(公開課)概率的基本性質(zhì)

據(jù)說有個(gè)人很怕坐飛機(jī)．說是飛機(jī)上有恐怖分子放炸彈．他說他問過專家，每架飛機(jī)上有炸彈的可能性是百萬分之一．百萬分之一雖然很小，但還沒小到可以忽略不計(jì)的程度.買彩票中一等獎(jiǎng)的概率比這個(gè)還小,不照樣有人中獎(jiǎng)嗎?他不希望自己在飛機(jī)上“中獎(jiǎng)”，所以他從來不坐飛機(jī)．可是有一天他的一位朋友在機(jī)場(chǎng)看見他，感到很奇怪．就問他，你不是說飛機(jī)上可能有炸彈很不安全嗎？小笑話2021/5/91

他說我有問過專家，每架飛機(jī)上有一顆炸彈的可能性是百萬分之一，但每架飛機(jī)上同時(shí)有兩顆炸彈的可能性只有百萬的平方分之一，也就是說只有萬億分之一，這已經(jīng)小到可以忽略不計(jì)了.他的朋友說這數(shù)字沒錯(cuò)，但這與你今天坐飛機(jī)有什么關(guān)系？他很得意的說：當(dāng)然有關(guān)系啦，不是說同時(shí)有兩顆炸彈的可能性很小嗎，我現(xiàn)在自帶一顆．如果飛機(jī)上另外再有一顆炸彈的話，這架飛機(jī)上就同時(shí)有兩顆炸彈．而我們知道這幾乎是不可能的，所以我可以放心地去坐飛機(jī)了.

小笑話2021/5/923.1.3概率的基本性質(zhì)2021/5/93

比如在擲骰子這個(gè)試驗(yàn)中：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于或等于3”這個(gè)事件中包含了哪些結(jié)果呢？①“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1”②“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2”③“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3”這三個(gè)結(jié)果一.引入

今天我們來研究概率的基本性質(zhì)。在研究性質(zhì)之前，我們先來研究一下事件之間有什么關(guān)系。你能寫出在擲骰子的試驗(yàn)中出現(xiàn)的其它事件嗎？11:43:424

必須分析每個(gè)試驗(yàn)所包含的基本結(jié)果，從而分析每個(gè)事件包含的結(jié)果2021/5/94C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}；C2={出現(xiàn)2點(diǎn)}；C3={出現(xiàn)3點(diǎn)}；C4={出現(xiàn)4點(diǎn)}；C5={出現(xiàn)5點(diǎn)}；C6={出現(xiàn)6點(diǎn)}；上述事件中有必然事件或不可能事件嗎？有的話，哪些是？D1={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；D2={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}；D3={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}；E={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7};F={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6};G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)};H={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)};……2.若事件C1發(fā)生，則還有哪些事件也一定會(huì)發(fā)生？反過來可以嗎？3.上述事件中，哪些事件發(fā)生會(huì)使得K={出現(xiàn)1

點(diǎn)或5點(diǎn)}也發(fā)生？6.在擲骰子實(shí)驗(yàn)中事件G和事件H是否一定有一個(gè)會(huì)發(fā)生？5.若只擲一次骰子，則事件C1和事件C2有可能同時(shí)發(fā)生么？4.上述事件中，哪些事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件D2且事件D3同時(shí)發(fā)生?2021/5/95（一）事件的關(guān)系和運(yùn)算：BA如圖：例.事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}發(fā)生，則事件H={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}也一定會(huì)發(fā)生，所以注：不可能事件記作，任何事件都包括不可能事件。（1）包含關(guān)系一般地，對(duì)于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A（或稱事件A包含于事件B）,記作二.概念11:43:4262021/5/96（2）相等關(guān)系B

A如圖：例.事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}發(fā)生，則事件D1={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}就一定會(huì)發(fā)生，反過來也一樣，所以C1=D1。一般地，對(duì)事件A與事件B，若，那么稱事件A與事件B相等，記作A=B。11:43:4272021/5/97（3）并事件（和事件）若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A和事件B的并事件（或和事件），記作。B

A如圖：例.若事件K={出現(xiàn)1點(diǎn)或5點(diǎn)}發(fā)生，則事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}與事件C5={出現(xiàn)5點(diǎn)}中至少有一個(gè)會(huì)發(fā)生，則11:43:4282021/5/98（4）交事件（積事件）若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A和事件B的交事件（或積事件）記作B

A如圖：11:43:429例.若事件C4={出現(xiàn)4點(diǎn)}發(fā)生，則事件C2={出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于3}與事件C3={出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于5}同時(shí)發(fā)生，則2021/5/99（5）互斥事件若為不可能事件（），那么稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中都不會(huì)同時(shí)發(fā)生。AB如圖：例.因?yàn)槭录﨏1={出現(xiàn)1點(diǎn)}與事件C2={出現(xiàn)2點(diǎn)}不可能同時(shí)發(fā)生，故這兩個(gè)事件互斥。11:43:42102021/5/910（6）互為對(duì)立事件若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生。記作AB如圖：例.

事件G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}與事件H={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}即為互為對(duì)立事件。11:43:42112021/5/911①互斥事件可以是兩個(gè)或兩個(gè)以上事件的關(guān)系，而對(duì)立事件只針對(duì)兩個(gè)事件而言。②從定義上看，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，也就是不可能同時(shí)發(fā)生；而對(duì)立事件除了要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求這二者之間必須要有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件。③從集合角度看，幾個(gè)事件彼此互斥，是指這幾個(gè)事件所包含的結(jié)果組成的集合的交集為空集；而事件A的對(duì)立事件A所包含的結(jié)果組成的集合是全集中由事件A所包含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集。互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別：11:43:422021/5/912判斷互斥、對(duì)立事件：

1、交集是否為空集（互斥事件）

2、是否互為補(bǔ)集（對(duì)立事件）2021/5/913例1：判斷下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說明理由。從40張撲克牌（紅桃，黑桃，方塊，梅花點(diǎn)數(shù)從1-10各10張）中，任取一張。（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；

（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；

（3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”。是互斥事件，不是對(duì)立事件既是互斥事件，又是對(duì)立事件不是互斥事件，也不是對(duì)立事件11:43:42142021/5/9142、一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊,試判斷下列事件哪些是互斥事件?哪些是對(duì)立事件?事件A：命中環(huán)數(shù)大于7環(huán)事件B：命中環(huán)數(shù)為10環(huán)；事件C：命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)；事件D：命中環(huán)數(shù)為6、7、8、9、10環(huán).解：A與C互斥（不可能同時(shí)發(fā)生），

B與C互斥，

C與D互斥，

C與D是對(duì)立事件（至少一個(gè)發(fā)生）.2021/5/9153、袋中裝有白球3個(gè)，黑球4個(gè)，從中任取

3個(gè)，是對(duì)立事件的為()①恰有1個(gè)白球和全是白球；②至少有1個(gè)白球和全是黑球；③至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球．

②11:43:42162021/5/9162.概率的幾個(gè)基本性質(zhì):(1)任何事件的概率在0~1之間,即0≤P(A)≤1(2)必然事件的概率為1,即P(Ω)=1(3)不可能事件的概率為0,即(4)如果事件A與事件B互斥,則

P(A∪B)=P(A)+P(B)(5)如果事件B與事件A是互為對(duì)立事件,則

P(B)=1-P(A)2021/5/917練習(xí)某射手射擊一次射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率是0.24，0.28，0.19，0.16，計(jì)算這名射手射擊一次（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；（2）至少射中7環(huán)的概率。（1）P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.24+0.28=0.52。（2）因?yàn)樗鼈兪腔コ馐录?，所以至少射?環(huán)的概率是0.24+0.28+0.19+0.16=0.8711:43:4218少于7環(huán)的概率呢？2021/5/918

例3甲，乙兩人下棋，和棋的概率為1/2，乙獲勝的概率為1/3，求：（1）甲獲勝的概率；（2）甲不輸?shù)母怕?。分析：甲乙兩人下棋，其結(jié)果有甲勝，和棋，乙勝三種，它們是互斥事件。解（1）“甲獲勝”是“和棋或乙勝”的對(duì)立事件，所以甲獲勝的概率是P=1-1/2-1/3=1/6。（2）解法1，“甲不輸”看作是“甲勝”，“和棋”這兩個(gè)事件的并事件所以P=1/6+1/2=2/3。解法2，“甲不輸”看作是“乙勝”的對(duì)立事件，P=1-1/3=2/3。11:43:42192021/5/919

練習(xí)：拋擲一均勻的色子，事件A表示“朝上的一面是奇數(shù)”，事件B表示“朝上的一面是不超過3的數(shù)”，求P(AB)11:43:42202021/5/920

練習(xí)：袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率為1/3，得到黑球或黃球的概率是5/12，得到黃球或綠球的概率也是5/12，試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各是多少？

分析：利用方程的思想及互斥事件、對(duì)立事件的概率公式求解．

解：從袋中任取一球，記事件“摸到紅球”、“摸到黑球”、“摸到黃球”、“摸到綠球”為A、B、C、D，則有P(B∪C)=P(B)+P(C)=5/12;P(C∪D)=P(C)+P(D)=5/12;P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-1/3=2/3;解的P(B)=1/4,P(C)=1/6,P(D)=1/4.答:得到黑球、黃球、綠球的概率分別是1/4,1/6,1/4.11:43:42212021/5/9211、事件的關(guān)系與運(yùn)算，區(qū)分互斥事件與對(duì)立事件

本課小結(jié)事件關(guān)系1.包含關(guān)系2.等價(jià)關(guān)系

事件運(yùn)算3.事件的并(或和)4.事件的交(或積)5.事件的互斥(或互不相容)6.對(duì)立事件(逆事件