方差分析two-wayANOVA，兩因素指研究因素和區(qū)組因素。研究因素有k個(gè)水平，共n個(gè)區(qū)組。5、當(dāng)k=2時(shí)，兩因素方差分析等價(jià)于配對(duì)t檢驗(yàn)，且F=t2第十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析中變異的分解：總變異分解為：處理組間變異、誤差、區(qū)組間變異(新增的，用ss區(qū)組l區(qū)組表示，大小為各區(qū)組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和)。ss總＝ss處理＋ss區(qū)組＋ss誤差自由度分解：總＝處理＋區(qū)組＋誤差N－1＝(k-1)+(n-1)+(k-1)(n-1).k為處理組數(shù)，n為區(qū)組數(shù)，N為總例數(shù)第十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、分析計(jì)算步驟：例6－3，P631、建立檢驗(yàn)假設(shè)和確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0：放置不同時(shí)間的血糖濃度相等，即

1＝

2＝

3＝

4H1：放置不同時(shí)間的血糖濃度不全相等＝0.052、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值，根據(jù)下表計(jì)算公式計(jì)算第十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三隨機(jī)區(qū)組方差分析計(jì)算公式第十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三3、確定P值和作出推斷結(jié)論放置時(shí)間的F值＝0.9681/0.0125=77.44受試者間的F值＝0.3569/0.0125=28.55查附表6－2，1(處理)＝3，

2(誤差)＝21，F(xiàn)0.05(3,21)=3.07,F0.01=4.87;當(dāng)

1(區(qū)組)＝7，

2(誤差)＝21，F(xiàn)0.05(7,21)=2.49,F0.05=3.64F均>F0.01，P<0.01，說(shuō)時(shí)放置時(shí)間長(zhǎng)短對(duì)血糖濃度的變化是有影響的。另外，不同受試者間血糖濃度亦有差別。第二十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第四節(jié)均數(shù)間的相互比較一、幾點(diǎn)說(shuō)明1、ANOVA并不能回答哪幾個(gè)均數(shù)間差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，需進(jìn)一步做兩兩間的多重比較multiplecomparison2、兩兩比較，不可用t檢驗(yàn)，因?yàn)闀?huì)增加第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率。k個(gè)樣本均數(shù)可做k!/[2!(k-2)!]次比較，如：5個(gè)樣本→10次，不犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為(1-0.05)10=0.5987，〔正確接受全部10次無(wú)效假設(shè)的概率〕，一類(lèi)錯(cuò)誤概率為1-0.5987=0.4013第二十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、常用的多重比較的方法1、LSD-t檢驗(yàn)：稱最小有意義差別(leastsignificantdifference)t檢驗(yàn)，檢驗(yàn)k組某一對(duì)或某幾對(duì)在專業(yè)上有特殊意義的均數(shù)dAB=XA-XB的總體水平是否為0。第二十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三算得的t值以誤差自由來(lái)查t值表與前述t檢驗(yàn)的的不同：舉例說(shuō)明計(jì)算過(guò)程:t0.001(16)=4.015第二十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三LSDt檢驗(yàn)對(duì)比組A與B兩均數(shù)之差兩均數(shù)之差標(biāo)準(zhǔn)誤LSD

t值t臨界值P值棉與府棉與的棉與尼府與尼府與的的與尼第二十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、Dunnett-t檢驗(yàn)用于k-1個(gè)實(shí)驗(yàn)組與一個(gè)對(duì)照組均數(shù)差別的多重比較：P66，例6-5第二十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三Dunnett檢驗(yàn)對(duì)比組A與B兩均數(shù)之差兩均數(shù)之差標(biāo)準(zhǔn)誤t值處理數(shù)Tt臨界值0.05t臨界值0.01P值棉與府棉與的棉與尼第二十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三3、Student-Newman-Keuls法SNK法，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為q，通常稱q檢驗(yàn)用于多個(gè)樣本均數(shù)間的兩兩比較第二十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三SNKq檢驗(yàn)對(duì)比組A與B兩均數(shù)之差兩均數(shù)之差標(biāo)準(zhǔn)誤q值處理數(shù)Tq臨界值0.05q臨界值0.01P值棉與府棉與的棉與尼府與尼府與的的與尼第二十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三比較時(shí)應(yīng)將均數(shù)按大小順序排列，一般先比較相關(guān)最大的兩個(gè)均數(shù)q的分布與兩比較組間跨度a及自由度有關(guān)。組間跨度a(對(duì)比組內(nèi)包含組數(shù)a)是指XA與XB之間涵蓋的均數(shù)個(gè)數(shù)，包括XA與XB自身在內(nèi)MS誤差為誤差均方或組內(nèi)均方依q值、組間跨度a(處理數(shù)Ti)、誤差自由度及檢驗(yàn)水準(zhǔn)查q值表，q≥qα(a,ν)時(shí)，有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P553,附表6－4)第二十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三兩兩比較方法選用1、在研究設(shè)計(jì)階段未預(yù)先考慮或預(yù)料到，經(jīng)假設(shè)檢驗(yàn)得出多個(gè)總體均數(shù)不全相等的提示后，才決定的多個(gè)均數(shù)的兩兩事后比較(posthoccomparisons/unplannedcomparisons)，常用于探索性研究exploratoryresearch，兩兩比較用：SNK法、Bonfferonit檢驗(yàn)、Sidakt檢驗(yàn)第三十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、在設(shè)計(jì)階段就根據(jù)研究目的或?qū)I(yè)知識(shí)而計(jì)劃好的某些均數(shù)間的兩兩比較(plannedcontrasts/comparisons)或稱事前beforehand比較，常用于事先有明確假設(shè)的證實(shí)性研究confirmatoryresearch，如多個(gè)處理組與對(duì)照組的比較、某一對(duì)或某幾對(duì)在專業(yè)上有特殊意義的均數(shù)間的比較，用Dunnett-t檢驗(yàn)、LSD-t檢驗(yàn)，也可用Bonfferonit檢驗(yàn)（該方法最保守）或Sidakt檢驗(yàn)第三十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第五節(jié)拉丁方設(shè)計(jì)資料的

方差分析*一、拉丁方設(shè)計(jì)latinsquaredesign:設(shè)計(jì)因素(標(biāo)志)兩個(gè)以上，各因素的水平數(shù)相同，可用此設(shè)計(jì)。拉丁方是以拉丁字母排列的方陣的簡(jiǎn)稱。二、分析步驟：，例6-6，P681、求C2、求l總3、求l受試者第三十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三4、求l日期5、求l防護(hù)服6、求l誤差7、自由度：總格子數(shù)減1為總變異自由度，防護(hù)服間、受試者間、試驗(yàn)日期間均為n-1=5-1=4;誤差自由度=總自由度-防護(hù)服間-受試者間-試驗(yàn)日期間=24-4-4-4=128、列拉丁方分析表，見(jiàn)P70，表6-169、查表，判斷結(jié)果第三十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三優(yōu)點(diǎn)：可以從較少的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得較多的信息，比隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)來(lái)得優(yōu)越。(控制受試者間個(gè)體的差異，及實(shí)驗(yàn)日期間的差異)缺點(diǎn)：各因素間有交互作用時(shí)，不適用。實(shí)施時(shí)，要求各因素的水平數(shù)相等，實(shí)際中不易辦到。拉丁方可由統(tǒng)計(jì)書(shū)中查到，亦可自己編寫(xiě)。第三十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第七節(jié)方差齊性檢驗(yàn)檢驗(yàn)多個(gè)樣本的方差齊性用Bartlett法一、各組樣本含量相等時(shí)：P71，例6-7卡方值略大于某一臨界值時(shí)，應(yīng)計(jì)算校正卡方值，公式見(jiàn)P72第三十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、各樣本含量不等時(shí)：P72，例6-8Bartlett法在各樣本含量相等時(shí)是不敏感的。所以各組樣本含量相差不大，各組S2相差不過(guò)大，可不必進(jìn)行Bartlett檢驗(yàn)。第三十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第七節(jié)近似F檢驗(yàn)方差不齊時(shí)：采用以下兩方法1、對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換2、用加權(quán)的方法計(jì)算加權(quán)的方差進(jìn)行F檢驗(yàn)，即近似F檢驗(yàn)(F’檢驗(yàn)或pseudoFtest)，具體計(jì)算方法，參見(jiàn)P73～74第三十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三第八節(jié)變量變換ANOVA的要求：任何觀察值都獨(dú)自地來(lái)自具有等方差正態(tài)總體。不能滿足時(shí)，可導(dǎo)致F值偏大，從而有增加第一類(lèi)錯(cuò)誤的危險(xiǎn)，尤其違反獨(dú)立性假設(shè)時(shí)，影響較為嚴(yán)重。明顯偏離可進(jìn)行變量變換。樣本例數(shù)較多時(shí)，對(duì)總體的正態(tài)性并不苛求；每組樣本例數(shù)相等時(shí)，對(duì)方差齊性亦不苛求，故最好采用例數(shù)相等的平衡設(shè)計(jì)方案。第三十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期三一、變量變換：是將原始數(shù)據(jù)作某種函數(shù)轉(zhuǎn)換，可使各組達(dá)到方差齊性，亦可使資料轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布，