2022-2023學年江西省景德鎮(zhèn)下學期期中考試數(shù)學試題4【含答案】

2022-2023學年江西省景德鎮(zhèn)下學期期中考試數(shù)學試題一、單選題1．設直線.若，則（

）A．0或1 B．0或-1 C．1 D．-1【答案】A【分析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實數(shù)的等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為，則，解得或.故選：A.2．雙曲線的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)焦點在x軸上雙曲線的漸近線方程直接求解即可.【詳解】根據(jù)雙曲線的漸近線方程：，知：的漸近線方程為.故選：C.3．已知雙曲線（）的左右焦點分別是，，點在第一象限且在的漸近線上，是以為斜邊的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】首先求出漸近線方程，依題意可得點在漸近線上，即可得到，再根據(jù)離心率公式計算可得.【詳解】雙曲線的漸近線為，設，，則，因為點在第一象限且在的漸近線上，是以為斜邊的等腰直角三角形，所以點在漸近線上，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A4．方程表示橢圓的一個充分不必要條件是（

）A．且 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程表示橢圓，列出不等式組，求出的取值范圍，然后根據(jù)充分不必要條件概念即可求解.【詳解】若方程表示橢圓，則有，解得且，因為是集合且的真子集，所以“”是“方程表示橢圓”的充分不必要條件，故選：B.5．已知拋物線，直線，，為上的動點，則點到與的距離之和的最小值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用拋物線的定義及點到直線的距離公式即可求解.【詳解】由，得，焦點坐標為，準線方程為.由拋物線的定義可知，點到準線的距離等于到焦點的距離，所以點到與的距離之和的最小值為點到的距離，所以點到與的距離之和的最小值為.故選：A.6．已知橢圓的上頂點為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點差法可得，再利用重心的性質(zhì)可得點，從而利用可得，即可求離心率.【詳解】設，的中點為，因為都在橢圓上，所以，作差可得，即，所以，即，因為，所以，又因為為△BMN的重心，所以，所以，則，所以，整理得，即，所以，則，所以離心率.故選:A.7．已知分別為雙曲線的左?右焦點，為雙曲線的右頂點.過的直線與雙曲線的右支交于兩點（其中點A在第一象限），設分別為的內(nèi)心，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得，，，再由雙曲線的定義可得，進而可得，設點J的橫坐標，由題意可得橫坐標為a，設直線AB的傾斜角，則可求得，再由的范圍即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，，設△的內(nèi)切圓M分別與、、相切于點、、，則，，，由雙曲線的定義知，，即：，所以，所以，設內(nèi)心M的橫坐標為，則點J的橫坐標為，則，解得：，所以軸，則E為直線JM與x軸的交點，同理可得：△的內(nèi)心也在直線JM上，設直線AB的傾斜角為，則，，所以，由題意知，，，所以，所以，又因為雙曲線C的漸近線方程為，過的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點，所以，所以，所以.故選：C.8．如圖，拋物線的焦點為，過點作直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線準線的垂線，垂足為，記，則下列說法中：①，；②點在一條直線上；③；④以線段為直徑的圓與軸相切；⑤分別過兩點作拋物線的切線，則兩條切線互相垂直.正確命題的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理可知①正確；分別表示出，結(jié)合韋達定理的結(jié)論可化簡得到知②正確；根據(jù)與拋物線定義可化簡得到③正確；根據(jù)線段中點到軸的距離為可知④正確；利用導數(shù)可求得拋物線在處的切線斜率，根據(jù)斜率乘積為可知⑤正確.【詳解】對于①，由拋物線方程，可得，設直線，，由，得，，，①正確；對于②，由題意知，，，，又，，在一條直線上，②正確；對于③，作垂直于拋物線準線，垂足為，作軸，垂足為，設拋物線與軸交于點，由拋物線定義知，，又，，，又，，整理，可得，，③正確；對于④，線段中點為，又，線段中點到軸的距離為，以線段為直徑的圓與軸相切，④正確；對于⑤，當時，，，則拋物線在點處的切線斜率；當時，，，則拋物線在點處的切線斜率，，兩條切線互相垂直，⑤正確.故選：D.二、多選題9．帶有編號1、2、3、4、5的五個球，則（

）A．全部投入4個不同的盒子里，共有種放法B．放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有種放法C．將其中的4個球投入4個盒子里的一個(另一個球不投入)，共有種放法D．全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法【答案】ACD【分析】對A：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理運算求解；對B：分類討論一共用了幾個球，再結(jié)合捆綁法運算求解；對C：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理運算求解；對D：利用捆綁法運算求解.【詳解】對于A：每個球都可以放入4個不同的盒子，則共有種放法，A正確；對于B：放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，則有：全部投入4個不同的盒子里，每盒至少一個，相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種放法，B錯誤；對于C：先選擇4個球，有種，再選擇一個盒子，有種，故共有種放法，C正確；對于D：全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，則相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種放法，D正確；故選：ACD.10．已知在中，角，，所對應的邊分別為，，，為所在平面上一點，下列命題中正確的是（）A．“”是“”的充分不必要條件B．若，，，則有一解C．若，且，則為等邊三角形D．若，，則【答案】BCD【分析】由余弦函數(shù)性質(zhì)判斷A；由正弦定理判斷B；由向量的運算結(jié)合幾何意義判斷C；由兩角和的正切公式判斷D．【詳解】在中，，，A錯誤；若，，，因為，則，只能為銳角，，三角形只有一解，B正確；向量平行于的平分線所在的直線，由知，該角平分線垂直于，因此是等腰三角形，且，由得，即，則為等邊三角形，C正確；，即，而，則有，又，則，D正確．故選：BCD11．已知點，，且點在圓上，為圓心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與圓相交所得的弦長為4B．的最大值為C．的面積的最大值為2D．當最大時，的面積為1【答案】ABD【分析】由圓的方程得圓C是以為圓心，以2為半徑的圓，根據(jù)圓上點與兩定點及直線MN的位置關(guān)系，分析選項正誤.【詳解】圓C：，即，所以圓C是以為圓心，以2為半徑的圓.對于A，直線MN的方程為，過圓心，所以直線MN與圓C相交所得的弦長為直徑4，故A項正確；對于B，，當點P為MN的延長線與圓的交點時，等號成立，故B項正確；對于C，設點P到直線MN的距離為d，則，因為直線MN過圓心，所以當時，最大為，故C項錯誤；對于D，當MP與圓C相切時，最大，不妨設，此時，故D項正確.故選：ABD.12．下列說法正確的有（

）A．直線過定點B．過點作圓的切線，則的方程為C．若圓與圓有唯一公切線，則D．圓上存在兩個點到直線的距離為2【答案】AD【分析】根據(jù)當時，，得到直線過定點，即可判斷A選項；過點作圓的切線，考慮斜率存在和不存在兩種情況，當斜率不存在時切線方程為，即可判斷B選項；根據(jù)圓和圓有唯一公切線得到兩圓內(nèi)切，然后根據(jù)內(nèi)切列方程求解即可判斷C選項；根據(jù)圓心到直線的距離得到直線與圓的位置關(guān)系，再結(jié)合圓上點到直線距離的最大值和最小值即可判斷圓上有幾個點到直線的距離為2，即可判斷D選項.【詳解】直線，當時，，所以直線過定點，故A正確；當過點的直線斜率不存在時，直線方程為，圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為2，所以時圓的切線，故B錯；因為圓和圓有唯一公切線，所以圓和圓內(nèi)切，圓：，圓：，所以，即，解得，故C錯；圓上的圓心到直線的距離，所以圓上點到直線的距離的最大值為，最小值為，則直線與圓的位置關(guān)系如下圖，又因為，，所以圓上存在兩個點到直線的距離為2，故D正確.故選AD.三、填空題13．已知點，點P在拋物線上運動，F(xiàn)是拋物線的焦點，連接PF并延長與圓交于點B，則的最小值是___________.【答案】4【分析】求出焦點，設.表示出，令，換元根據(jù)基本不等式即可求出答案.【詳解】由題意可知，拋物線的焦點為.設點，則由拋物線的定義得，.要使最小，則應有，此時有.令，則，，因為，顯然有，則由基本不等式知，當且僅當，即時等號成立.故的最小值為.故答案為：4.14．已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，分別為雙曲線C的左、右焦點，分別為雙曲線C的左、右頂點，直線l過點且與以為直徑的圓相切于點M．若直線l與雙曲線C的右支交于點A，且，則雙曲線C的離心率等于_________．【答案】【分析】利用已知條件，結(jié)合直角三角形以及雙曲線的定義，通過余弦定理，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可.【詳解】作圖，如圖所示，可得：因為，所以，結(jié)合雙曲線的定義，化簡得：設則，故答案為：.15．若直線與相交于點，過點作圓的切線，切點為，則|PM|的最大值為______．【答案】【分析】根據(jù)兩直線所過的定點和位置關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】直線過定點，直線過定點，顯然這兩條直線互相垂直，因此在以為直徑的圓上，設該圓的圓心為，顯然點的坐標為，所以該圓的方程為，由圓的切線性質(zhì)可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，當點在如下圖位置時，的值最大，即，所以|PM|的最大值為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)兩直線的位置關(guān)系確定點的軌跡，利用圓的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.16．如圖，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點.，歷時m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點歷時n秒，若的離心率為C的離心率的4倍，則_____________.【答案】/0.375【分析】由離心率比求得長半軸與實半軸的比，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義求兩種裝置中光線路程之比即得．【詳解】設橢圓長軸長為，雙曲線實軸長為，焦距，由，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點F1，則有，，兩式相減得，將裝置中的去掉，則有，所以故答案為：．四、解答題17．已知的展開式中，其前三項的二項式系數(shù)的和等于56.(1)求展開式中所有二項式系數(shù)的和；(2)求展開式中的常數(shù)項.【答案】(1)1024(2)180【分析】（1）根據(jù)前三項的二項式系數(shù)之和列出方程，求出，進而求出所有二項式系數(shù)的和；（2）利用展開式的通項公式，令的次數(shù)為0，求出，得到答案.【詳解】（1）前三項的二項式系數(shù)和為，解得或-11（舍去），中，展開式中所有二項式系數(shù)的和為；（2）的展開式通項公式為，令得，故.18．的三內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.點為邊上動點，點為邊中點，記交于點，若已知.(1)當時，求.(2)當長為何值時，從點處看線段的視角（即）最大？【答案】(1)(2)當時，從點處看線段的視角（即）最大.【分析】（1）根據(jù)已知條件及余弦定理的推理，利用同角三角函數(shù)函數(shù)的商數(shù)關(guān)系、余弦定理及勾股定理的逆定理，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義及兩角和的余弦公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及銳角三角函數(shù)的定義，利用兩角差的正切公式及基本不等式即可求解.【詳解】（1）因為，所以，即，因為，所以.又，所以,所以，又，所以，即，所以.由，可知為的中點，因為所以,所以.（2）設記,所以，當且僅當，即等號成立，所以當時，取得最大值，即從點處看線段的視角（即）最大.19．已知拋物線，為坐標原點，焦點在直線上．(1)求拋物線的標準方程；(2)過點作動直線與拋物線交于，兩點，直線，分別與圓交于點，兩點（異于點），設直線，斜率分別為，．①求證：為定值；②求證：直線恒過定點．【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）先求出拋物線的焦點坐標，進而得到，可得，從而求解；（2）①設直線方程為，，，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理可得，結(jié)合可得，進而求證；②設直線方程為，，，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理可得，，再結(jié)合即可得證.【詳解】（1）易知直線與x軸交于，即焦點坐標為，所以，，則拋物線方程為．（2）①設直線方程為，，，聯(lián)立方程組，得，所以，又，所以，即，則．②設直線方程為，，聯(lián)立方程組，得，所以，，．整理得，，所以直線過定點．20．已知橢圓過點，且離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)過作斜率之積為1的兩條直線與，設交于，兩點，交于，兩點，，的中點分別為，．試問：直線是否恒過定點？若是，請求出與的面積之比；若不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)恒過定點，與的面積之比2，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)給定的條件，列出關(guān)于的方程組，再求解作答.（2）設出直線、的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，求出點，的坐標，再求出直線的方程即可作答.【詳解】（1）設橢圓半焦距為c，依題意可得，，解得，所以橢圓的標準方程是.（2）直線恒過定點，設直線，，，由消去x得，則，設點，則，，即，顯然直線，同理可得，直線的斜率有，因此直線，即，過定點，顯然點是線段中點，設點到直線的距離分別為，則，所以直線恒過定點，與的面積之比為2.21．已知橢圓的離心率為，長軸的左端點為.(1)求C的方程；(2)過橢圓C的右焦點的任一直線l與橢圓C分別相交于M，N兩點，且AM，AN與直線