3.1空間向量及其運(yùn)算

精心整理3.1空間向量及其運(yùn)算3.1空.間1向量的線性運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)：㈠知識(shí)目標(biāo)：1.空間向量；2.相等的向量；3.空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律；㈡能力目標(biāo)：1.理解空間向量的概念，掌握其表示方法；2會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律;3.能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問(wèn)題.㈢德育目標(biāo)：學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看問(wèn)題，認(rèn)識(shí)到事物都是在不斷的發(fā)展、進(jìn)化的，會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物.教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律.教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用向量解決立體幾何問(wèn)題.教學(xué)方法：討論式．教學(xué)過(guò)程：I復(fù)習(xí)引入精心整理［師］在必修四第二章《平面向量》中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向量的一些知識(shí)，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向線段表示；②用字母a、b等表示；③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB.［師］數(shù)學(xué)上所說(shuō)的向量是自由向量，也就是說(shuō)在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進(jìn)行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下.［生］長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量［師］學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念以后我們學(xué)習(xí)了向量的加減以,平行四邊形法則）=||當(dāng)4〉時(shí)，^a與a同向；［師］學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念以后我們學(xué)習(xí)了向量的加減以,平行四邊形法則）=||當(dāng)4〉時(shí)，^a與a同向；當(dāng)4v時(shí)，4a與a反向；當(dāng)4=時(shí)，4a=0其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下： 三角形；則［師］關(guān)于向量的以上幾種運(yùn)算請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，有哪些運(yùn)算律呢？［生］向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運(yùn)算律加法交換律：a+b=b十a(chǎn)加法結(jié)合律：（十b+c=a十（b+c）數(shù)乘分配律：4a+b=4a+4b［師］今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運(yùn)算的運(yùn)算率，并進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用.請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本P26—P27.II新課講授精心整理［師］如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量．例如空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量．那么我們?cè)鯓颖硎究臻g向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？［生］與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量．起點(diǎn)與重點(diǎn)重合的向量叫做零向量。表示向量a的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模。有向線段的方向表示向量的方向，有向線段所在的直線叫做向量的基線。如果空間中一些向量的基線相互平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。［師］由以上知識(shí)可知，向量在空間中是可以平移的.空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示.因此我們說(shuō)空間任意兩個(gè)向量是共面的.［師］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？［生］空間向量的加法、 減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運(yùn)算一 .小 樣：OB=OA+AB=a+b, / 7/ /亡?尸AB=OB-OA（指向被減/ “而?/o向向向量），OP=2a（九￡R）［師］空間向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運(yùn)算律呢？請(qǐng)大家驗(yàn)證這些運(yùn)算律．

精心整理指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．即：因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量.即：AA+AA+AA+…+AA+AA=0.12 23 34 n-1nn1⑶兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立.因此，求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí)，可以考慮用行四邊形法則.由向量加法的交換律和結(jié)合律可以推知：有限個(gè)向求和，交換相加向量的順序其和不變。例1已知平行六面體ABCD-ABCD'（如圖），化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：說(shuō)明：平行四邊形ABCD平移向量到^8‘。口’的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體?記作ABCD—A‘B’C'D’.平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱.解：（見(jiàn)課本）說(shuō)明：由第2小題可知，始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣.III鞏固練習(xí)課本練習(xí)IV教學(xué)反思平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移.關(guān)于向量算式的化簡(jiǎn)，要注意解題格式、步驟和方法.V課后作業(yè).課本精心整理.預(yù)習(xí)課本—6預(yù)習(xí)提綱：⑴怎樣的向量叫做共線向量？⑵兩個(gè)向量共線的充要條件是什么？⑶空間中點(diǎn)在直線上的充要條件是什么？⑷什么叫做空間直線的向量參數(shù)表示式？⑸怎樣的向量叫做共面向量？⑹向量與不共線向量、共面的充要條件是什么？⑺空間一點(diǎn)在平面 內(nèi)的充要條件是什么？板書(shū)設(shè)計(jì)：§9.5空間向量及其運(yùn)算（一）一、平面向量復(fù)習(xí)二、空間向量 三、例11.定義及表示方法1.定義及表示2.加減與數(shù)乘運(yùn)算2.加減與數(shù)乘向量 小結(jié)3.運(yùn)算律3.運(yùn)算律空間向量的基本定理教學(xué)目標(biāo)：.理解共線向量定理和共面向量定理及空間向量分解定理；2掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)的向量公式.教學(xué)重、難點(diǎn)：共線、共面定理、分解定理及其應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程：（一）復(fù)習(xí)：空間向量的概念及表示；（二）新課講解：1．共線（平行）向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：a平行于b，記作：a//b.精心整理2．共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b（b中0）,a//b的充要條件是存在實(shí)數(shù)3使a二九b（九唯一）.推論：如果l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)4，一且平行于已知向量a的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)。，點(diǎn)P在直線1上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,滿足等式OP=04+tAB①，其中向量a叫做直線l的方向向量。在l上取AB=a，則①式可化為0P=0A±tAl1或OP^0（1-1）OA+tOB②當(dāng)/=2時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，此時(shí)g2^OfA+O）WB■■；/.一一①和②都叫空間直線的向量參數(shù)方程，③是線段＞B起。后點(diǎn)公式.3向量與平面平行：已知平面a和向量a，作CA=a,如果直線OA平行于a或在a內(nèi)，那么我們說(shuō)向量a平行于平面a，記作：a//J —?—?通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量二7—? —?說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的.4共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)羽y使p=xa+yb- 一 ―一_一推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y，使MP=xMA+yMB或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有OP=OM+xMA+yMB①一面①式叫做平面MAB的向量表達(dá)式（三）例題分析：例.已知A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件OP=1OA+2OB+2OC,55 5試判斷：點(diǎn)P與A,B,C是否一定共面？ 一———解：由題意：5OP=OA+2OB+2OC,精心整理A(OP-OA)=2(OB-OP)+2(OC-OP),/.AP^2PB+2/^即PA=-2PB-2PC,所以，點(diǎn)P與A,B,C共亞 ——說(shuō)明：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算．【練習(xí)】：對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,問(wèn)滿足向量式OP=xOA+yOB+zOC(其中%+y+z=1)的四點(diǎn)P,A,B,C是否共面？ 一一一_.角牟：:OP=(1-z-y)OA+yOB+zOC,AOP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA),TOC\o"1-5"\h\z??AP=yA^B+zAC,一??點(diǎn)P-與點(diǎn)^4,B,C共面* ,..例.已知口麗D，從平面AC外一點(diǎn)O引向量 /--UOE=kOAOF=KOBOG=kOC,OH=kOD, // \\(1?求證：四點(diǎn)￡^,G,H共面；一 '()平面AC//平面EG.解：():四邊形ABCD是平行四邊形，AAC=AB+AD,;EG=OG-OE, —>— ,AE,F,GH共面；():EF=OF-OE=k(OB-OA)=k-AB，又:EG=k-AC,AEF//ABEG//AC——— —, —.所以，平面AC//平面EG.5.空間向量分解定理如果三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)惟一的有序?qū)崝?shù)組，，，使

精心整理五、課堂練習(xí)：課本第96頁(yè)練習(xí)第1、2、3題．六、課堂小結(jié)：．共線向量定理和共面向量定理及其推論；．空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)向量公式．ACAC=2e+8e,AD=3e—3e,已知兩個(gè)非零向量e,e不共線，如果AB=e+e，1 2 1 2求證：A,B,C,D共面一 一一一?已知a=3m_2n_4p,b=(x+1)m+8n+2yp，a豐0，若a//b，求實(shí)數(shù)x,y的值。.如圖，E,F,G,H分別為正方體AC的棱AB,AD,BC,DC的中點(diǎn)，一一 一 - -1一L1 11 11 11求證：()E,F,D,B四點(diǎn)共面；()平面AEF//平面BDHG.GH!DD.已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，GH!DD()用向量法證明：E,F,G,H四1A」1,兩個(gè)向量的數(shù)量積()用向量法證明：BD//平面,兩個(gè)向量的數(shù)量積教學(xué)目標(biāo)：1掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；2掌握兩j向量的數(shù)量積的計(jì)算方法，并能利用兩j向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算判定垂直、求模、求角。教學(xué)重、難點(diǎn)：空間數(shù)量積的計(jì)算方法、幾何意義、立體幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。教學(xué)設(shè)想：精心整理激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神.教學(xué)過(guò)程(-)復(fù)習(xí)：空間向量基本定理及其推論;(-)新課講解：.兩個(gè)向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a力，在空間任取一點(diǎn)。，作例律b=，則ZAB叫做向量q與b的夾角，記作<a]>；且規(guī)定0。力>v兀，顯然有<a,b>=<b,a>；若<a,b>=上,則稱a與b互相垂直，記作：q_L》7 -兩個(gè)向量一定共面，但是做有向線段分別表示向疊時(shí)，它們的基線可能不在同一平面內(nèi):一我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。把異面直線平移到一個(gè)平面內(nèi)，這是兩條直線的夾角叫做兩條異面直線所成的角。如果所成角都是直角，則稱兩條異面直線相互垂直。.向量的模：設(shè)04=。，則有向線段04的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：lai；.向量的數(shù)量積：TOC\o"1-5"\h\z一E知向量a/，貝小arH <就> 叫做“力的 -數(shù)量積，記作 a-Z?=\a\-\b\-cos<a,b>> V \已知向量力巨=a和軸e是/士與/同方向的 \— \單位向量，作點(diǎn)人在/上的射影)，作點(diǎn)B在/上 / 17\?/的射影B',則力的叫做向量AB在軸,上或在e上的正射影；可以證明Aa的長(zhǎng)度I1=1ABIcos<rarS>=la-e\? , 一.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：~~)dTe=1aIcos<a,e>?一()aLboa?b=0.()kzh=a^-a.()|a?b|<|a||b|.空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：()(ka)?b=X(a?b)=Q?(kb).()a-b=b-a(父換律).()a-tb+c)-cr-5^+a^c 配律).(三)懈題技巧> —?考點(diǎn)二向量雨數(shù)量只運(yùn)算

精心整理、知識(shí)要點(diǎn)：）定義：①設(shè)a力=則a.b=IaI.IbI?cos<a,b>②設(shè)a=（7”,b—（x2,y2）則a迷- ?！?f f注：①a的不能寫(xiě)成ab，或axb ②a仲的結(jié)果為一個(gè)數(shù)值。）投影：b在a方向上的投影為）向量數(shù)量積運(yùn)算律：~一~~①a^）=”一②（九a甘二九（。0=。產(chǎn)切③（a+b）注：①?zèng)]有結(jié)合律（a巴尸吧限L_ __、例題講練、下列命題：①若。,40:則a；b中至少一個(gè)為0②若a豐0且a/-a#，則b=c?>(ab)rf—arfbp④中正確有個(gè)數(shù)為-? —>yv->? —> ―? ―?個(gè)2已知AABC中，個(gè)所對(duì)的邊為、若a?>(ab)rf—arfbp④中正確有個(gè)數(shù)為-? —>yv->? —> ―? ―?個(gè)2已知AABC中，個(gè)所對(duì)的邊為、若a，b，c滿足a+b+c—0，且a=3b：=1，則ab怏半+□兀，-且a與此勺夾角為I，則a+b在a上的投影為考點(diǎn)二：向量數(shù)量積性質(zhì)應(yīng)用、知識(shí)要點(diǎn)： --①a±boa^—0（用于判定垂直問(wèn)題）°：（用于求模運(yùn)算問(wèn)題）例題講練（用于求角運(yùn)算問(wèn)題）例題講練（用于求角運(yùn)算問(wèn)題）、已知H、已知H=2、已知M=1=3，且a與b的夾角為2，c—3a+2b，d=ma-b，求當(dāng)為何值時(shí)c±d、已知a、已知a和b是非零向量，目ba-bI求a與a+b的夾角、已知、已知H=4b=2,且a和b不共線，求使a+九b與a-九b的夾角是銳角時(shí)九的取值范圍―? ―?（四）例題分析： -一 一一一例1用向量方法證明：直線和平面垂直的判定定理。

精心整理已知：m,n是平面a內(nèi)的兩條相交直線，直線/與平面a的交點(diǎn)為B，國(guó)1m,l1n求證：11a.證明：在a內(nèi)作不與m,n重合的任一直線g,在1,m,n,g上取非零向量1,m,n,g，丁m,n相交，二向量m,n不平行，由共面定理可知，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,j)，使用-xm+yn,?二1?g-X-m+yl?n，又丁1?m-0,1?n-0，?\1?g-0，?二11g，?'11g，- -所以；直線1垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，即得11a.例一?一已知空間四邊形ABCD中，AB1CD,AC1BD，求證：AD1BC.證明：(法一)AD?BC=(AB+BD).(AC-AB)-AB?(AC—AB—BD)-AB?DC=0.(法二)選取一組基底，技AB=a,AC=KAD=c,AB1CD，；?a?(c^b)=0,即a?c=b?a,同理：a?b=b?c一 一--一-一___—— —?―?—?—??a?c-b?c,?c?(b-a廠=0，一??AD?BC=0，即AD1BC.說(shuō)明:用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量運(yùn)算取計(jì)算或證明。例3.如圖，在空間四邊形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,/OAC=45,/OAB=60,求OA與BC的夾角的余弦值。 0解：:BC=AC-AB,,OA?BC-OA?,OA?BC-OA?AC—OA?AB?cos而A,最>=-0A.BC

———OAI；lBCI24-16<2_3-2V2 - ,所以O(shè)A與BC的夾角的余弦值為三2.一-—— 5說(shuō)明：由圖形知向量的夾角時(shí)易出錯(cuò)，如<OA,AC記！>=135易錯(cuò)寫(xiě)成<OA,AC>=45，切五、鞏固練習(xí)TOC\o"1-5"\h\z、已知e和e是兩個(gè)單位向量，夾角為三，貝U(e-e)n(-3e+2e)等于()1 2 3 12 12—一 Q :一一 _ _>_ -52 2、已知e和e是兩個(gè)單位向量，、已知e和e是兩個(gè)單位向量，12夾角為三，則下面向量中與2e，-e垂直的是()21eA+e12e-e e12 1精心整理3在AABC中，設(shè)AB=a,BC=b,CA=c,若a(a+b)<0,貝UAABC()(A)直角三角形 (B)銳角三角形 (C)鈍角三角形(。)無(wú)法判定4已知a和b是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角。一一 一一一一一一一一 一一。5已知QA、OB、OC是非零的單位向量，且OAOBOC0,求證：AABC』正三角形 六.教學(xué)反思：空間向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)。七,作業(yè)：課本第 頁(yè)第3題補(bǔ)充：i已知向量a1b，向量c與a,b的夾角都是60,且1aI=1,1bI=2,1cI=3,0試求：()(a+b)2；()(a+2b-c)2；()(3a-2b)?(b-3c).一 f — —f , 一空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算. 一.一一教學(xué)目的：.掌握空間向量的模長(zhǎng)公式、夾角公式、兩點(diǎn)間的距離公式，會(huì)用這些公式解決有關(guān)問(wèn)題；.會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量共線或垂直教學(xué)重點(diǎn)：夾角公式、距離公式教學(xué)難點(diǎn)：模長(zhǎng)公式、夾角公式、兩點(diǎn)間的距離公式及其運(yùn)用授課類型：新授課課時(shí)安排：課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1空.間直角坐標(biāo)系：(1)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為1，這個(gè)基底叫單位正交基底，用億j,k｝表示；

精心整理(2)在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底限j,k｝，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i,j,k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫坐標(biāo)軸.我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz，點(diǎn)O叫原點(diǎn)，向量i,j,k都叫坐標(biāo)向量.通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面；2.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使OA=xi+yj+zk，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z),x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo).若A(\片zi),B(x2,y2,z2)，則AB=(x—x,y—y,z—z).2 1 2 1 2 1一一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)3.空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律:⑴若a=(a,a,a),b=(b,b,b),TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 1 2 3x則Ua+b=(a+b,a+b,a+b),1 1 2 2 3- 3xa—b=(a—b,a—b,a—b),--1 1 2 2 3 3九a=(九a,九a,九a)(九eR),-- 1 2 3a?b=ab+ab+ab,― 11 22 33a//b今a二九b,a二九b,a二九b(九eR),f- 1 1 2 2 3 3a±b今ab+ab+ab=0.-- 11 22 33(2)若A(x,y,z),B(x,y,z)，則AB=(x—x,y—y,z—z).1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1

精心整理4.空間向量平行和垂直的條件若孫再㈤，*二%,乃"》，貝8-I- -I- -I- - - ①力行O口"助Q近二兄電巧二凡乃，與二兄與伊￡的=向?yàn)榕c"夕0)—I- —I-—I-②以上石=厘出=0=々/+^^+次馬二0二、講解新課：模長(zhǎng)公式:TOC\o"1-5"\h\z，貝UIaI-aa?a-Ja2+a2+a2,IbI-bb?b-b:b2+b2+b2?1 2 3 .12 32.一夾角公式:Ha?b ab+ab+2.一夾角公式:- -一, -11 22,_ 33 ?IaI?IbI；a2+a2+a2y:b2+b2+b2、1 2 3、1 2 33.兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x,y,z),B(x,y,z),111 222貝LlIABI二、AB2='(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2,2 1 2 1 2 1或/二&-xi)2+(y2-yi)2+(z2-zi)2?講解范例:已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度;解：(2)到A求：(1)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度;解：(2)到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)x,y,z滿足的條件(1)設(shè)M是線段AB的中點(diǎn)，則OM=1(OA+OB)=(2,3,3).2 2二AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2,2,3),d^B=7(1-3)2+(0-3)2+(5-1)2-回.(2),??點(diǎn)P(x,y,z)到A,B兩點(diǎn)的距離相等，貝U\；,(x-3)2+(y-3)2+(z-1)2=(Xx-1)2+(y-0)2+(z-5)2,化間得：4x+6y-8z+7=0,所以，到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)x,y,z滿足的條件是4x+6y-8z+7-0.精心整理點(diǎn)評(píng)：到aB兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)構(gòu)成的集合就是線段的中垂面，若將點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y,z滿足的條件4x+6y-8z+7=0的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)向量a=(4,6-8),發(fā)現(xiàn)與AB=(-2,-3,4)共線例2.如圖正方體ABCD-ABCD中，BE=DF=1AB，求BE與DF所成角的余弦1111 11 11411 1 1解：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,勺吟1勺吟1),則B(1,1,0), 々(1,4」)，D(0,0,0),???兆二(0,-；』)，。勺二吟D，m15TOC\o"1-5"\h\zBE-DF=0義0+(-義-)+1x1=-1 1 44 16—>—, "cos『BE,DF''二二6—二—.■-1 1 17<17 17_,_, 4 4例3二知三角形的頂點(diǎn)是A(1,-1,1), B(2,1,-1), C(-1,-1,-2)，試求這個(gè)三角形的面積分析：可用公式S=11ABI-IACI-sinA來(lái)求面積2解：:AB=(1,2,-2),AC=(-20,-3),；?IAB72+22+(-2)2=3,IACI=J(-2)2+0+(-3)2=<13,AB-_AC=(1,2,-2)?(-2,0,