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排列組合問題:6位新教師全部分給4所學(xué)校,每校至少1人,共有多少種不同的分配方安?給每個(gè)學(xué)校分一個(gè)老師先,其分配方案為:第一個(gè)學(xué)校有6種可能,第二個(gè)學(xué)校有5種可能,第三個(gè)學(xué)校有4種可能,第四個(gè)學(xué)校有3個(gè)可能,即:A1=6*5*4*3;即A64(打不出來那種符號,理解便可);然后是把兩個(gè)老師分到4個(gè)學(xué)校的問題了,即:剩下的兩個(gè)人每一個(gè)都有4種可能,他們可以去四所學(xué)校的任一學(xué)校A2=4*4;總的方案為:A=A1*A2;1.3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所所為學(xué)生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士,不同的分配方法共有( )(A)90種 (B)180種(C)270種(D)540種【解析】三名醫(yī)生各自去一所學(xué)校,即對醫(yī)生或者學(xué)校其中一個(gè)全排列即可,A33=6種護(hù)士是每所學(xué)校去2名,即2,2,2的分配,因此是C62*C42/A33,然后對醫(yī)院全排列,即A33,所以護(hù)士是C62*C42(知識鏈接參考蘋果分盤子問題)A33*C62*C42=5402.5本不同的書,全部分給四個(gè)學(xué)生,每個(gè)學(xué)生至少1本,不同分法的種數(shù)為()(A)480(B)240(C)120 (D)96【解析】分配的方法是:1,1,1,2根據(jù)從左往右法直接列式C52*A44=2403.編號為1,2,3,4,5的五個(gè)人分別去坐在編號為1,2,3,4,5的座位上,至多有兩個(gè)號碼一致的坐法種數(shù)為() (先看29題)(A)90(B)105(C)109 (D)100【解析】至多有兩個(gè)號碼一致,要分情況考慮沒有號碼一致:即都不正確的方法是:44(全排錯(cuò),對應(yīng)元素有5個(gè))只有一個(gè)號碼一致:其他4個(gè)不正確的方法是:C51*9(全排錯(cuò),對應(yīng)元素有4個(gè))只有兩個(gè)號碼一致:其他3個(gè)不正確的方法是:C52*2(全排錯(cuò),對應(yīng)元素有3個(gè))44+C51*9+C52*2=109若把英語“errO中字母的拼寫順序?qū)戝e(cuò)了,則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤的種數(shù)是()。(A)19(B)20 (C)119(D)60【解析】先對5個(gè)元素全排列,然后除去3個(gè)元素相同的情況,最后再減去正確的拼寫方法一種即可A55/A33-1=19某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是:勝一場,得3分;平一場,得1分;負(fù)一場,得0分,一球隊(duì)打完15場,積分33分若不考慮順序,該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況有()(A)6種(B)5種(C)4種 (D)3種【解析】33=11*3+4*033=10*3+3*1+2*033=9*3+6*1+0*03種從6臺原裝計(jì)算機(jī)和5臺組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺,則不同的取法有()種?!窘馕觥糠诸惪紤]:從6臺原裝計(jì)算機(jī)里面取2臺,再從5臺組裝計(jì)算機(jī)里面取3臺,C62*C53從6臺原裝計(jì)算機(jī)里面取3臺,再從5臺組裝計(jì)算機(jī)里面取2臺,C63*C52C62*C53+C63*C52=350在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生,那么不同的奪冠情況共有()種.(A)24 (B)64 (C)81 (D)6【解析】每一項(xiàng)比賽的冠軍都可以是甲乙丙三個(gè)人中的任意一個(gè)3人4=81有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球,排成一排,共有多少種不同的排列方法?【解析】對8個(gè)元素全排列,然后除去3個(gè)同色和5個(gè)同色的全排列即可A88/A33*A55或者在8個(gè)元素里面選出3個(gè)或者5個(gè)同色的即可C83=56某交通崗共有3人,從周一到周日的七天中,每天安排一人值班,每人至少值2天,其不同的排法共有()種.(A)5040 (B)1260 (C)210 (D)630【解析】“蘋果分盤子的變形”將7天看成“蘋果”,3個(gè)人看成是3個(gè)“盤子”一周7天各不相同,人與人也不相同可以分配的方法是:2,2,3根據(jù)從左往右法直接列出式子C73*C42/A22*A33=630用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有()(A)36個(gè) (B)48個(gè)(C)66個(gè) (D)72個(gè)【解析】分四位數(shù)和五位數(shù)考慮,72現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民幣各一張,100元人民幣2張,從中至少取一張共可組成不同的幣值種數(shù)是()(A)1024種(B)1023種(C)1536種(D)1535種【解析】“插板法”的運(yùn)用除了100元,其他的人民幣都可以有選取或者不選取這兩種,2人9100元有三種,不選取、選取1張、選取2張,3再除去都不取的情況1種,答案即出來2人9*3-1=153512、 現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有()種.【解析】“捆綁法”的運(yùn)用將甲乙丙三人“捆綁”成一個(gè)元素,那么總的元素變成6個(gè),A33*A66然后用總的8個(gè)元素全排列去減即可A88-A33*A6613、 高三年級的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,其中工廠甲必須有班級去,每班去何工廠可自由選擇,則不同的分配方案有()(A)16種(B)18種 (C)37種(D)48種【解析】“逆向思維”來考慮不考慮甲廠必須要有班級的情況3個(gè)班級,每個(gè)班級都可以選擇4家廠中的任意一個(gè),4人3都不取甲廠的情況:3人34人3-3人3=3714、 7名學(xué)生站成一排,甲、乙必須站在一起有多少不同排法?【解析】“捆綁法”的運(yùn)用將甲乙捆綁成一個(gè)元素,總的元素變成6個(gè)A22*A6615、 7名學(xué)生站成一排,甲乙互不相鄰有多少不同排法?【解析】“插孔法”的運(yùn)用7個(gè)人,除去甲乙2人,剩下5個(gè)人,有6個(gè)空在6個(gè)空中插入甲乙2人,C62*A22=A62然后對那5個(gè)人全排列即可A55*A6216、 正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn),以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有多少個(gè)?!窘馕觥?個(gè)點(diǎn),任取3個(gè),C73然后除去三個(gè)點(diǎn)在一條直線的即可C73-317、 1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念,若老師不排在兩端,則共有不同的排法種?!窘馕觥?個(gè)人全排列,然后去掉老師在兩端的情況即可A55-2A4418、 乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員,派5名隊(duì)員參加比賽,3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置,其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置,那么不同的出場安排共有種?!窘馕觥咳髁υ谝?、三、五位置上全排列即可,A33然后在剩下的7名非主力中選取2人分在二、四位置上即可A33*A72=25219、 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為()A.42 B.30 C.20 D.12【解析】“插孔法”的運(yùn)用5個(gè)節(jié)目,有6個(gè)空,插入一個(gè)即,6種6個(gè)節(jié)目,有7個(gè)空,插入一個(gè)即,7種6*720、12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查,若每個(gè)路口4人,則不同的分配方案共有()【解析】“蘋果分盤子”的運(yùn)用分配方法:4,4,4根據(jù)從左往右法即可C(12,4)*C(8,4)21、從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,不同的種植方法共有()A.24種B.18種 C.12種D.6種【解析】先從除了黃瓜以外的其他三種蔬菜中取出2種,C32再對取出的3種蔬菜全排列即可C32*A33=1822、 把10本相同的書發(fā)給編號為1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室,每個(gè)閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù),試求不同分法的種數(shù)?!窘馕觥俊安灏宸ā钡倪\(yùn)用先給編號是1,2,3的閱覽室分別給予0,1,2本書那么還剩下10-0-1-2=7本書題目轉(zhuǎn)化成:7本相同的書,分到3個(gè)閱覽室,每個(gè)閱覽室至少有一本書的情況。7本書,6個(gè)空,2塊板將其分成3分C6223、用0,2,3,4,5,五個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)共有()°A.24個(gè) B.30個(gè)C.40個(gè)D.60個(gè)【解析】分類考慮即可4*3+2*3*3=3024、 有8本不同的書;其中數(shù)學(xué)書3本,外語書2本,其它學(xué)科書3本.若將這些書排成一列放在書架上,讓數(shù)學(xué)書排在一起,外語書也恰好排在一起的排法共有()種?!窘馕觥俊袄壏ā钡倪\(yùn)用數(shù)學(xué)書、外語書,看成2個(gè)元素,那么總的元素變成5個(gè),全排列再對數(shù)學(xué)書和外語書分別排列即可A33*A22*A5525、 用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù),要求1與2相鄰,2與4相鄰,5與6相鄰,而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有()個(gè)。【解析】1與2相鄰,2與4相鄰,那么情況要么是124,要么是421這兩種5月6相鄰,那么全部元素變成5種:124,3,56,7,8因?yàn)?、8不能相鄰,那么124,3,56這3個(gè)元素全排列,A33對56全排列,A22然后在124,3,56三個(gè)元素的4個(gè)空中插入7、8即可,A422*A22*A33*A42=28826、 6個(gè)人排隊(duì),甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種?【解析】甲乙丙的順序確定,那么對6個(gè)元素全排列后再除去3個(gè)元素的全排列即可A66/A3327、 4個(gè)男生和3個(gè)女生,高矮不相等,現(xiàn)在將他們排成一行,要求從左到右女生從矮到高排列,有多少種排法?!窘馕觥颗捻樞虼_定,那么對7個(gè)人全排列后再除去3個(gè)元素的全排列即可A77/A3328、 7個(gè)人坐兩排座位,第一排3個(gè)人,第二排坐4個(gè)人,則不同的坐法有多少種?【解析】7個(gè)人可以任意坐,直接對人全排列即可A7729、 將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號為1,2,3,4的方格中,每方格填1個(gè),方格標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有()A.6 B.9 C.ll D.23【解析】元素是1個(gè):0種元素是2個(gè):1種元素是3個(gè):2種元素是4個(gè):9種元素是5個(gè):44種元素是6個(gè):265種 本題的全排錯(cuò)元素有4個(gè),故為9種30、方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解【解析】正整數(shù)就是除去0的自然數(shù)1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1211個(gè)加號,選取其中的3個(gè)加號即可C(11,3)31、從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺,其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺,則不同的取法共有()種.A.140種B.80種 C.70種 D.35種【解析】先從4臺甲型電視機(jī)中取1臺,5臺乙型電視機(jī)中取2臺,C41*C52再從4臺甲型電視機(jī)中取2臺,5臺乙型電視機(jī)中取1臺,C42*C51加起來即可C41*C52+C42*C51=7032、從1到100的自然數(shù)中,每次取出不同的兩個(gè)數(shù),使它們的和大于100,則不同的取法種數(shù)有多少種?!窘馕觥壳蠛凸接涀〖纯蒒A2=50A2=250033、六人站成一排,求甲不在排頭,乙不在排尾的排列數(shù)甲不在排頭,乙不在排尾,且甲乙不相鄰的排法數(shù)【解析】六個(gè)人全排列-(甲在排頭+乙在排尾)+甲在排頭乙在排尾A66-2A55+A44對除了甲乙的其他4個(gè)人全排列,A444個(gè)人有5個(gè)空_人_人_人_人_甲在第二個(gè)空時(shí),乙可以在:1,3,4空甲在第三個(gè)空時(shí),乙可以在:1,2,4空甲在第四個(gè)空時(shí),乙可以在:1,2,3空甲在第五個(gè)空時(shí),乙可以在:1,2,3,4空所以答案就是:A44*(3+3+3+4)=31234、某同學(xué)逛書店,發(fā)現(xiàn)三本喜歡的書,決定至少買其中一本,則購買方案有A.3種B.6種C.7種D.9種【解析】正面法考慮:一本的情況有:C31=3種兩本的情況有:C32=3種三本的情況有:C33=1種3+3+1=7種反面法考慮:隨便拿的情況:2人3=8種一本都不拿的情況:C30=1種8-1=7種35、某公共汽車上有10名乘客,沿途有5個(gè)車站,乘客下車的可能方式有()A.5T0種B.10A5種C.50種D.以上都不對【解析】每個(gè)人都可以選擇任何一個(gè)車站下車,5A10種36、某高校從8名優(yōu)秀畢業(yè)生中選出5名支援中國西部開發(fā)建設(shè),某人必須當(dāng)選的種數(shù)是()A.35 B.56 C.21 D.36【解析】某人必須當(dāng)選,這個(gè)人已經(jīng)確定了,剩下7個(gè)人中選4個(gè)即可,C74=3537、某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品,每只產(chǎn)品均不相同,但需進(jìn)行科學(xué)測試才能區(qū)分出來,今每次取出一只測試,直到4只次品全測出為止,則最后一只次品恰好在第五次測試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情況共有種數(shù)是()A.24 B.144 C.576 D.720【解析】第五個(gè)是次品,有4種情況,前面四個(gè)里面有3個(gè)是次品,因?yàn)楦鞑幌嗤?*A43*6=57638、 甲、乙兩人參加環(huán)保知識競答,共有8道不同的題目,其中選擇題5個(gè),判斷題3個(gè),甲、乙二人依次各抽一題甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是【解析】5/8*3/7=15/5639、 用0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)碼,可以組成無重復(fù)數(shù)字且被5整除的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是()【解析】被五整除,末尾是0或者5當(dāng)末尾是0時(shí)有:A53=60當(dāng)末尾是5時(shí)有:4*4*3=4860+48=10840、某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì),每個(gè)車隊(duì)的車都多于4輛且型號相同,要從這7個(gè)車隊(duì)中抽出10輛車組成一個(gè)運(yùn)輸車隊(duì),每個(gè)隊(duì)至少抽1輛車,則不同的抽法有()種。【解析】10輛車,分配到7個(gè)車隊(duì),每個(gè)車隊(duì)至少要有1輛車。滿足插板法10輛車,9個(gè)空,6塊板將其分成7份C96=8441、10件新產(chǎn)品中有一等品7件,二等品2件,三等品1件,從中任取3件,一等品、二等品、三等品各一件的概率是()?!窘馕觥?C71*C21*C11)/C(10,3)=7/6042、 某班有12名工人,其中A型血3人,B型血3人,O型血4人,AB型血2人,隨意抽取2人去驗(yàn)血,恰有2人是相同血型的概率是()?!窘馕觥?C32+C32+C42+C22)/C(12,2)=13/6643、 從3位老師和8位學(xué)生中,選派1位老師和2位學(xué)生一起參加某項(xiàng)活動(dòng),不同的選派方法的種數(shù)是()?!窘馕觥緾31*C82=84種44、 有三個(gè)袋子,其中一個(gè)袋子裝有紅色小球20個(gè),每個(gè)球上標(biāo)有1至20中的一個(gè)號碼.一個(gè)袋子裝有白色小球15個(gè),每個(gè)球上標(biāo)有1至15中的一個(gè)號碼,第三個(gè)袋子裝有黃色小球8個(gè),每個(gè)球上標(biāo)有1至8中的一個(gè)號碼。(1)從袋子里任取一個(gè)小球,有多少種不同的取法?口(1)從袋子里任取紅、白、黃色球各一個(gè),有多少種不同的取法?【解析】總共有20+15+8=43個(gè)小球,那么就有43種取法20*15*8=2400種取法45、5男5女共10個(gè)同學(xué)排成一行女生都排在一起,有幾種排法?女生與男生相間,有幾種排法?任何兩個(gè)男生都不相鄰,有幾種排法?5名男生不排在一起,有幾種排法?男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生,女生又不能排在隊(duì)伍的兩端,有幾種排法?【解析】5個(gè)女生捆綁在一起再加上5個(gè)男生,就是6個(gè)元素,A66*A55即可A55*A55*2即可5個(gè)女生6個(gè)空,A65*A55即可全排列-男生排在一起=男生不排在一起,A(10,10)-A66*A55即可分情況討論甲在第一個(gè)位置時(shí):甲__乙 男甲乙排列,A22;中間兩個(gè)女生排列,A52;接下去5個(gè)人全排列,A55;最后一個(gè)是男生,A31。即A22*A52*A55*A31=A33*A52*A55甲不在第一個(gè)位置時(shí):“甲__乙”看成一個(gè)元素,首尾有兩個(gè)男生,即A22*A32*A52*A55因此答案就是上面的相加即可46、 要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng),按下列要求,有多少種不同選法?A、B、C三人必須入選A、B、C三人不能入選A、B、C三人只有一人入選A、B、C三人至少一人入選A、B、C三人至多二人入選【解析】在除了ABC三人以外的其他9人中取2人即可,C92=36在除了ABC三人以外的其他9人中取5人即可,C95=126在除了ABC三人以外的其他9人中取4人即可,C31*C94=378正面法考慮:三人中有一個(gè)的情況:剩下9人中選取4人,C31*C94=378三人中有兩個(gè)的情況:剩下9人中選取3人,C32*C93=252三人中都有的情況:C92=36378+252+36=666反面法考慮:除去三個(gè)人都沒入選的情況:C(12,5)-C95=666(5)正面法考慮:沒有一個(gè)入選的情況:C95=126只有一個(gè)入選的情況:C31*C94=378只有兩個(gè)入選的情況:C32*C93=252126+378+252=756反面法考慮:除去三人都入選的情況即可,C(12,5)-C92=75647、 有紅、黃、綠三種顏色的卡片,每種顏色均有A、B、C、D、E字母的各一張,現(xiàn)每次取出五張,要求字母各不相同,三種顏色齊備,問有多少種不同的取法?【解析】分配方法:113和122C53*3!=60C52*C32/2*3!=9060+90=15048、將5封信投入3個(gè)郵筒,不同的投法共有()種?!窘馕觥?封信都有3個(gè)選擇,3A549、同室4人各寫1張賀年卡,然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡,則4張賀年卡不同的分配方式有()種。【解析】全排錯(cuò)數(shù)列,元素有4個(gè),對應(yīng)9種50、某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻,現(xiàn)有編號為1到6的6種不同花色的石材可選擇,其中1號石材有微量的放射性,不可用于辦公室內(nèi),則不同的裝飾效果有()種?!窘馕觥哭k公室有5種選擇,其他三個(gè)地方分別由A53種答案就是:5*A53=30051、某銀行儲蓄卡的密碼是一個(gè)4位數(shù)碼,某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個(gè)位上的數(shù)字(如2816)的方法設(shè)計(jì)密碼,當(dāng)積為一位數(shù)時(shí),十位上數(shù)字選0.千位、百位上都能取0.這樣設(shè)計(jì)出來的密碼共有()種。【解析】千位數(shù)字為0時(shí),百位取[0,9]10個(gè)千位數(shù)字為1時(shí),百位取[0,9]10個(gè)千位數(shù)字為2時(shí),百位取[0,9]10個(gè)千位數(shù)字為3時(shí),百位取[0,9]10個(gè)千位數(shù)字為9時(shí),百位取[0,9]10個(gè)因此,共有10*10=100種52、 某班上午要上語、數(shù)、外和體育4門課,如體育不排在第一、四節(jié);語文不排在第一、二節(jié),則不同排課方案種數(shù)為()?!窘馕觥康谝还?jié)課不安排體育和語文,那么第一節(jié)課有2種選擇第二節(jié)課不安排語文,那么第二節(jié)課有除去第一節(jié)課,剩下2種選擇,這時(shí)要分類考慮:第二節(jié)課是體育的話:第三節(jié)課有2種選擇第二節(jié)課不是體育的:第三節(jié)課有1種選擇(只能上體育)所以答案就是:2*(2+1)=653、 四個(gè)不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個(gè)盒中。恰有兩個(gè)空盒的放法有()種;甲球只能放入第2或3號盒,而乙球不能放入第4號盒的不同放法有()種【解析】分配方法有:0013和0022這兩種,根據(jù)從左往右法:(C43+C42/A22)*A42=84甲在第2號盒子的時(shí)候,乙可以在1、2、3號盒子,丙丁可以在1,2,3,4號盒子,所以有3*4*4=48種甲在甲在第3號盒子的時(shí)候,乙可以在1、2、3號盒子,丙丁可以在1,2,3,4號盒子,所以有3*4*4=48種因此答案為:48*2=9654、 設(shè)有編號為1、2、3、4、5的五個(gè)茶杯和編號為1、2、3、4、5的5個(gè)杯蓋,將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上,至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有()種?!窘馕觥咳佩e(cuò)問題至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號相同,分類兩個(gè)都相同,那么三個(gè)都不同:C53*2=20三個(gè)都相同,那么兩個(gè)都不同:C52*1=10四個(gè)都相同,那么一個(gè)都不同:C51*0=0五個(gè)都相同,那么沒有都不同:120+10+1=31種55、 某人射擊8槍,命中4槍,4槍命中中恰好有3槍連在一起的情況的不同種數(shù)為()?!窘馕觥坷壏ā⒉蹇辗ǖ木C合運(yùn)用連著命中的3槍和單獨(dú)命中的1槍不能“相遇”,看成2份因此在剩下沒命中的4槍里,出現(xiàn)5個(gè)空,C52然后對2份全排列即可,A22答案就是:C52*A22=2056、 把一同排6張座位編號為1,2,3,4,5,6的電影票全部分給4個(gè)人,每人至少分1張,至多分2張,且這兩張票具有連續(xù)的編號,那么不同的分法種數(shù)有()種?!窘馕觥空婵紤]:分配的情況是:1,1,2,2出現(xiàn)兩個(gè)連號的情況我們分類討論:12在一起:34,45,563種23在一起:45,562種34在一起:3+2+1=6種561種在4個(gè)人中選取兩個(gè)人去拿2張票的情況,A42=12再對拿兩張票的人全排列,A22因此答案就是:6*A42*A22=144種反面考慮:6張票分給4個(gè)人,利用插板法:C53*A44分配的情況有:1,1,2,2和1,1,1,3這兩種情況因此只需要減去1,1,1,3這種情況即可票出現(xiàn)3個(gè)連號的情況:123,234,345,456這4種,4*A44因此:C53*A44-4*A44=14457、 某化工廠實(shí)驗(yàn)生產(chǎn)中需依次投入2種化工原料,現(xiàn)有5種原料可用,但甲、乙兩種原料不能同時(shí)使用,且依次投料時(shí),若使用甲原料,則甲必須先投放.那么不同的實(shí)驗(yàn)方案共有()種?!窘馕觥糠诸愑懻摚簺]甲時(shí),在剩下的4種里面取2種:A42=12種有甲時(shí),在除了乙以外的其他3種里選取2種:C32=3種12+3=15種58、 某公司新招聘進(jìn)8名員工,平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門.其中兩名英語翻譯人員不能同給一個(gè)部門;另三名電腦編程人員也不能同給一個(gè)部門,則不同的分配方案有()種。【解析】平均分配,那么甲乙各有4人英語翻譯人員:1,1A22電腦編程人員:1,2A32其他三個(gè)人員:2,1C32所以答案就是:A22*A32*C32=3659、9名翻譯中,6個(gè)懂英語,4個(gè)懂日語,從中選撥5人參加外事活動(dòng),要求其中3人擔(dān)任英語翻譯,選撥的方法有()種?!窘馕觥靠偣灿?個(gè)人,有6個(gè)懂英語、4個(gè)懂日語,那么9個(gè)人中有1個(gè)既懂英語又懂日語,即5人懂英語,3人懂日語,1人兩樣全懂。正面法考慮:全懂的去做英語翻譯:C52*C32=30全懂的去做日語翻譯:C53*C31=30全懂的沒有參加:C53*C32=3030+30+30=90反面法考慮:全部的情況-全懂的既做英語翻譯又做日語翻譯:C63*C42-C52*C31=120-30=9060、從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人,至少有2名女同學(xué)當(dāng)選的選法有()種。【解析】正面法考慮:有2名女同學(xué)的情況:C52*C73=350有3名女同學(xué)的情況:C53*C72=210有4名女同學(xué)的情況:C54*C71=35有5名女同學(xué)的情況:C55*C70=1350+210+35+1=596反面法考慮:所有的情況-(沒有女同學(xué)+有1名女同學(xué)的情況)即可C(12,5)-(C50*C75+C51*C74)=59661、 4名醫(yī)生和6名護(hù)士組成一個(gè)醫(yī)療小組,若把他們分配到4所學(xué)校去為學(xué)生體檢,每所學(xué)校需要一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士的不同選派方法有()種?!窘馕觥酷t(yī)生的分配:1,1,1,1即全排列即可,A44護(hù)士的分配:1,1,1,3和1,1,2,2即(C63+C62*C42/A22)*A44相乘得到:A44*(C63+C62*C42/A22)*A44=3744062、 10個(gè)相同的球各分給3個(gè)人,每人至少一個(gè),有多少種分發(fā)?每人至少兩個(gè)呢?【解析】滿足插板法的三個(gè)條件,C92=36蘋果轉(zhuǎn)換法即可,C62=1563、從6雙不同顏色的手套中任取4只,其中恰好有一雙同色的取法有 。(A)240 (B)180 (C)120 (D)60【解析】先從6雙中取出一雙,C61再從5雙中取出2雙,C52然后取出的2雙分別有2只,區(qū)分左右手,即2人2因此答案就是:C61*C52*2人2=24064、 清明節(jié)三天假期,公司售后服務(wù)部要求必須每天有三人值班,而且每天必須有兩名男職員,安排服務(wù)部的4男3女值班的方法有多少種?()【解析】總共安排的總數(shù)有:C42*C31+C43*C30=18+4=22種現(xiàn)在有3天,那么總的情況就是:22人3種65、 某單位今年新進(jìn)了3個(gè)工作人員,可以分到3個(gè)不同的部門,但是每個(gè)部門最多只能接收兩個(gè)人,問,共有幾種不同的分配方案?【解析】分配方式:0,1,2和1,1,1根據(jù)從右往左法直接列式:(C32+1)*A33=2466、 5男4女排成一排,要求男生必須按從高到矮的順序,共有多少種不同的方法?【解析】男生順序已經(jīng)確定,所以在全排列的基礎(chǔ)上去掉男生全排列即可A99/A55=A9467、 一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目,如果保持這3個(gè)節(jié)目的相對順序不變,再添進(jìn)去2個(gè)新節(jié)目,有多少種安排方法?(08國考)A.20 B.12 C.6 D.4【解析】插孔法:4*5=2068、 廚師從12種主料中挑出2種,從13種配料中挑選出3種來烹飪某道菜肴,烹飪的方式共有7種,那么該廚師最多可以做出多少道不一樣的菜肴A.131204 B.132132 C.130468D.133456【解析】分別選取即可,根據(jù)乘法原理C(12,2)*C(13,3)*769、 有6個(gè)不同的徽章分給4個(gè)人有幾種分法?有6個(gè)相同的徽章分給4個(gè)人有幾種分法?【解析】4人6插板法:C(9,3)70、10個(gè)人坐成一個(gè)圓圈,問不同坐法有多少種?【解析】十個(gè)人全排列:A(10,10)因?yàn)锳BCDEFGHIJ和BCDEFGHIJA等十個(gè)相同,故A(10,10)/10=A(9,9)即可71、 用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù),但要求1排在2前面,求符合要求的九位數(shù)的個(gè)數(shù)。【解析】對9個(gè)數(shù)字全排列,A(9,9),因?yàn)?不在2前面就在2后面故答案為:A(9,9)/272、 7個(gè)人坐成一排照像,其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰,則共有多少排法?!窘馕觥咳サ艏滓冶齻€(gè)人以外,剩下4個(gè)人,5個(gè)空把甲乙丙按照一定順序放進(jìn)5個(gè)空中,C53所以排法數(shù)就是:C53*A4473、 一排共9個(gè)座位,甲、乙、丙三人按如下方式入座,每人左、右兩旁都有空座位,且甲必須在乙、丙兩人之間,則不同的坐法共有幾種【解析】甲乙丙順序已定,剩下6個(gè)人中間有5個(gè)空,C53乙丙全排列A22答案就是:C53*A2274、 將9個(gè)學(xué)生分配到甲乙丙三個(gè)宿舍,每宿舍至多四人(床鋪不分次序),則不同的分配方法有幾種?【解析】分配方法:1,4,4 2,3,43,3,3根據(jù)從右往左法得到:(C94*C54+C94*C53+C93*C63/A33)*A3375、 將"一寸光陰一寸金"全取重新排列,問一任意排列有幾種排法?二同字不相鄰,則有幾種排法?【解析】:全排列,去掉“一”、“寸”各自排列即可,A77/A22/A22:任意排列一“一”、“寸”分別相鄰+“一”、“寸”都相鄰A77/A22/A22-2*A66/A22+A5576、 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛等八人排成一列,若甲、乙不排首位,丙、丁不排末位,則有幾種排法?【解析】全排列-甲(或乙)在首位-丙(或丁)在末尾+甲(或乙)在首位、丙(或?。┰谀┪布矗篈88-4*A77+4*A6677、 設(shè)有相同的白球6個(gè),紅球7個(gè),黑球8個(gè),從中任取4個(gè)球取法有幾種?又排成一列有幾種方法?【解析】:分類討論一種顏色:3種兩種顏色:3*3=9種三種顏色:3種所以總共有:3+9+3=15種或者,紅白黑三種顏色的小球都大于4個(gè),所以整個(gè)為一個(gè)重復(fù)組合即H(4,3)=C(4,3+4-1)=C(4,6)=15種②:因?yàn)槊總€(gè)位置上可以有3種選擇,所以是3*3*3*3=3人4=81種78、設(shè)x+y+z+u=12,求正整數(shù)解有幾組?非負(fù)整數(shù)解有幾組?正奇數(shù)解有幾組?x>2,y>3,z>-4,u>-5,之整數(shù)解有幾組?【解析】:正整數(shù)解,則x、y、z、u都>1,滿足至少一個(gè)的情況,用插板法即可C(11,3)非負(fù)整數(shù)解,則x、y、z、u都>0,原式子化成(x+1)+(y+1)+(z+1)+(u+1)=16,這樣滿足插板法,C(15,3):正奇數(shù)解,則(x+1)/2、(y+1)/2、(z+1)/2、(u+1)/2都是正整數(shù)解,原式子化成x+1)/2+(y+1)/2+(z+1)/2+(u+1)/2=8,滿足插板法C(7,3):x>2,y>3,z>-4,u>-5,則x-2>0,y-3>0,z+5>l,u+6>l原式子化成(x-2)+(y-3)+(z+5)+(u+6)=18,滿足插板法C(17,3)79、 四對夫妻參加一個(gè)舞會(huì),試就下列情況求各有幾種方法?①男女任意配對。有兩位先生不以其妻為舞伴。有三位先生不以其妻為舞伴。位先生均不以其妻為舞伴?!窘馕觥浚簩δ械娜帕校ɑ蛘邔ε娜帕屑纯桑珹44=24:有兩位先生不以其妻為舞伴,所以C42*1=6:有三位先生不以其妻為舞伴,所以C43*2=8:四位先生均不以其妻為舞伴,所以C44*9=980、 爸爸、媽媽、哥哥與妹妹4人參加喜宴,與其他客人坐滿一桌12個(gè)坐位。若桌子為圓桌,且此12人任意圍圓而坐,則有幾種不同的坐法?若桌子為圓桌,而爸爸、媽媽、哥哥與妹妹4人坐位相鄰且哥哥、妹妹夾坐于爸爸、媽媽中間,則有幾種不同的坐法?若桌子為長桌,長邊坐4人,短邊坐2人,此12人任意圍坐,有幾種不同的坐法呢?【解析】①:(12-1)!=11!:四個(gè)人捆綁成一個(gè)元素,剩下8個(gè)人,合起來就是9個(gè)元素,(9-1)!=8!,然后再對爸爸媽媽以及哥哥妹妹全排列即可,8!*2!*2!:將12人排成直線就是12!,然后因?yàn)?,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12和7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6是相同的,所以答案為:12!/281、設(shè)x+y+zV12,求正整數(shù)解有幾組?②非負(fù)整數(shù)解有幾組?【解析】和78題類似:C(11,2):C(14,2)82、設(shè)有四支相同的筆,分給甲、乙、丙、丁、戊、己,等六人,①任意分有幾種分法?②甲至多一枝有幾種分法?每人至多一枝有幾種分法?【解析】:“蘋果轉(zhuǎn)換法”,假設(shè)六個(gè)人已經(jīng)沒人都有一支相同的筆,那么筆的總數(shù)變成10支,10支筆9個(gè)空,找5塊板將其分給6個(gè)人即可,C(9,5):分類討論甲一支都沒有時(shí):同①,C(8,4)甲只有一支筆時(shí):同①,C(7,4)答案加起來即可:分配方式為:0,0,1,1,1,1,就是6個(gè)人選4個(gè)人去拿蘋果,C6483、甲、乙、丙等9人,任選5人圍圓桌而坐,其余4人圍方桌而坐,而且甲、乙不能同桌,會(huì)有幾種不同的坐法呢?【解析】“全排列”-“甲乙在一桌即可”A(9,5)/5*A(4,4)/4-A(7,4)/4*A(5,5)/5-A(7,5)/5*A(4,4)/4=A94*A33-A73*A44-A74*A3384、 有不同色之珠子10顆,取六顆串成一項(xiàng)鏈,并從剩下的珠子里面取一顆放于環(huán)心,求其方法數(shù)。【解析】10顆里面取6顆,A(10,6)再從剩下的4顆里面選1顆,C41因?yàn)轫?xiàng)鏈可以翻轉(zhuǎn),所以要*1/2然后排列即可,答案為:A(10,6)/6*C41*1/285、 設(shè)有七支相同的筆,分給甲乙丙三人,求任意分有幾種分法?甲至少一支有幾種分法?每人至少一支有幾種分法?甲至少一支,乙至少二支有幾種分法?【解析】TOC\o"1-5"\h\z:C92:C82:C62:C6286、有一正三角柱,即頂面與底面為兩全等正三角形,側(cè)面為三全等矩形。今欲從7種顏色中選取5種涂于此柱,各面異色,可得()種不同的正三角柱?!窘馕觥繉θ〕龅?種顏色全排列,因?yàn)樾D(zhuǎn)后側(cè)面有3種相同,底面有2種相同,所以再/2*3=6即可,A75/2*387、一平面上有12點(diǎn),其中有5點(diǎn)共線,其余任意三點(diǎn)不共線,問:這些點(diǎn)可以連成多少條直線?幾個(gè)三角形?【解析】:逆向思維2點(diǎn)確定一條直線12個(gè)點(diǎn)可以有C(12,2)條直線5個(gè)點(diǎn)可以有C(5,2)條直線C(12,2)-C(5,2)+1(+1是5個(gè)點(diǎn)共線的情況):逆向思維3點(diǎn)確定一個(gè)三角形C(12,3)-C(5,3)88、將18本不同的寫真集,依6本、6本、6本分成三堆之方法有幾種?5本、5本、8本分成三堆之方法有幾種?5本、6本、7本分成三堆之方法有幾種?【解析】:分配方法是6,6,6C(18,6)*C(12,6)/A33:分配方法是5,5,8C(18,8)*C(10,5)/A22:分配方法是5,6,7C(18,7)*C(11,6)89、從1到20的自然數(shù)中,選出相異三數(shù),求下列組合數(shù)各為多少:三數(shù)中的最大數(shù)大于10?三數(shù)中的最大數(shù)大于17且最小數(shù)小于3?【解析】:任意取3個(gè)數(shù),C(20,3)再選取都小于10的情況,C(10,3)所以是C(20,3)-C(10,3):分類討論最小數(shù)在[1,2]時(shí),其他兩個(gè)在[18,20],有2x3=6種最小和第二小數(shù)在[1,2]時(shí),最大數(shù)在[18,20],有1x3=3種最小數(shù)在[1,2],中間數(shù)在[3,17],最大數(shù)在[18,20]時(shí),2x15x3=90種所以答案就是:6+3+90=99種90、假設(shè)某餐廳備有肉4種,魚3種,蔬菜5種,有位客人預(yù)計(jì)各點(diǎn)一種肉、魚、和蔬菜,問他可有幾種點(diǎn)菜的方法?【解析】種肉中選1種,C413種魚中選1種,C31種蔬菜選1種,C51答案就是:C41*C31*C51=6091、一兔穴有進(jìn)出口4處,問由不同進(jìn)出口進(jìn)出的方法有幾種?【解析】入口有4種選擇,出口有3種選擇4x3=12種92、 某商店販賣5家廠商出品的牙膏,而每一家廠商出品的牙膏都有3種大小不同的包裝,又每種包裝均分含有氟化物及不含氟化物的2種,今某人欲在此商店選購一支牙膏,問方法有幾種?【解析】乘法原則:5x3x2=30種93、 由1,2,3,4,5,6,7,8,9九個(gè)數(shù)字所構(gòu)成的三位數(shù)有多少個(gè)?其中數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)。【解析】三位數(shù),每個(gè)位有9種選擇,9人3=72994、 將5個(gè)不同的球放入4個(gè)不同盒子中,每個(gè)盒子裝球的數(shù)量不限,試問共有幾種放法?【解析】每個(gè)小球有4種選擇,4人595、 某地共有6家飯店,今有3人欲投宿至此地之飯店,試問共有幾種投宿法?【解析】每個(gè)人有6種選擇,6人396、 有5件獎(jiǎng)品要分給7個(gè)人,每人可拿超過一件,試問共有幾種方法?【解析】每件獎(jiǎng)品有7種選擇,7A597、 將4種酒倒入3個(gè)不同的酒杯,每杯都要倒酒,且只能倒一種酒,試問共有幾種倒法?【解析】3個(gè)酒杯都有4種選擇,4人398、 將3顆不同的珠子(紅、黃、藍(lán)),作成一條手鍊,可作成幾條不同的手鍊呢?【解析】2!/2=199、 有10顆不同的珠子全部串成一條項(xiàng)鍊,有多少種不同的串法?取出6顆串成一條項(xiàng)鍊,有多少種不同的串法?【解析】:9!,然后因?yàn)轫?xiàng)鏈可以翻轉(zhuǎn),所以再*1/2即可,9!/2:A(10,6)/6,同上,A(10,6)/6/2100、 用9粒不同色鉆石,取5粒做項(xiàng)鍊,問有多少種不同的串法?【解析】A(9,5)/5/2101、有紅、黃、藍(lán)等20顆不同色的珠子,串成一個(gè)項(xiàng)鍊,若紅、黃、藍(lán)三色相鄰,可串成幾種不同的項(xiàng)鍊?【解析】紅、黃、藍(lán)捆綁成一個(gè)元素,剩下17顆珠子,所以共有18個(gè)元素所以對(18-1=17)全排列,再對紅黃藍(lán)全排列,最后因?yàn)榉D(zhuǎn)再*1/2即可17!x3!/2102、有四種不同顏色的珠子,每種顏色均有大小各一,共8顆串成一串珠鍊,大小相隔且同色相鄰,則可串成幾種不同的珠鍊?【解析】同色捆綁,捆成4捆,3!/2,再對同色排列即可3!x2!/2103、 有10顆不同的珠子,取出其中6顆作一項(xiàng)圈,再取出另一顆放在項(xiàng)圈中心,若項(xiàng)圈可翻轉(zhuǎn),試問共有多少種不同的做法?【解析】A(10,6)/6x4/2104、 若要從A,B,C,D,E五個(gè)人之中不考慮次序選出三個(gè)人作為一組,參加三對三籃球賽,將會(huì)有多少種選法?【解析】C53=10105、從6個(gè)男生,5個(gè)女生當(dāng)中選出五人組成一個(gè)委員會(huì),但規(guī)定男女生至少各有2人,問有多少種選法?【解析】C62*C53+C63*C52106、從6個(gè)男生,5個(gè)女生當(dāng)中選出五人組成一個(gè)委員會(huì),但規(guī)定最少要有一名女生委員,問有幾種不同的選法?【解析】C(11,5)-C(6,5)107、 一副撲克牌共有52張,自一副撲克牌中任取5張,試求下列的情形各有幾種:Full-house(5張之中有2張同點(diǎn)數(shù),另外3張亦同點(diǎn)數(shù))Two-pairs(即點(diǎn)數(shù)如(x,x,y,y,z)的形式,但x,y,z是不同點(diǎn)數(shù))同花順同花(不含同花順)【解析】:A(13,2)xC42xC43:A(13,3)xC42xC42xC41:4x10:4x[C(13,5)-10)]108、 自一副撲克牌中任取13張,試求13張牌中至少有一張黑桃的情況有幾種?【解析】52張牌中選13張,C(53,13)在沒有黑桃的39張中選13張,C(39,13)答案就是:C(53,13)-C(39,13)109、 右圖是由三組平行線構(gòu)成,試問:①圖中共有 個(gè)三角形圖中共有 個(gè)平行四邊形圖中共有 個(gè)梯形(平行四邊形不視為梯形)【解析】:三邊確定一個(gè)三角形,2x3x4=24:四邊確定一個(gè)三角形,C22xC32+C22xC42+C32xC42=27:C22xC31xC41+C32xC21xC41+C42xC21xC31=72110、 試問下圖中有多少矩形?從左上角走到右下角,每次走一段,請問最捷徑的方法有多少種?【解析】1、 C72xC622、 向下走5段,向左走6段,總共需要走11段,C(11,5)種111、 同花色的13張撲克牌中,若把J,Q,K,A等四張表示的牌稱為大牌,試求自此13張牌中任意抽出3張,其中恰含有二張大牌的組合數(shù)?【解析】C42xC91=54112、有8位旅客搭乘一列掛有4節(jié)車廂的火車,試求:第一節(jié)車廂恰有2位旅客之坐法有幾種?每節(jié)車廂皆有其中2位旅客之坐法有幾種?【解析】:8個(gè)旅客選2個(gè)進(jìn)第一節(jié)車廂,C82剩下6個(gè)人任意坐,每個(gè)人有3種選擇,3人6答案就是:C82x3A6:分配情況是:2,2,2,2C82xC62xC42113、 從1到50之正整數(shù)中任意取出3個(gè),若其和為3之倍數(shù)的共有幾種?若三數(shù)相乘,其積為3之倍數(shù)的共有幾種?【解析】:50/3=16 2所以有17個(gè)除以3余1的數(shù),17個(gè)除以3余2的數(shù),16個(gè)除以3余0的數(shù)三個(gè)數(shù)之和是3的倍數(shù),組合的情況是:000、111、222、012這4種000時(shí):C(16,3)111時(shí):C(17,3)222時(shí):C(17,3)012時(shí):16x17x17加起來就是答案:C(16,3)+C(17,3)+C(17,3)+16x17x17:分類討論1張除以3余0的時(shí)候:13xC(34,2)2張除以3余0的時(shí)候:C(13,2)xC(34,1)3張除以3余0的時(shí)候:C(13,3)114、 如下圖之街道圖,某人欲從A走捷徑至B但不經(jīng)過C,試問共有幾種走法?【解析】A到B任意走的情況:(7+4)!/7!/4!=C(11,4)經(jīng)過C的情況:(3+1)!/3!x(4+3)!13!/4!=C(4,3)xC(7,3)減一下就是答案:C(11,4)-C(4,3)xC(7,3)=330—140=190115、 三個(gè)"1",二個(gè)"3",一個(gè)"0"及一個(gè)"8",共七個(gè)數(shù)字排成一列,試問可排成幾個(gè)不同的7位數(shù)?【解析】任意排列:7!/3!/2!=4200在首位:6!/3!/2!=60420-60=360個(gè)116、 甲、乙、丙、丁、戊、己為三男三女,圍一圓桌而坐,則男女相隔的坐法有幾種?【解析】3個(gè)男生全排列:3!3個(gè)男生中間有3個(gè)空3個(gè)女生放進(jìn)去全排列:3!/3=2!所以是:3!x2!=12種117、 五對夫婦圍一圓桌而坐,男女相間之坐法有幾種?【解析】5個(gè)男士全排列:5!5個(gè)男士中間有5個(gè)空5個(gè)女士放進(jìn)去全排列:5!/5=4!所以是:5!x4!118、 甲、乙、丙、丁、戊、己6人圍圓而坐,若甲乙兩人相鄰而坐,其坐法有幾種?【解析】甲乙捆綁成一個(gè)元素,算上剩下的4個(gè)人,共有5個(gè)元素,5!/5=4!甲乙全排列:2!所以答案是:4!x2!119、乙、丙、丁、戊、己6人圍圓而坐,若甲、乙、丙三人相鄰而坐,其坐法有幾種?【解析】甲乙丙捆綁,剩下3個(gè)人,組成4個(gè)元素:4!/4=3!然后對甲乙丙全排列:3!答案就是:3!x3!120、 甲、乙、丙三人一起去吃飯,他們挑了一正方桌而坐,每邊至多坐一人,請想想他們?nèi)藭?huì)有幾種不同的坐法呢?【解析】將3個(gè)人和1個(gè)空位看成4個(gè)元素,4!方桌有4邊,所以答案為:4!/4=3!121、 用六種顏色涂一正四面體,使其每面顏色均不同之方法數(shù)為何?【解析】六種顏色涂四個(gè)面:A(6,4)正四面體旋轉(zhuǎn)有3種,然后有4個(gè)相同的面所以答案為:A(6,4)/3/4=30種122、用6種顏料涂一正方體之每邊,且各面須異色,則可涂出若干種不同色彩之正方體?【解析】六種顏色涂六個(gè)面:6!正方體翻轉(zhuǎn)數(shù)有6,旋轉(zhuǎn)數(shù)有4所以答案為:6!/6/4=30種123、若由10種顏料來涂此正方體,情形又如何?【解析】10種顏料涂六個(gè)面:A(10,6)正方體翻轉(zhuǎn)數(shù)有6,旋轉(zhuǎn)數(shù)有4所以答案為:A(10,6)/6/4=6300種124、 有一正三角柱,即頂面與底面為兩全等正三角形,側(cè)面為三全等矩形。今有7種顏色,涂于此柱,各面異色,可得多少種不同正三角柱。【解析】7種顏色涂5個(gè)面:A(7,5)正三角柱旋轉(zhuǎn)數(shù)有3,翻轉(zhuǎn)數(shù)有2所以答案為:A(7,5)/3/2=420種125、 有一圓柱,今有10種顏色,涂于此圓柱上,各面異色,可得幾種不同的圓柱?【解析】10種顏色涂3個(gè)面:A(10,3)圓柱體旋轉(zhuǎn)數(shù)為1,翻轉(zhuǎn)數(shù)為2所以答案為:A(10,3)/1/2=360種126、 用5種不同的顏色涂抹一直圓錐,規(guī)定每面僅涂一色,而且相鄰兩面不能涂同色,則其涂法有幾種?【解析】5種顏色涂2個(gè)面:A(5,2)圓錐旋轉(zhuǎn)數(shù)有1,翻轉(zhuǎn)數(shù)有1所以答案為:A(5,2)/1/1=20種127、5名學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組參加活動(dòng),每個(gè)科技小組至少有一名學(xué)生參加,則分配方法共有 種.【解析】分配方法:1,1,1,2C52*A44=240128、 六個(gè)人站一排甲不在排頭,乙不在排尾的排列數(shù)【解析】A66-2A55+A44=504甲不在排頭,乙不在排尾,且甲乙不相鄰的排法數(shù)【解析】甲在第二個(gè)位置,乙可以在第四、五的位置甲在第三個(gè)位置,乙可以在第一、五的位置甲在第四個(gè)位置,乙可以在第一、二的位置甲在第五個(gè)位置,乙可以在第一二三的位置甲在第六個(gè)位置,乙可以在第一二三四位置所以總的情況是:A44*(2+2+2+3+4)=312129、從0,1,2, , 9中取出2個(gè)偶數(shù)數(shù)字,3個(gè)奇數(shù)數(shù)字,可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?【解析】出現(xiàn)0時(shí),C41*C53=40,40*4*3*2=3840沒出現(xiàn)0,C42*C53=60,60*5*4*3*2=72003840+7200=11040種130、電梯有7位乘客,在10層樓房的每一層停留,如果三位乘客從同一層出去,另外兩位在同一層出去,最后兩人各從不同的樓層出去,有多少種不同的下樓方法?【解析】分配方法:1,1,2,3C73*C42*A(10,4)131、某班的10人中恰有班干部和團(tuán)干部各5名(1)班干部不全排在一起;【解析】10!-5!*6?。?)任何兩名團(tuán)干部都不相鄰;【解析】5!*A65(3)班干部和團(tuán)干部相間排列。【解析】5!*5!*2排列組合問題解析2008年12月25日星期四09:36P.M.排列組合應(yīng)用問題,題型繁多,解法獨(dú)特,但經(jīng)仔細(xì)分析研究,還是有一定規(guī)律可循。關(guān)鍵是掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列組合的定義,了解一些基本題型及其解法,掌握基本的一些分析問題的方法。一、基本題型及其解法(1)純排列問題“從幾個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列”是最簡單的純排列問題,但是它有三種題型變化,下面分別用例題予以說明。例1現(xiàn)有九位同學(xué)排成一行,試問:如果其中甲、乙兩位同學(xué)必須排在兩端,那么一共有多少種排法?如果甲不能排在最左端,乙不能排在最右端,那么一共有多少種排法?本例是屬于“某些元素'在'或'不在'某幾個(gè)位置上”的一種排列題型。“在”,一般用直接法解,即先取出這幾個(gè)元素并讓它們落在指定的位置上,然后再考慮其它元素;“不在”,一般用間接法,轉(zhuǎn)化為“在”來求解。例2現(xiàn)有五位男同學(xué),四位女同學(xué)排成一行,試問:如果男女同學(xué)各自排在一起,那么一共有多少種排法?如果男女同學(xué)相間地排,那么一共有多少種排法?本例是屬于“某些元素'相鄰'或'不相鄰'的一種排列題型。“相鄰”則將這要求“相鄰”的m個(gè)元素捆綁起來看成一個(gè)整體(一個(gè)大元素)與另外(n-m)個(gè)元素進(jìn)行全排列,再乘以這m個(gè)元素自身的全排列數(shù)即種排法;“不相鄰”,一般用插空法來解,即先將另外p(P三m-1)個(gè)元素排好,留出(p+1)個(gè)空擋,再讓這不能相鄰的m個(gè)元素插進(jìn)去,共有排法(種)。例3 現(xiàn)有五位男同學(xué),四位女同學(xué)排成一行,試問:如果其中甲、乙、丙三人次序一定,那么一共有多少種排法?如果男同學(xué)次序一定,女同學(xué)次序也一定,那么一共有多少種排法?本例是屬于“某幾個(gè)元素“次序一定”的一種排列題型。它的解法是先將n(n〉m)個(gè)元素全排列有種,就其中m個(gè)元素而言有種排法,但由于要求這m個(gè)元素次序一定,因此只能取 中的某一種排法,故共有排法/種,即順序固定問題用除法。(2) 純組合問題“從幾個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合”是最簡單的純組合問題,但是它有兩種題型變化,下面分別用例題予以說明。例4現(xiàn)從五位男同學(xué),四位女同學(xué)中選出5名代表,試問其中:男甲、女A都必須當(dāng)選,有幾種選法?男甲必須當(dāng)選,女A不能當(dāng)選,有幾種選法?本例是屬于“'含有'或'不含有'某些元素”的一種組合題型。“含”則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”則先將這些元素剔除,再從留下的元素中去取。例5現(xiàn)從五位男同學(xué),四位女同學(xué)中選出5名代表,試問其中:至少有一個(gè)女同學(xué)當(dāng)選,有幾種選法?最多有三個(gè)女同學(xué)當(dāng)選,有幾種選法?本例是屬于“'至少'或'最多'含有幾個(gè)元素”的一種組合題型。用分類法或排雜法解都可以,但是解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義,要保證分類合理,排雜準(zhǔn)確,謹(jǐn)防漏解與重復(fù)。(3) 排列組合混合題這類問題有兩群之間的排列題和分配(分組)問題兩類題型。例6①用1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中,由兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字和三個(gè)奇數(shù)數(shù)字組成的有多少個(gè)?②從n個(gè)不同元素里取出的m個(gè)元素的排列中,試問其中含有al,a2,,ap(n〉m〉p)這p個(gè)元素且這p個(gè)元素排在一起的排列有多少種?本例是典型的“兩群之間的排列問題”,它的解法是根據(jù)公式得來的,即從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列,可以分成兩步來完成:取出()一排好()。例7、6本不同的書,按照以下要求處理,各有幾種分法?平均分給甲、乙、丙三人。甲得一本,乙得兩本,丙得三本。一人得一本,一人得兩本,一人得三本。平均分成三堆(組)。一堆一本,一堆兩本,一堆三本。本例的①、②、③是屬于“分配問題”,它有兩種情況:一種是平均分配或者按某一種確定的分配方案分配(如②),那么只要一個(gè)一個(gè)地按要求去取,然后再將這些組合數(shù)乘起來即得;另一種是分配方案不確定的(如③),那么還要乘以分配人數(shù)的全排列數(shù)。本例的④、⑤是屬于“分堆(組)”問題,它有兩種情況:一是平均分組,如有kn不同元素平均分成k組,那么分法有種。另一種不是平均分組,那么其解法與分配問題的前一種情況相同。二、解排列組合應(yīng)用問題的一些分析方法對于解比較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題,往往比較困難,會(huì)有無從下手的感覺。為了提高分析問題和解決問題的能力,這里根據(jù)問題的不同特點(diǎn),介紹五種分析方法。(一)特征分析法例8從1,2,3,……,100這一百個(gè)數(shù)中,任取兩個(gè)不同的數(shù)相乘,其中積能被5整除的有多少個(gè)?能被5整除但不能被5n(n22,nUN)整除的有多少個(gè)?解:兩數(shù)中只要有一個(gè)是5的倍數(shù),那么它們的積就能被5整除,而1到100中共有20個(gè)5的倍數(shù)的數(shù),故共有取法種;能被5整除而不能被5n(n22,nUN)整除,那就是說這20個(gè)5的倍數(shù)的數(shù)中,不能取兩個(gè)相乘;同時(shí)還不能取這20個(gè)數(shù)中本已含有52因數(shù)的數(shù)25,50,75,100,因此符合題意的積共有(種)例9用1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),試問其中能被3整除的有多少?分析:能被3整除的數(shù)的特征是各位數(shù)字之和是3的倍數(shù),由1+2+3+4+5+6+7=28,又組成的是五位數(shù),因此應(yīng)從28中減去兩個(gè)數(shù)字使其差為3的倍數(shù),再由大到小依次考慮,便得到下面四種情況:解①28-1-2=24,由2,4,5,6,7五個(gè)數(shù)字,可組成個(gè)五位數(shù)。28-1-6=21或28-2-5=21或28-3-4=21,一共可組成 個(gè)五位數(shù)。28-3-7=18或28-4-6=18可組成個(gè)五位數(shù)。28-6-7=15可組成個(gè)五位數(shù)。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理:可得能被3整除的五位數(shù)共有 =840(個(gè))。上面兩例是抓住了能被5整除與能被3整除的數(shù)的特征,再進(jìn)行有條理有次序(特別是例2)的分析而得出解答的。因此在解應(yīng)用題時(shí),必須十分注意題意的內(nèi)含特征以及解題的條理性。(二) 排陣分析法例10從1到9這九個(gè)自然數(shù)中,每次取出不同的兩個(gè)分別作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù),問一共可以得到多少個(gè)不同的對數(shù)值?分析:由于底數(shù)不能取1,因此底數(shù)可以從2到9這八個(gè)數(shù)字中任取一個(gè);真數(shù)可以從留下的八個(gè)數(shù)字中任取一個(gè),故有個(gè)對數(shù)。但本題是問“有幾個(gè)不同的對數(shù)值?”,顯然是相同的,只能算一個(gè)。那么另外有沒有相同的對數(shù)值呢?那就要費(fèi)一番周折了,而且一個(gè)一個(gè)地找很容易造成遺漏,再考慮到底數(shù)取法只有八種情況,當(dāng)取某一值為底時(shí),真數(shù)依次排上的次序性很強(qiáng)(如等等),而且在排時(shí)若遇相同的值立即舍去,“重復(fù)取”的情況也就避免了,因此還是直接排出要方便些,可靠些。分別以2,3,4, , 9為底直接排出,可得共有53個(gè)不同的對數(shù)值例11 現(xiàn)在將準(zhǔn)備從七個(gè)學(xué)校選出12人組成區(qū)籃球隊(duì),要求每校至少有一人參加,向各校分配到的隊(duì)員人數(shù),可能有幾種不同情況?解:由于每校至少要有一人參加,因此這一個(gè)名額不妨先分配下去,還余下五個(gè)名額,因?yàn)闆]有其他的分配要求,因此這5個(gè)名額分配時(shí),可能有如下六種情況。(注:記號“11111”表示將5個(gè)名額分成5個(gè)“1”,分配到七個(gè)學(xué)校中去,每校1人,其余類推)分成“11111”有種分配法。分成“2111”有種分配法。分成“221”有種分配法。分成“311”有種分配法。分成“23”有種分配法。分成“41”有種分配法。分成“5”有種分配法。因此共有種分配法。通過上述兩例的分析,可以看出“排陣分析法”主要有三個(gè)優(yōu)點(diǎn):①解題方法直觀,易被接受;②條理性強(qiáng),便于思考分析;③取舍明確,可避免漏解或重復(fù)。(三) 元素、位置分析法例12 3封不同的信,投入4個(gè)不同的信箱,共有多少種不同的投信方法?解法一:元素分析法(以信為主)第一封信有四種不同的投法,不論把它投入哪一個(gè)信箱里,第二封信還有四種投法,同理第三封信也有四種投法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,故共有投法4x4x4=64(種)解法二:位置分析法(以信箱為主)四個(gè)信箱中某一個(gè)信箱收到3封信的有;四個(gè)信箱中某一個(gè)信箱收到2封信的有;四個(gè)信箱中某三個(gè)信箱各收到1封信的,收信方法有。因此收信方法(種)元素分析法(即以元素為主考慮各種可能性)與位置分析法(即以位置為主考慮多種可能性)是解排列組合應(yīng)用題的兩種常用方法,它的優(yōu)點(diǎn)是研究對象清楚單一易于分析各種情況。例13三位教師分配到六個(gè)班里,各人數(shù)不同的班級,若每人都教兩個(gè)班,有幾種分配方法?解法一(以教師為主)這是一個(gè)分配問題,第一位教師可從六個(gè)班中選二個(gè)有,第二位教師可從四個(gè)班中選二個(gè)有,第三位教師教余下的二班有,因此共有種不同的分法。解法二(以班級為主)將六個(gè)班分成三組,每組兩個(gè)班,共有分組法,再將每種方法中的三組分配給三位教師有種,因此共有種方法。(四) 圖形分析法例14用0,1,2,3,4,5組成沒有重
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