2022學(xué)年新人教A函數(shù)模型的應(yīng)用

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用

1.指數(shù)函數(shù)型模型(1)表達(dá)形式:f(x)=abx+c.(2)條件:a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,b≠1.2.對數(shù)函數(shù)型模型(1)表達(dá)形式:f(x)=mlogax+n.(2)條件:m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,a≠1.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)解決某一實際問題的函數(shù)模型是唯一的. (

)(2)對于一個實際問題,收集到的數(shù)據(jù)越多,建立的函數(shù)模型的模擬效果越好. (

)(3)根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)作出散點圖,結(jié)合已知的函數(shù)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,這樣得到的函數(shù)模型的模擬效果較好. (

)提示:(1)×.對于一個實際問題,可以選擇不同的函數(shù)模型,只是模擬效果有區(qū)別.(2)√.數(shù)據(jù)越多,模擬效果越好.(3)√.根據(jù)散點圖選擇函數(shù)模型,針對性較強(qiáng),得到的函數(shù)模型的模擬效果較好.2.計算機(jī)成本不斷降低,若每隔2年計算機(jī)價格降低,現(xiàn)在價格為8100元的計算機(jī)6年后價格可降為 (

)

A.3600元 B.2400元 C.900元 D.300元【解析】選B.由題意,計算機(jī)6年后的價格為:8100×=2400(元).3.某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y=alog2(x+1),設(shè)這種動物第1年有100只,則第7年它們繁殖到________只.

【解析】由題意,繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y=alog2(x+1),這種動物第1年有100只,所以100=alog2(1+1),所以a=100,所以y=100log2(x+1),所以當(dāng)x=7時,y=100log2(7+1)=100×3=300.答案:300類型一指數(shù)函數(shù)型模型【典例】1.某實驗員在培養(yǎng)皿中滴入了含有10個某種真菌的實驗液,經(jīng)1小時培養(yǎng)真菌數(shù)目繁殖為原來的2倍.經(jīng)測量知該真菌的繁殖規(guī)律為y=10eλt,其中λ為常數(shù),t表示時間(單位:小時),y表示真菌個數(shù).經(jīng)過8小時培養(yǎng),真菌能達(dá)到的個數(shù)為 (

)

A.640 B.1280 C.2560 D.51202.習(xí)總書記在黨的十九大報告中,提出新時代堅持和發(fā)展中國特色社會主義的基本方略,包括“堅持人與自然和諧共生,加快生態(tài)文明體制改革,建設(shè)美麗中國”.目前我國一些高耗能低效產(chǎn)業(yè)(煤炭、鋼鐵、有色金屬、煉化等)的產(chǎn)能過剩,將嚴(yán)重影響生態(tài)文明建設(shè),“去產(chǎn)能”將是一項重大任務(wù).十九大后,某行業(yè)計劃從2018年開始,每年的產(chǎn)能比上一年減少的百分比為x(0<x<1).世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)設(shè)n年后(2018年記為第1年)年產(chǎn)能為2017年的a倍,請用a,n表示x.(2)若x=10%,則至少要到哪一年才能使年產(chǎn)能不超過2017年的25%?參考數(shù)據(jù):lg2=0.301,lg3=0.477.【思維·引】1.代入初始值求出λ,再代入時間求值.2.(1)利用初始值、“增長率”、增長次數(shù)的關(guān)系式.(2)列出不等式,利用對數(shù)知識、參考數(shù)據(jù)運(yùn)算.【解析】1.選C.原來的真菌數(shù)為10,由題意可得,在函數(shù)y=10eλt中,當(dāng)t=1時,y=20,所以20=10eλ即eλ=2,y=10eλt=10·2t,若t=8,則可得此時的真菌數(shù)為y=10×28=2560.2.(1)依題意得(1-x)n=a,所以1-x=即x=1-(2)設(shè)n年后年產(chǎn)能不超過2017年的25%,則(1-10%)n≤25%,即即即n(2lg3-1)≤-2lg2,所以n≥即n≥因為13<<14,且n∈N*,所以n的最小值為14,所以至少要到2031年才能使年產(chǎn)能不超過2017年的25%.【類題·通】有關(guān)增長(衰減)率問題(1)熟練應(yīng)用公式y(tǒng)=a(1+x)n,特別是增長(衰減)次數(shù),審清如年初、年底等字眼.(2)對于比較復(fù)雜的問題,可以通過寫出前三、四次的表達(dá)式,找出規(guī)律后再寫第n次的.【習(xí)練·破】有關(guān)數(shù)據(jù)顯示中國快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在2015年約為400萬噸,2016年的年增長率為50%.有專家預(yù)測,如果不采取措施,未來包裝垃圾還將以此增長率增長,從__________年開始,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過4000萬噸.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)

【解析】設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為y萬噸,n表示從2015年開始增加的年份的數(shù)量,由題意可得y=400×(1+50%)n=400×由于第n年快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過4000萬噸,所以4000=400×所以=10,兩邊取對數(shù)可得n(lg3-lg2)=1,所以n(0.4771-0.3010)=1,解得0.1761n=1,解得n≈6,所以從2015+6=2021年開始,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過4000萬噸.答案:2021類型二對數(shù)函數(shù)型模型【典例】有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙,飛往繁殖地產(chǎn)卵,科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)v=-lgx0,單位是km/min,其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù),x0代表測量過程中該類候鳥每分鐘的耗氧量偏差(參考數(shù)據(jù):lg2=0.30,31.2=3.74,31.4=4.66). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)當(dāng)x0=2,候鳥每分鐘的耗氧量為8100個單位時,候鳥的飛行速度是多少km/min?(2)當(dāng)x0=5,候鳥停下休息時,它每分鐘的耗氧量為多少單位?(3)若雄鳥的飛行速度為2.5km/min,同類雌鳥的飛行速度為1.5km/min,則此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍?【思維·引】(1)將x0,x代入解析式求速度.(2)利用候鳥休息的速度為0解題.(3)利用對數(shù)運(yùn)算,兩式相減構(gòu)成耗氧量的商.【解析】(1)由題意,x0=2,x=8100,得v=-lg2≈1.7,故此時候鳥的飛行速度為1.7km/min.(2)由題意得,當(dāng)候鳥停下休息時,它的速度是0,可得0=-lg5,即log3=2lg5=2(1-lg2),解得:x≈466,故候鳥停下休息時每分鐘的耗氧量約為466個單位.(3)設(shè)雄鳥的耗氧量為x1,雌鳥的耗氧量為x2,由題意得:兩式相減可得1=解得:=9,故此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的9倍.【內(nèi)化·悟】涉及對數(shù)函數(shù)型模型的應(yīng)用問題,用到了哪些對數(shù)運(yùn)算?提示:商的對數(shù),冪的對數(shù),換底公式,兩邊取對數(shù),兩式相減等.【類題·通】對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的解題思路(1)依題意,找出或建立數(shù)學(xué)模型,設(shè)出函數(shù)解析式.(2)依實際情況確定解析式中的參數(shù).(3)依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題.(4)得出結(jié)論.【習(xí)練·破】大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v(單位:m/s)與其耗氧量單位數(shù)Q之間的關(guān)系可以表示為函數(shù)v=klog3+b,其中k,b為常數(shù).已知一條鮭魚在靜止時的耗氧量為100個單位;而當(dāng)它的游速為1.5m/s時,其耗氧量為2700個單位.(1)求出游速v與其耗氧量單位數(shù)Q之間的函數(shù)解析式.(2)求當(dāng)一條鮭魚的游速不高于2.5m/s時,其耗氧量至多需要多少個單位?【解析】(1)由題意可得解得k=b=0,所以游速v與其耗氧量單位數(shù)Q之間的函數(shù)解析式為v=(2)由題意,有≤2.5,即log3≤5,所以log3≤log335,由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有0<≤35,解得0<Q≤24300,故當(dāng)一條鮭魚的游速不高于2.5m/s時,其耗氧量至多需要24300個單位.類型三建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【典例】某地方政府為鼓勵全民創(chuàng)業(yè),擬對本地產(chǎn)值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進(jìn)行獎勵,獎勵方案遵循以下原則:獎金y(單位:萬元)隨年產(chǎn)值x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不低于7萬元,同時獎金不超過年產(chǎn)值的15%. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)若某企業(yè)產(chǎn)值100萬元,核定可得9萬元獎金,試分析函數(shù)y=lgx+kx+5(k為常數(shù))是否為符合政府要求的獎勵函數(shù)模型,并說明原因(已知lg2≈0.3,lg5≈0.7).(2)若采用函數(shù)f(x)=作為獎勵函數(shù)模型,試確定最小的正整數(shù)a的值.【思維·引】(1)根據(jù)題意求出k值,檢驗函數(shù)模型是否符合政府的其他獎勵要求.(2)對f(x)進(jìn)行適當(dāng)變形,結(jié)合題意、條件求a值.【解析】(1)對于函數(shù)模型y=lgx+kx+5(k為常數(shù)),x=100時,y=9,代入解得k=所以y=lgx++5.當(dāng)x∈[50,500]時,y=lgx++5是增函數(shù),但x=50時,y=lg50+6>7.5,即獎金不超過年產(chǎn)值的15%不成立,故該函數(shù)模型不符合要求.(2)對于函數(shù)模型f(x)=a為正整數(shù),函數(shù)在[50,500]上遞增;

f(x)min=f(50)≥7,解得a≤344;要使f(x)≤0.15x對x∈[50,500]恒成立,即a≥-0.15x2+13.8x對x∈[50,500]恒成立,所以a≥315.綜上所述,315≤a≤344,所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為315.【類題·通】函數(shù)擬合與預(yù)測的一般步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格,繪出散點圖.(2)通過觀察散點圖,畫出擬合直線或擬合曲線.(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式.(4)根據(jù)擬合誤差要求判斷、選擇最佳擬合函數(shù).(5)利用選取的擬合函數(shù)進(jìn)行預(yù)測.(6)利用函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)條件對所給問題進(jìn)行預(yù)測和控制,為決策和管理提供依據(jù).【習(xí)練·破】某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,自2013年以來,每年在正常情況下,該產(chǎn)品產(chǎn)量平穩(wěn)增長.已知2013年為第1年,前4年年產(chǎn)量f(x)(萬件)如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44(1)畫出2013～2016年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點圖.(2)建立一個能基本反映(誤差小于0.1)這一時期該企業(yè)年產(chǎn)量變化的函數(shù)模型,并求出函數(shù)解析式.(3)2017年(即x=5)因受到某國對我國該產(chǎn)品反傾銷的影響,年產(chǎn)量減少30%,試根據(jù)所建立的函數(shù)模型,確定2017年的年產(chǎn)量為多少?【解析】(1)畫出散點圖,如圖所示.(2)由散點圖知,可選用一次函數(shù)模型.設(shè)f(x)=ax+b(a≠0).由已知得解得所以f(x)=1.5x+2.5.檢驗:f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.08<0.1.f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1.所以一次函數(shù)模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映年產(chǎn)量的變化.(3)根據(jù)所建的函數(shù)模型,預(yù)計2017年的年產(chǎn)量為f(5)=1.5×5+2.5=10萬件,又年產(chǎn)量減少30%,即10×70%=7萬件,即2017年的年產(chǎn)量為7萬件.類型四化學(xué)中的對數(shù)型函數(shù)問題【化學(xué)情境】溶液酸堿度是通過pH刻畫的,pH的計算公式為pH=-lg[H+],其中